Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

تطبيقات قوانين نيوتن (حركة كوكب وأقمار اصطناعية)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Référentiels : On utilise le référentiel géocentrique pour les satellites terrestres et l'héliocentrique pour les planètes.
Loi de Newton : La force exercée par un corps $M$ sur un corps $m$ est : $\vec{F} = G \frac{M \cdot m}{r^2} \vec{n}$ , où $\vec{n}$ est le vecteur unitaire dirigé de $m$ vers $M$ .
Accélération : Dans une base de Frenet, pour un mouvement circulaire : $\vec{a} = a_n \vec{n} = \frac{v^2}{r} \vec{n}$ .
Vitesse : $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ .
3ème loi de Kepler : $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = \text{constante}$ .

Méthodes à maîtriser

Appliquer la 2ème loi de Newton : Projeter sur le vecteur normal $\vec{n}$ pour trouver l'accélération.
Exprimer la vitesse : Utiliser $v = \frac{2\pi r}{T}$ et l'égaliser avec $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ .
Satellite géostationnaire : Il doit être dans le plan équatorial, tourner dans le même sens que la Terre, et avoir une période $T = 24h$ .

Exemples corrigés

Calcul de $v$ : Pour un satellite à altitude $h$ , $r = R_T + h$ . Donc $v = \sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}}$ .
Calcul de $T$ : $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier d'ajouter l'altitude $h$ au rayon de la Terre $R_T$ ( $r = R_T + h$ ).
Confondre la période de rotation de la Terre sur elle-même avec la période de révolution du satellite.
Oublier de convertir les unités en unités SI (mètres, secondes, kg).

L'essentiel du cours

Référentiels : On utilise le référentiel géocentrique pour les satellites terrestres et l'héliocentrique pour les planètes.
Loi de Newton : La force exercée par un corps $M$ sur un corps $m$ est : $\vec{F} = G \frac{M \cdot m}{r^2} \vec{n}$, où $\vec{n}$ est le vecteur unitaire dirigé de $m$ vers $M$.
Accélération : Dans une base de Frenet, pour un mouvement circulaire : $\vec{a} = a_n \vec{n} = \frac{v^2}{r} \vec{n}$.
Vitesse : $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
3ème loi de Kepler : $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = \text{constante}$.

Méthodes à maîtriser

Appliquer la 2ème loi de Newton : Projeter sur le vecteur normal $\vec{n}$ pour trouver l'accélération.
Exprimer la vitesse : Utiliser $v = \frac{2\pi r}{T}$ et l'égaliser avec $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
Satellite géostationnaire : Il doit être dans le plan équatorial, tourner dans le même sens que la Terre, et avoir une période $T = 24h$.

Exemples corrigés

Calcul de $v$ : Pour un satellite à altitude $h$, $r = R_T + h$. Donc $v = \sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}}$.
Calcul de $T$ : $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$.

Erreurs fréquentes

Oublier d'ajouter l'altitude $h$ au rayon de la Terre $R_T$ ($r = R_T + h$).
Confondre la période de rotation de la Terre sur elle-même avec la période de révolution du satellite.
Oublier de convertir les unités en unités SI (mètres, secondes, kg).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 تطبيقات قوانين نيوتن (حركة كوكب وأقمار اصطناعية)

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L'unité de la constante de gravitation $G$ est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une orbite circulaire ?

C'est une trajectoire où la distance entre le satellite et le centre de l'astre est constante. C'est le cas idéal étudié au lycée.

💡 À retenir : $r = R_T + h = \text{constante}$ .

C'est une trajectoire où la distance entre le satellite et le centre de l'astre est constante. C'est le cas idéal étudié au lycée.

💡 À retenir : $r = R_T + h = \text{constante}$.

C'est quoi la différence entre le référentiel géocentrique et héliocentrique ?

Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et ses axes pointent vers des étoiles lointaines fixes. Il est utilisé pour les satellites terrestres. Le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du Soleil et est utilisé pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.

💡 À retenir : Le choix dépend de l'astre autour duquel le corps tourne.

Kifach n7seb l'vitesse dyal l'qamar l'istina3i?

Applique la 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ .
La seule force est la gravitation : $G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$ .
Simplifie par $m$ et $r$ , tu obtiens $v^2 = \frac{GM}{r}$ , donc $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ .

💡 À retenir : La vitesse ne dépend pas de la masse du satellite.

Applique la 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.
La seule force est la gravitation : $G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$.
Simplifie par $m$ et $r$, tu obtiens $v^2 = \frac{GM}{r}$, donc $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.

💡 À retenir : La vitesse ne dépend pas de la masse du satellite.

Pourquoi le satellite ne tombe-t-il pas sur Terre ?

Le satellite a une vitesse horizontale très élevée. La force de gravitation le "tire" vers le centre de la Terre, ce qui courbe sa trajectoire. Comme la Terre est ronde, il "tombe" en permanence tout en tournant autour d'elle.

💡 À retenir : C'est l'équilibre entre la vitesse et la force de gravitation.

Est-ce que la période T dépend de la masse du satellite ?

Non. D'après la 3ème loi de Kepler, $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$ . La masse $m$ du satellite disparaît lors du calcul.

💡 À retenir : Seule la masse de l'astre central $M$ compte.

Non. D'après la 3ème loi de Kepler, $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$. La masse $m$ du satellite disparaît lors du calcul.

💡 À retenir : Seule la masse de l'astre central $M$ compte.

Chno hiya l'condition bach ikoun l'qamar géostationnaire?

Pour qu'un satellite soit géostationnaire, il faut trois conditions :

Il doit être dans le plan de l'équateur terrestre.
Il doit tourner dans le même sens que la Terre.
Sa période de révolution doit être égale à la période de rotation de la Terre ( $T \approx 24h$ ).

💡 À retenir : Il reste fixe par rapport à un point de la Terre.

Pour qu'un satellite soit géostationnaire, il faut trois conditions :

Il doit être dans le plan de l'équateur terrestre.
Il doit tourner dans le même sens que la Terre.
Sa période de révolution doit être égale à la période de rotation de la Terre ($T \approx 24h$).

💡 À retenir : Il reste fixe par rapport à un point de la Terre.

Est-ce que l'accélération est constante ?

Le vecteur accélération $\vec{a}$ change de direction à chaque instant car il est toujours dirigé vers le centre. Cependant, sa valeur (norme) $a = \frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$ est constante si l'orbite est circulaire.

💡 À retenir : Le mouvement est uniforme mais pas rectiligne.

Kifach n7seb l'altitude h ila 3touni T?

Utilise la 3ème loi de Kepler : $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$ .
Isole $r$ : $r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}$ .
Calcule $h$ avec $h = r - R_T$ .

💡 À retenir : N'oublie pas de convertir $T$ en secondes.

Utilise la 3ème loi de Kepler : $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$.
Isole $r$ : $r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}$.
Calcule $h$ avec $h = r - R_T$.

💡 À retenir : N'oublie pas de convertir $T$ en secondes.

Le vecteur force est-il toujours perpendiculaire au déplacement ?

Oui, dans un mouvement circulaire uniforme, la force de gravitation est radiale (vers le centre) et le vecteur vitesse est tangentiel. Ils sont donc toujours perpendiculaires.

💡 À retenir : Le travail de la force de gravitation est nul.

Est-ce que le champ de pesanteur g est le même à l'altitude h ?

Non, le champ de pesanteur diminue avec l'altitude. On utilise $g(h) = \frac{GM}{(R_T+h)^2}$ .

💡 À retenir : $g$ n'est pas égal à $9,8 m/s^2$ en orbite.

Non, le champ de pesanteur diminue avec l'altitude. On utilise $g(h) = \frac{GM}{(R_T+h)^2}$.

💡 À retenir : $g$ n'est pas égal à $9,8 m/s^2$ en orbite.

Pourquoi on utilise la base de Frenet ?

Parce que dans un mouvement circulaire, le vecteur accélération n'a qu'une seule composante : la composante normale $\vec{n}$ . Cela simplifie énormément les calculs de la 2ème loi de Newton.

💡 À retenir : $\vec{a} = a_n \vec{n} + a_t \vec{\tau}$ avec $a_t = 0$ .

Parce que dans un mouvement circulaire, le vecteur accélération n'a qu'une seule composante : la composante normale $\vec{n}$. Cela simplifie énormément les calculs de la 2ème loi de Newton.

💡 À retenir : $\vec{a} = a_n \vec{n} + a_t \vec{\tau}$ avec $a_t = 0$.

Est-ce que la vitesse orbitale est la même pour toutes les planètes ?

Non, car la vitesse dépend de la distance $r$ au Soleil ( $v = \sqrt{GM/r}$ ). Plus la planète est éloignée du Soleil, plus sa vitesse orbitale est faible.

💡 À retenir : Les planètes proches du Soleil vont plus vite.

Non, car la vitesse dépend de la distance $r$ au Soleil ($v = \sqrt{GM/r}$). Plus la planète est éloignée du Soleil, plus sa vitesse orbitale est faible.

💡 À retenir : Les planètes proches du Soleil vont plus vite.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un satellite artificiel de masse $m$ décrit une orbite circulaire de rayon $r$ autour de la Terre de masse $M_T$ .

Exprimer l'accélération du satellite en fonction de $G, M_T$ et $r$ .
Montrer que le mouvement est uniforme.
Établir l'expression de la période $T$ .

Exercice 1

Un satellite artificiel de masse $m$ décrit une orbite circulaire de rayon $r$ autour de la Terre de masse $M_T$.

Exprimer l'accélération du satellite en fonction de $G, M_T$ et $r$.
Montrer que le mouvement est uniforme.
Établir l'expression de la période $T$.

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Exercice 2

Un satellite géostationnaire est à une altitude $h = 3,6 \times 10^4$ km. $R_T = 6400$ km. Calculer sa vitesse orbitale.

Exercice 2

Un satellite géostationnaire est à une altitude $h = 3,6 \times 10^4$ km. $R_T = 6400$ km. Calculer sa vitesse orbitale.

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Exercice 3

Soit deux satellites $S_1$ et $S_2$ en orbites circulaires de rayons $r_1$ et $r_2$ . Sachant que $r_2 = 4r_1$ , comparer leurs périodes $T_1$ et $T_2$ .

Exercice 3

Soit deux satellites $S_1$ et $S_2$ en orbites circulaires de rayons $r_1$ et $r_2$. Sachant que $r_2 = 4r_1$, comparer leurs périodes $T_1$ et $T_2$.

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