Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

التذبذبات الحرة في دارة RLC متوالية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans un circuit RLC série, l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ est : $L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = 0$ En utilisant $u_C = \frac{q}{C}$ , on obtient : $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0$ L'énergie totale du circuit est $E_e = E_C + E_m = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ . Si $R=0$ , l'énergie est conservée. Si $R \neq 0$ , l'énergie diminue : $\frac{dE_e}{dt} = -Ri^2$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$ .
Déterminer la pseudo-période : Mesurer graphiquement la distance entre deux maxima successifs sur l'oscillogramme.
Bilan énergétique : Savoir calculer les énergies à un instant $t$ et interpréter la perte d'énergie par effet Joule.

Exemples corrigés

Exemple : Pour un circuit avec $L=0,1 H$ et $C=10 \mu F$ , calculer la période propre $T_0$ (si $R=0$ ). $T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28 ms$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe (-) dans la dérivée de l'énergie.
Confondre la période propre $T_0$ (théorique, $R=0$ ) et la pseudo-période $T$ (réelle, $R \neq 0$ ).
Ne pas convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$ ).

L'essentiel du cours

Dans un circuit RLC série, l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ est : $$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = 0$$ En utilisant $u_C = \frac{q}{C}$, on obtient : $$\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0$$ L'énergie totale du circuit est $E_e = E_C + E_m = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$. Si $R=0$, l'énergie est conservée. Si $R \neq 0$, l'énergie diminue : $\frac{dE_e}{dt} = -Ri^2$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$.
Déterminer la pseudo-période : Mesurer graphiquement la distance entre deux maxima successifs sur l'oscillogramme.
Bilan énergétique : Savoir calculer les énergies à un instant $t$ et interpréter la perte d'énergie par effet Joule.

Exemples corrigés

Exemple : Pour un circuit avec $L=0,1 H$ et $C=10 \mu F$, calculer la période propre $T_0$ (si $R=0$). $T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28 ms$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe (-) dans la dérivée de l'énergie.
Confondre la période propre $T_0$ (théorique, $R=0$) et la pseudo-période $T$ (réelle, $R \neq 0$).
Ne pas convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 التذبذبات الحرة في دارة RLC متوالية

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Quelle est l'unité de l'inductance $L$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre régime périodique et pseudo-périodique ?

Le régime périodique n'existe que si $R=0$ (circuit LC idéal). L'amplitude reste constante.
Le régime pseudo-périodique existe quand $R \neq 0$ (circuit RLC réel). L'amplitude diminue au cours du temps à cause de l'effet Joule.

💡 À retenir : Le régime périodique est une idéalisation, le régime pseudo-périodique est la réalité physique.

Le régime périodique n'existe que si $R=0$ (circuit LC idéal). L'amplitude reste constante.
Le régime pseudo-périodique existe quand $R \neq 0$ (circuit RLC réel). L'amplitude diminue au cours du temps à cause de l'effet Joule.

💡 À retenir : Le régime périodique est une idéalisation, le régime pseudo-périodique est la réalité physique.

Kifach n7seb l-energie li t-fokdat f l-circuit ?

Calcule l'énergie totale à l'instant initial $t_1$ : $E_1 = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$ .
Calcule l'énergie totale à l'instant final $t_2$ : $E_2 = \frac{1}{2}Cu_C(t_2)^2 + \frac{1}{2}Li(t_2)^2$ .
La perte est $\Delta E = |E_2 - E_1|$ .

💡 À retenir : La perte d'énergie est toujours égale à l'énergie dissipée par effet Joule.

Calcule l'énergie totale à l'instant initial $t_1$ : $E_1 = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$.
Calcule l'énergie totale à l'instant final $t_2$ : $E_2 = \frac{1}{2}Cu_C(t_2)^2 + \frac{1}{2}Li(t_2)^2$.
La perte est $\Delta E = |E_2 - E_1|$.

💡 À retenir : La perte d'énergie est toujours égale à l'énergie dissipée par effet Joule.

Est-ce que la période propre dépend de la résistance ?

Non, la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ne dépend que des caractéristiques du condensateur et de la bobine.

💡 À retenir : La résistance influence l'amortissement (l'amplitude), mais pas la période propre.

Non, la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ne dépend que des caractéristiques du condensateur et de la bobine.

💡 À retenir : La résistance influence l'amortissement (l'amplitude), mais pas la période propre.

Wach l-mowassil l-omi kay-khli l-circuit y-twaqf ?

Oui, si la résistance est très grande, on passe d'un régime pseudo-périodique à un régime apériodique. Le condensateur se décharge sans osciller.

💡 À retenir : Plus $R$ est grande, plus l'amortissement est rapide.

Oui, si la résistance est très grande, on passe d'un régime pseudo-périodique à un régime apériodique. Le condensateur se décharge sans osciller.

💡 À retenir : Plus $R$ est grande, plus l'amortissement est rapide.

Comment tracer la courbe de l'énergie en fonction du temps ?

Calcule $E_C(t)$ et $E_m(t)$ pour plusieurs points.
Additionne-les pour avoir $E_e(t)$ .
Tu verras une courbe qui décroît vers zéro (si $R \neq 0$ ).

💡 À retenir : L'énergie totale est la somme des énergies électrique et magnétique.

Calcule $E_C(t)$ et $E_m(t)$ pour plusieurs points.
Additionne-les pour avoir $E_e(t)$.
Tu verras une courbe qui décroît vers zéro (si $R \neq 0$).

💡 À retenir : L'énergie totale est la somme des énergies électrique et magnétique.

Chno hiya l-condition bach n-golo belli T approx T0 ?

On considère que $T \approx T_0$ lorsque la résistance $R$ est très faible (amortissement très faible).

💡 À retenir : Si $R$ est négligeable, la pseudo-période est pratiquement égale à la période propre.

On considère que $T \approx T_0$ lorsque la résistance $R$ est très faible (amortissement très faible).

💡 À retenir : Si $R$ est négligeable, la pseudo-période est pratiquement égale à la période propre.

Pourquoi la bobine a-t-elle une résistance interne r ?

La bobine est constituée d'un fil de cuivre long qui possède une résistance propre. On ne peut pas l'ignorer dans les calculs précis.

💡 À retenir : La résistance totale du circuit est $R_{total} = R + r$ .

La bobine est constituée d'un fil de cuivre long qui possède une résistance propre. On ne peut pas l'ignorer dans les calculs précis.

💡 À retenir : La résistance totale du circuit est $R_{total} = R + r$.

Comment déterminer L graphiquement ?

Mesure la pseudo-période $T$ sur le graphe.
Utilise $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$ pour isoler $L$ .
$L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$ .

💡 À retenir : Cette méthode n'est valable que si l'amortissement est faible.

Mesure la pseudo-période $T$ sur le graphe.
Utilise $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$ pour isoler $L$.
$L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$.

💡 À retenir : Cette méthode n'est valable que si l'amortissement est faible.

Est-ce que le courant i peut être négatif ?

Oui, dans un circuit oscillant, le courant change de sens périodiquement. Il est donc alternativement positif et négatif.

💡 À retenir : Le courant est la dérivée de la charge, il oscille autour de zéro.

Wach l-energie kat-mchi l-l-mowassil l-omi wla l-washi3a ?

L'énergie est dissipée uniquement par effet Joule dans la résistance (le conducteur ohmique et la résistance interne de la bobine). La bobine, elle, stocke l'énergie magnétique.

💡 À retenir : Seule la résistance dissipe l'énergie.

Quelle est l'unité du facteur de qualité ?

Le facteur de qualité est une grandeur sans unité.

💡 À retenir : Il permet de comparer la qualité de l'oscillation.

Comment varie la tension uC aux bornes du condensateur ?

Elle oscille de façon sinusoïdale amortie. Son amplitude diminue exponentiellement au cours du temps.

💡 À retenir : L'enveloppe des maxima de $u_C$ est une fonction exponentielle décroissante.

Elle oscille de façon sinusoïdale amortie. Son amplitude diminue exponentiellement au cours du temps.

💡 À retenir : L'enveloppe des maxima de $u_C$ est une fonction exponentielle décroissante.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Dans un circuit RLC avec $R=10\Omega$ , $L=0,5H$ et $C=20\mu F$ . On observe des oscillations amorties.

Calculer la pseudo-période $T$ (on prendra $T \approx T_0$ ).
Calculer l'énergie totale à $t=0$ si $u_C(0) = 10V$ .

Exercice 1

Dans un circuit RLC avec $R=10\Omega$, $L=0,5H$ et $C=20\mu F$. On observe des oscillations amorties.

Calculer la pseudo-période $T$ (on prendra $T \approx T_0$).
Calculer l'énergie totale à $t=0$ si $u_C(0) = 10V$.

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Exercice 2

On étudie un circuit RLC avec une bobine réelle (résistance $r$ ). L'énergie totale passe de $E_1 = 2mJ$ à $t_1=0$ à $E_2 = 1,5mJ$ à $t_2=T$ . Calculer l'énergie dissipée par effet Joule.

Exercice 2

On étudie un circuit RLC avec une bobine réelle (résistance $r$). L'énergie totale passe de $E_1 = 2mJ$ à $t_1=0$ à $E_2 = 1,5mJ$ à $t_2=T$. Calculer l'énergie dissipée par effet Joule.

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Exercice 3

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C=10\mu F$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable, et un interrupteur. Le condensateur est chargé sous $E=6V$ . À $t=0$ , on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle.
Calculer $L$ sachant que la période propre est $T_0 = 20ms$ .

Exercice 3

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C=10\mu F$, une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable, et un interrupteur. Le condensateur est chargé sous $E=6V$. À $t=0$, on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle.
Calculer $L$ sachant que la période propre est $T_0 = 20ms$.

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