Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

مجموعة ميكانيكية متذبذبة (النواس المرن والنواس اللي)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Le pendule élastique (Nawass el-maran)

Un système constitué d'une masse $m$ attachée à un ressort de constante de raideur $k$ .

Force de rappel : $F = -kx$
Équation différentielle : En appliquant la 2ème loi de Newton : $m\ddot{x} + kx = 0 \implies \ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$
Pulsation propre : $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ (en $rad.s^{-1}$ )
Période propre : $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ (en $s$ )

2. Le pendule à torsion (Nawass el-li)

Un système constitué d'un solide de moment d'inertie $J$ suspendu à un fil de constante de torsion $C$ .

Moment de torsion : $\Gamma = -C\theta$
Équation différentielle : En appliquant le principe fondamental de la dynamique en rotation : $J\ddot{\theta} + C\theta = 0 \implies \ddot{\theta} + \frac{C}{J}\theta = 0$
Pulsation propre : $\omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J}}$ (en $rad.s^{-1}$ )
Période propre : $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{J}{C}}$ (en $s$ )

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Toujours partir de la force (ou du moment) et appliquer la 2ème loi de Newton.
Identifier $\omega_0$ : Dans une équation de la forme $\ddot{x} + A x = 0$ , on sait que $A = \omega_0^2$ .
Calculer la période $T_0$ : Utiliser la relation $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$ .
Déterminer une constante ( $k$ ou $C$ ) : Isoler la constante dans la formule de $T_0$ à partir des données expérimentales.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Un ressort de $k = 50 \, N/m$ porte une masse de $200 \, g$ . Calculer $T_0$ .

Conversion : $m = 0,2 \, kg$ .
Application : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{0,2}{50}} = 2\pi\sqrt{0,004} \approx 0,398 \, s$ .

Exemple 2 : Pour un pendule à torsion, on donne $\omega_0 = 10 \, rad/s$ et $J = 0,05 \, kg \cdot m^2$ . Calculer $C$ .

Relation : $\omega_0^2 = \frac{C}{J} \implies C = J \cdot \omega_0^2$ .
Calcul : $C = 0,05 \times (10)^2 = 0,05 \times 100 = 5 \, N \cdot m/rad$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités : La masse $m$ doit être en $kg$ et non en $g$ .
Confusion entre $\omega_0$ et $T_0$ : $\omega_0$ est une vitesse angulaire, $T_0$ est un temps.
Erreur de calcul de la racine carrée : Toujours vérifier si le résultat est cohérent.
Confusion des formules : Ne pas mélanger $k/m$ (ressort) et $C/J$ (torsion).

L'essentiel du cours

1. Le pendule élastique (Nawass el-maran)

Un système constitué d'une masse $m$ attachée à un ressort de constante de raideur $k$.

Force de rappel : $F = -kx$
Équation différentielle : En appliquant la 2ème loi de Newton : $m\ddot{x} + kx = 0 \implies \ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$
Pulsation propre : $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ (en $rad.s^{-1}$)
Période propre : $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ (en $s$)

2. Le pendule à torsion (Nawass el-li)

Un système constitué d'un solide de moment d'inertie $J$ suspendu à un fil de constante de torsion $C$.

Moment de torsion : $\Gamma = -C\theta$
Équation différentielle : En appliquant le principe fondamental de la dynamique en rotation : $J\ddot{\theta} + C\theta = 0 \implies \ddot{\theta} + \frac{C}{J}\theta = 0$
Pulsation propre : $\omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J}}$ (en $rad.s^{-1}$)
Période propre : $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{J}{C}}$ (en $s$)

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Toujours partir de la force (ou du moment) et appliquer la 2ème loi de Newton.
Identifier $\omega_0$ : Dans une équation de la forme $\ddot{x} + A x = 0$, on sait que $A = \omega_0^2$.
Calculer la période $T_0$ : Utiliser la relation $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$.
Déterminer une constante ($k$ ou $C$) : Isoler la constante dans la formule de $T_0$ à partir des données expérimentales.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Un ressort de $k = 50 , N/m$ porte une masse de $200 , g$. Calculer $T_0$.

Conversion : $m = 0,2 , kg$.
Application : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{0,2}{50}} = 2\pi\sqrt{0,004} \approx 0,398 , s$.

Exemple 2 : Pour un pendule à torsion, on donne $\omega_0 = 10 , rad/s$ et $J = 0,05 , kg \cdot m^2$. Calculer $C$.

Relation : $\omega_0^2 = \frac{C}{J} \implies C = J \cdot \omega_0^2$.
Calcul : $C = 0,05 \times (10)^2 = 0,05 \times 100 = 5 , N \cdot m/rad$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités : La masse $m$ doit être en $kg$ et non en $g$.
Confusion entre $\omega_0$ et $T_0$ : $\omega_0$ est une vitesse angulaire, $T_0$ est un temps.
Erreur de calcul de la racine carrée : Toujours vérifier si le résultat est cohérent.
Confusion des formules : Ne pas mélanger $k/m$ (ressort) et $C/J$ (torsion).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 مجموعة ميكانيكية متذبذبة (النواس المرن والنواس اللي)

1/4

Quelle est l'unité de la pulsation $\omega_0$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l-farq bin l-nawass el-maran w l-nawass el-li?

Le pendule élastique (maran) est un mouvement de translation (va-et-vient) lié à une force de rappel linéaire $F = -kx$ . Le pendule à torsion (li) est un mouvement de rotation autour d'un axe lié à un moment de torsion $\Gamma = -C\theta$ .

💡 À retenir : L'un est linéaire ( $x$ ), l'autre est angulaire ( $\theta$ ).

Le pendule élastique (maran) est un mouvement de translation (va-et-vient) lié à une force de rappel linéaire $F = -kx$. Le pendule à torsion (li) est un mouvement de rotation autour d'un axe lié à un moment de torsion $\Gamma = -C\theta$.

💡 À retenir : L'un est linéaire ($x$), l'autre est angulaire ($\theta$).

Kifach n7seb T0 ila 3andi k w m?

Vérifie que $m$ est en $kg$ et $k$ en $N/m$ .
Utilise la formule : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ .
Calcule la fraction $\frac{m}{k}$ d'abord, puis la racine, puis multiplie par $2\pi$ .

💡 À retenir : $T_0$ est proportionnel à $\sqrt{m}$ .

Vérifie que $m$ est en $kg$ et $k$ en $N/m$.
Utilise la formule : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Calcule la fraction $\frac{m}{k}$ d'abord, puis la racine, puis multiplie par $2\pi$.

💡 À retenir : $T_0$ est proportionnel à $\sqrt{m}$.

Chno hiya l-mo3adala dyal l-nawass el-maran?

L'équation différentielle est : $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$ . Où $\ddot{x}$ est l'accélération, $k$ la raideur et $m$ la masse.

💡 À retenir : $\frac{k}{m}$ correspond à $\omega_0^2$ .

L'équation différentielle est : $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$. Où $\ddot{x}$ est l'accélération, $k$ la raideur et $m$ la masse.

💡 À retenir : $\frac{k}{m}$ correspond à $\omega_0^2$.

Quelle est l'unité de la constante de torsion C ?

L'unité de $C$ est le Newton-mètre par radian ( $N \cdot m/rad$ ).

💡 À retenir : On l'obtient car $\Gamma = C\theta \implies [C] = \frac{[\Gamma]}{[\theta]} = \frac{N \cdot m}{rad}$ .

L'unité de $C$ est le Newton-mètre par radian ($N \cdot m/rad$).

💡 À retenir : On l'obtient car $\Gamma = C\theta \implies [C] = \frac{[\Gamma]}{[\theta]} = \frac{N \cdot m}{rad}$.

Si on double la masse m d'un ressort, comment change T0 ?

$T_0$ est proportionnel à $\sqrt{m}$ .
Si $m' = 2m$ , alors $T_0' = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}} = \sqrt{2} \cdot T_0$ . La période est multipliée par $\sqrt{2}$ .

💡 À retenir : $T_0$ augmente quand la masse augmente.

$T_0$ est proportionnel à $\sqrt{m}$.
Si $m' = 2m$, alors $T_0' = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}} = \sqrt{2} \cdot T_0$. La période est multipliée par $\sqrt{2}$.

💡 À retenir : $T_0$ augmente quand la masse augmente.

Comment trouver omega0 à partir de l'équation ddot{x} + 25x = 0 ?

L'équation est de la forme $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ .
On identifie $\omega_0^2 = 25$ .
Donc $\omega_0 = \sqrt{25} = 5 \, rad/s$ .

💡 À retenir : $\omega_0$ est la racine carrée du coefficient de $x$ .

L'équation est de la forme $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$.
On identifie $\omega_0^2 = 25$.
Donc $\omega_0 = \sqrt{25} = 5 , rad/s$.

💡 À retenir : $\omega_0$ est la racine carrée du coefficient de $x$.

Est-ce que T0 dépend de l'amplitude de l'oscillation ?

Non, dans le cas d'un système oscillant idéal (sans frottements), la période propre $T_0$ est indépendante de l'élongation initiale $x_{max}$ .

💡 À retenir : C'est la caractéristique du mouvement harmonique simple.

Non, dans le cas d'un système oscillant idéal (sans frottements), la période propre $T_0$ est indépendante de l'élongation initiale $x_{max}$.

💡 À retenir : C'est la caractéristique du mouvement harmonique simple.

Quelle est la relation entre f0 et T0 ?

La fréquence propre $f_0$ est l'inverse de la période : $f_0 = \frac{1}{T_0}$ .

💡 À retenir : $f_0$ s'exprime en Hertz ( $Hz$ ).

La fréquence propre $f_0$ est l'inverse de la période : $f_0 = \frac{1}{T_0}$.

💡 À retenir : $f_0$ s'exprime en Hertz ($Hz$).

Comment calculer J si on connaît C et T0 ?

On sait que $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J}{C}}$ .
On élève au carré : $T_0^2 = 4\pi^2 \frac{J}{C}$ .
On isole $J$ : $J = \frac{C \cdot T_0^2}{4\pi^2}$ .

💡 À retenir : Utilise toujours la forme au carré pour isoler une variable.

On sait que $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J}{C}}$.
On élève au carré : $T_0^2 = 4\pi^2 \frac{J}{C}$.
On isole $J$ : $J = \frac{C \cdot T_0^2}{4\pi^2}$.

💡 À retenir : Utilise toujours la forme au carré pour isoler une variable.

L'unité de omega0 est-elle la même que celle de f0 ?

Non. $\omega_0$ est en $rad/s$ (pulsation) et $f_0$ est en $Hz$ (fréquence). La relation est $\omega_0 = 2\pi f_0$ .

💡 À retenir : Ne confonds pas les deux dans les calculs.

Non. $\omega_0$ est en $rad/s$ (pulsation) et $f_0$ est en $Hz$ (fréquence). La relation est $\omega_0 = 2\pi f_0$.

💡 À retenir : Ne confonds pas les deux dans les calculs.

Que se passe-t-il si k devient très grand ?

Si $k \to \infty$ , alors $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \to 0$ . Le ressort devient très rigide et les oscillations sont très rapides.

💡 À retenir : Plus le ressort est dur, plus la période est courte.

Si $k \to \infty$, alors $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \to 0$. Le ressort devient très rigide et les oscillations sont très rapides.

💡 À retenir : Plus le ressort est dur, plus la période est courte.

Si on utilise un fil plus épais pour le pendule à torsion, C augmente ou diminue ?

Un fil plus épais est plus rigide, donc la constante de torsion $C$ augmente.

💡 À retenir : $C$ augmente avec la rigidité du fil.

Un fil plus épais est plus rigide, donc la constante de torsion $C$ augmente.

💡 À retenir : $C$ augmente avec la rigidité du fil.

Quelle est la différence entre ddot{x} et dot{x} ?

$\dot{x}$ est la vitesse ( $dx/dt$ ) et $\ddot{x}$ est l'accélération ( $d^2x/dt^2$ ).

💡 À retenir : Dans l'équation différentielle, on utilise l'accélération.

$\dot{x}$ est la vitesse ($dx/dt$) et $\ddot{x}$ est l'accélération ($d^2x/dt^2$).

💡 À retenir : Dans l'équation différentielle, on utilise l'accélération.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Le ressort simple Un corps de masse $m = 0,5 \, kg$ est attaché à un ressort de constante de raideur $k = 200 \, N/m$ . On écarte le corps de sa position d'équilibre et on le lâche.

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Calculer la pulsation propre $\omega_0$ .
Calculer la période propre $T_0$ .

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Le pendule à torsion Un solide de moment d'inertie $J = 0,1 \, kg \cdot m^2$ est suspendu à un fil de torsion. On observe que le solide effectue 20 oscillations complètes en 10 secondes.

Calculer la période propre $T_0$ .
Calculer la pulsation propre $\omega_0$ .
Déterminer la constante de torsion $C$ du fil.

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Analyse expérimentale On étudie un pendule élastique. On réalise une expérience en changeant la masse $m$ et en mesurant $T_0$ .

Pour $m_1 = 0,1 \, kg$ , on trouve $T_1 = 0,2 \, s$ .
Pour $m_2 = 0,4 \, kg$ , on trouve $T_2 = 0,4 \, s$ .

Vérifier la relation entre $T$ et $m$ à partir des résultats.
Déterminer la valeur de la constante de raideur $k$ du ressort.
Si on ajoute une masse de $0,9 \, kg$ sur le ressort, quelle sera la nouvelle période $T_3$ ?

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Le ressort simple Un corps de masse $m = 0,5 , kg$ est attaché à un ressort de constante de raideur $k = 200 , N/m$. On écarte le corps de sa position d'équilibre et on le lâche.

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Calculer la pulsation propre $\omega_0$.
Calculer la période propre $T_0$.

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Le pendule à torsion Un solide de moment d'inertie $J = 0,1 , kg \cdot m^2$ est suspendu à un fil de torsion. On observe que le solide effectue 20 oscillations complètes en 10 secondes.

Calculer la période propre $T_0$.
Calculer la pulsation propre $\omega_0$.
Déterminer la constante de torsion $C$ du fil.

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Analyse expérimentale On étudie un pendule élastique. On réalise une expérience en changeant la masse $m$ et en mesurant $T_0$.

Pour $m_1 = 0,1 , kg$, on trouve $T_1 = 0,2 , s$.
Pour $m_2 = 0,4 , kg$, on trouve $T_2 = 0,4 , s$.

Vérifier la relation entre $T$ et $m$ à partir des résultats.
Déterminer la valeur de la constante de raideur $k$ du ressort.
Si on ajoute une masse de $0,9 , kg$ sur le ressort, quelle sera la nouvelle période $T_3$ ?

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