Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

تطبيقات قوانين نيوتن (السقوط الرأسي لجسم صلب)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le mouvement de chute verticale d'un solide dans un fluide est régi par la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$ . Les forces appliquées sont :

Le poids : $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ .
La poussée d'Archimède : $\vec{F}_A = -\rho_{fluide} \cdot V \cdot \vec{g}$ .
La force de frottement fluide : $\vec{f} = -k \cdot \vec{v}$ (régime laminaire) ou $\vec{f} = -k' \cdot v^2 \cdot \vec{k}$ (régime turbulent).

L'équation différentielle s'écrit généralement sous la forme : $\frac{dv}{dt} + A \cdot v = B$ (ou $v^2$ ).

Méthodes à maîtriser

Choisir un repère (axe vertical orienté vers le bas).
Faire le bilan des forces et les projeter sur l'axe.
Appliquer la 2ème loi de Newton.
Déterminer la vitesse limite $v_{lim}$ en posant $\frac{dv}{dt} = 0$ .
Utiliser la méthode d'Euler pour résoudre numériquement l'équation.

Exemples corrigés

Exemple : Chute sans vitesse initiale dans un fluide avec frottement $f=kv$ . Projection : $mg - \rho V g - kv = m \frac{dv}{dt}$ . On obtient $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g(1 - \frac{\rho V}{m})$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe moins dans les forces opposées au mouvement.
Confondre la masse du solide ( $m$ ) et la masse du fluide déplacé ( $\rho \cdot V$ ).
Se tromper dans l'orientation de l'axe (toujours vérifier le vecteur $\vec{g}$ ).

L'essentiel du cours

Le mouvement de chute verticale d'un solide dans un fluide est régi par la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$. Les forces appliquées sont :

Le poids : $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$.
La poussée d'Archimède : $\vec{F}A = -\rho{fluide} \cdot V \cdot \vec{g}$.
La force de frottement fluide : $\vec{f} = -k \cdot \vec{v}$ (régime laminaire) ou $\vec{f} = -k' \cdot v^2 \cdot \vec{k}$ (régime turbulent).

L'équation différentielle s'écrit généralement sous la forme : $\frac{dv}{dt} + A \cdot v = B$ (ou $v^2$).

Méthodes à maîtriser

Choisir un repère (axe vertical orienté vers le bas).
Faire le bilan des forces et les projeter sur l'axe.
Appliquer la 2ème loi de Newton.
Déterminer la vitesse limite $v_{lim}$ en posant $\frac{dv}{dt} = 0$.
Utiliser la méthode d'Euler pour résoudre numériquement l'équation.

Exemples corrigés

Exemple : Chute sans vitesse initiale dans un fluide avec frottement $f=kv$. Projection : $mg - \rho V g - kv = m \frac{dv}{dt}$. On obtient $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g(1 - \frac{\rho V}{m})$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe moins dans les forces opposées au mouvement.
Confondre la masse du solide ($m$) et la masse du fluide déplacé ($\rho \cdot V$).
Se tromper dans l'orientation de l'axe (toujours vérifier le vecteur $\vec{g}$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 تطبيقات قوانين نيوتن (السقوط الرأسي لجسم صلب)

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Lors d'une chute libre, l'accélération est :

❓ Questions fréquentes

Comment trouver l'équation différentielle avec f=kv^2 ?

Bilan des forces : $\vec{P} + \vec{F}_A + \vec{f} = m\vec{a}$ .
Projection : $mg - \rho V g - kv^2 = m \frac{dv}{dt}$ .
On divise par $m$ : $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v^2 = g(1 - \frac{\rho V}{m})$ .

💡 À retenir : C'est une équation différentielle non linéaire.

Bilan des forces : $\vec{P} + \vec{F}_A + \vec{f} = m\vec{a}$.
Projection : $mg - \rho V g - kv^2 = m \frac{dv}{dt}$.
On divise par $m$ : $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v^2 = g(1 - \frac{\rho V}{m})$.

💡 À retenir : C'est une équation différentielle non linéaire.

Kifach n7seb l'vitesse limite v{lim}?

Pour calculer la vitesse limite, il faut savoir que dans le régime permanent, la vitesse ne change plus, donc l'accélération est nulle : $a = \frac{dv}{dt} = 0$ .

Prends ton équation différentielle.
Remplace $\frac{dv}{dt}$ par 0.
Remplace $v$ par $v_{lim}$ .
Isole $v_{lim}$ dans l'équation.

💡 À retenir : La vitesse limite est atteinte quand les forces motrices compensent exactement les forces résistantes.

Pour calculer la vitesse limite, il faut savoir que dans le régime permanent, la vitesse ne change plus, donc l'accélération est nulle : $a = \frac{dv}{dt} = 0$.

Prends ton équation différentielle.
Remplace $\frac{dv}{dt}$ par 0.
Remplace $v$ par $v_{lim}$.
Isole $v_{lim}$ dans l'équation.

💡 À retenir : La vitesse limite est atteinte quand les forces motrices compensent exactement les forces résistantes.

Est-ce que la poussée d'Archimède est toujours négligeable ?

Non, elle n'est pas toujours négligeable. Elle dépend de la masse volumique du fluide ( $\rho_{fluide}$ ) et du volume du solide ( $V$ ). Si le fluide est un liquide (comme l'huile ou l'eau), elle est souvent importante. Si le fluide est l'air, elle est très faible devant le poids et on peut souvent la négliger (sauf si le solide est très léger).

💡 À retenir : Vérifie toujours les valeurs numériques données dans l'énoncé avant de décider de la négliger.

Non, elle n'est pas toujours négligeable. Elle dépend de la masse volumique du fluide ($\rho_{fluide}$) et du volume du solide ($V$). Si le fluide est un liquide (comme l'huile ou l'eau), elle est souvent importante. Si le fluide est l'air, elle est très faible devant le poids et on peut souvent la négliger (sauf si le solide est très léger).

💡 À retenir : Vérifie toujours les valeurs numériques données dans l'énoncé avant de décider de la négliger.

Chno hiya l'farq bin régime transitoire o régime permanent ?

Le régime transitoire : C'est le début du mouvement, la vitesse augmente et l'accélération diminue. Le mouvement est varié.
Le régime permanent : C'est la fin du mouvement, la vitesse devient constante ( $v = v_{lim}$ ) et l'accélération est nulle.

💡 À retenir : Le passage de l'un à l'autre se fait progressivement.

Le régime transitoire : C'est le début du mouvement, la vitesse augmente et l'accélération diminue. Le mouvement est varié.
Le régime permanent : C'est la fin du mouvement, la vitesse devient constante ($v = v_{lim}$) et l'accélération est nulle.

💡 À retenir : Le passage de l'un à l'autre se fait progressivement.

Kifach n3ref wach nakhdo f=kv awla f=kv^2 ?

C'est l'énoncé qui te l'impose.

Si le mouvement est lent ou dans un liquide visqueux, on utilise souvent $f=kv$ (régime laminaire).
Si le mouvement est rapide ou dans l'air, on utilise $f=kv^2$ (régime turbulent).

💡 À retenir : Regarde toujours l'expression de la force de frottement donnée dans les données de l'exercice.

C'est l'énoncé qui te l'impose.

Si le mouvement est lent ou dans un liquide visqueux, on utilise souvent $f=kv$ (régime laminaire).
Si le mouvement est rapide ou dans l'air, on utilise $f=kv^2$ (régime turbulent).

💡 À retenir : Regarde toujours l'expression de la force de frottement donnée dans les données de l'exercice.

Comment projeter le poids sur l'axe vertical ?

Si ton axe est orienté vers le bas (sens du mouvement) : $P = +mg$ . Si ton axe est orienté vers le haut : $P = -mg$ .

💡 À retenir : L'orientation de l'axe est ton choix, mais reste cohérent jusqu'à la fin de l'exercice.

Si ton axe est orienté vers le bas (sens du mouvement) : $P = +mg$. Si ton axe est orienté vers le haut : $P = -mg$.

💡 À retenir : L'orientation de l'axe est ton choix, mais reste cohérent jusqu'à la fin de l'exercice.

Est-ce que la poussée d'Archimède dépend de la vitesse ?

Non, la poussée d'Archimède est constante tant que le solide est totalement immergé. Elle ne dépend que du volume du solide et de la masse volumique du fluide.

💡 À retenir : Seule la force de frottement fluide dépend de la vitesse.

Pourquoi on utilise la méthode d'Euler ?

On l'utilise quand l'équation différentielle est trop complexe à résoudre analytiquement (par exemple avec $v^2$ ). Elle permet de calculer la vitesse à des instants proches $t_{i+1} = t_i + \Delta t$ .

💡 À retenir : Plus le pas $\Delta t$ est petit, plus le résultat est précis.

On l'utilise quand l'équation différentielle est trop complexe à résoudre analytiquement (par exemple avec $v^2$). Elle permet de calculer la vitesse à des instants proches $t_{i+1} = t_i + \Delta t$.

💡 À retenir : Plus le pas $\Delta t$ est petit, plus le résultat est précis.

Comment déterminer l'accélération initiale ?

À $t=0$ , la vitesse est nulle ( $v=0$ ). Donc la force de frottement $f=kv$ est nulle. Il ne reste que le poids et la poussée d'Archimède. $m \cdot a_0 = P - F_A \Rightarrow a_0 = g(1 - \frac{\rho V}{m})$ .

💡 À retenir : À $t=0$ , l'accélération est maximale.

À $t=0$, la vitesse est nulle ($v=0$). Donc la force de frottement $f=kv$ est nulle. Il ne reste que le poids et la poussée d'Archimède. $m \cdot a_0 = P - F_A \Rightarrow a_0 = g(1 - \frac{\rho V}{m})$.

💡 À retenir : À $t=0$, l'accélération est maximale.

Est-ce que la masse du solide change pendant la chute ?

Dans le programme de 2ème Bac, on considère que la masse $m$ du solide est constante.

💡 À retenir : Sauf mention contraire, ne cherche pas de complication.

Dans le programme de 2ème Bac, on considère que la masse $m$ du solide est constante.

💡 À retenir : Sauf mention contraire, ne cherche pas de complication.

Comment tracer la courbe v=f(t) ?

Tu places les points $(t, v)$ obtenus par calcul ou par la méthode d'Euler.
Tu traces une courbe qui monte puis devient horizontale (asymptote).

💡 À retenir : L'asymptote horizontale correspond à la valeur de $v_{lim}$ .

Tu places les points $(t, v)$ obtenus par calcul ou par la méthode d'Euler.
Tu traces une courbe qui monte puis devient horizontale (asymptote).

💡 À retenir : L'asymptote horizontale correspond à la valeur de $v_{lim}$.

Wach l'haraka dima moustaqimiya moutaghayira ?

Oui, dans le cas de la chute verticale, la trajectoire est une droite, donc le mouvement est rectiligne. Comme la vitesse change, il est varié.

💡 À retenir : Le mouvement est rectiligne uniformément varié seulement si l'accélération est constante (chute libre sans frottement).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une bille de masse $m=10g$ tombe dans l'huile. Forces : Poids, Poussée d'Archimède ( $F_A = 0,1N$ ), Frottement ( $f=kv$ avec $k=0,2 SI$ ).

Établir l'équation différentielle.
Déterminer $v_{lim}$ .

Exercice 1

Une bille de masse $m=10g$ tombe dans l'huile. Forces : Poids, Poussée d'Archimède ($F_A = 0,1N$), Frottement ($f=kv$ avec $k=0,2 SI$).

Établir l'équation différentielle.
Déterminer $v_{lim}$.

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Exercice 2

Chute d'une bille dans l'air ( $f=kv^2$ ). Montrer que $v_{lim} = \sqrt{\frac{mg}{k}}$ .

Exercice 2

Chute d'une bille dans l'air ($f=kv^2$). Montrer que $v_{lim} = \sqrt{\frac{mg}{k}}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Utiliser la méthode d'Euler avec $v(t+\Delta t) = v(t) + a(t) \cdot \Delta t$ pour calculer $v$ à $t=0,1s$ avec $a_0 = 5 m/s^2$ et $\Delta t = 0,05s$ .

Exercice 3

Utiliser la méthode d'Euler avec $v(t+\Delta t) = v(t) + a(t) \cdot \Delta t$ pour calculer $v$ à $t=0,1s$ avec $a_0 = 5 m/s^2$ et $\Delta t = 0,05s$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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