Sciences de l'Ingénieur · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — TSI

Cinématique du solide

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La cinématique du solide étudie le mouvement sans considérer les causes (forces).

Vecteur vitesse : $\vec{V}_{M \in S_1/S_0} = \left[ \frac{d\vec{OM}}{dt} \right]_{R_0}$ .
Champ des vitesses : Pour deux points $A$ et $B$ d'un solide $S_1/S_0$ : $\vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega}_{S_1/S_0} \wedge \vec{AB}$ .
Torseur cinématique : $\{ \mathcal{V}_{S_1/S_0} \} = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}_{S_1/S_0} \\ \vec{V}_{A \in S_1/S_0} \end{Bmatrix}_A$ .

Méthodes à maîtriser

Dérivation vectorielle : Utiliser la formule de dérivation dans une base mobile.
Composition des vitesses : $\vec{V}_{M \in 2/0} = \vec{V}_{M \in 2/1} + \vec{V}_{M \in 1/0}$ .
Détermination du CIR (Centre Instantané de Rotation) en plan : point où la vitesse est nulle.

Exemples corrigés

Exemple : Soit une bielle en rotation autour d'un axe fixe. Si $\vec{\Omega} = \omega \vec{k}$ , alors $\vec{V}_B = \vec{V}_A + (\omega \vec{k}) \wedge \vec{AB}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le référentiel de dérivation.
Inverser l'ordre du produit vectoriel $\vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$ .
Confondre vecteur rotation et vecteur vitesse.

L'essentiel du cours

La cinématique du solide étudie le mouvement sans considérer les causes (forces).

Vecteur vitesse : $\vec{V}{M \in S_1/S_0} = \left[ \frac{d\vec{OM}}{dt} \right]{R_0}$.
Champ des vitesses : Pour deux points $A$ et $B$ d'un solide $S_1/S_0$ : $\vec{V}_B = \vec{V}A + \vec{\Omega}{S_1/S_0} \wedge \vec{AB}$.
Torseur cinématique : ${ \mathcal{V}{S_1/S_0} } = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}{S_1/S_0} \ \vec{V}_{A \in S_1/S_0} \end{Bmatrix}_A$.

Méthodes à maîtriser

Dérivation vectorielle : Utiliser la formule de dérivation dans une base mobile.
Composition des vitesses : $\vec{V}{M \in 2/0} = \vec{V}{M \in 2/1} + \vec{V}_{M \in 1/0}$.
Détermination du CIR (Centre Instantané de Rotation) en plan : point où la vitesse est nulle.

Exemples corrigés

Exemple : Soit une bielle en rotation autour d'un axe fixe. Si $\vec{\Omega} = \omega \vec{k}$, alors $\vec{V}_B = \vec{V}_A + (\omega \vec{k}) \wedge \vec{AB}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le référentiel de dérivation.
Inverser l'ordre du produit vectoriel $\vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$.
Confondre vecteur rotation et vecteur vitesse.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Cinématique du solide

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Dans un mouvement de translation, le vecteur rotation est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un solide indéformable ?

C'est un modèle mathématique où la distance entre deux points quelconques $A$ et $B$ du solide reste constante au cours du temps : $AB = \text{cste}$ .

💡 À retenir : La distance entre deux points ne change jamais.

C'est un modèle mathématique où la distance entre deux points quelconques $A$ et $B$ du solide reste constante au cours du temps : $AB = \text{cste}$.

💡 À retenir : La distance entre deux points ne change jamais.

Kifach n7seb vec{Omega} ila 3ndi l'angle theta ?

Identifie l'axe de rotation.
Dérive l'angle par rapport au temps : $\vec{\Omega} = \dot{\theta} \vec{u}_{axe}$ .

💡 À retenir : $\vec{\Omega} = \frac{d\theta}{dt} \vec{k}$ .

Identifie l'axe de rotation.
Dérive l'angle par rapport au temps : $\vec{\Omega} = \dot{\theta} \vec{u}_{axe}$.

💡 À retenir : $\vec{\Omega} = \frac{d\theta}{dt} \vec{k}$.

C'est quoi le torseur cinématique ?

C'est un outil mathématique qui regroupe la rotation ( $\vec{\Omega}$ ) et la translation ( $\vec{V}$ ) d'un solide.

💡 À retenir : Il définit complètement le mouvement d'un solide.

C'est un outil mathématique qui regroupe la rotation ($\vec{\Omega}$) et la translation ($\vec{V}$) d'un solide.

💡 À retenir : Il définit complètement le mouvement d'un solide.

Chno hiya l'utilité dyal le CIR ?

Le CIR permet de simplifier le calcul des vitesses dans un mouvement plan, car sa vitesse est nulle.

💡 À retenir : Si $I$ est le CIR, $\vec{V}_I = \vec{0}$ .

Le CIR permet de simplifier le calcul des vitesses dans un mouvement plan, car sa vitesse est nulle.

💡 À retenir : Si $I$ est le CIR, $\vec{V}_I = \vec{0}$.

Est-ce que la vitesse dépend du point choisi ?

Oui, la vitesse d'un point $B$ dépend de la vitesse d'un point $A$ et de la rotation du solide.

💡 À retenir : $\vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$ .

Oui, la vitesse d'un point $B$ dépend de la vitesse d'un point $A$ et de la rotation du solide.

💡 À retenir : $\vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$.

Kifach n3ref wach l'mouvement translation wla rotation ?

Translation : $\vec{\Omega} = \vec{0}$ , tous les points ont la même vitesse.
Rotation : $\vec{\Omega} \neq \vec{0}$ , les points tournent autour d'un axe.

💡 À retenir : Regarde si $\vec{\Omega}$ est nul ou non.

Translation : $\vec{\Omega} = \vec{0}$, tous les points ont la même vitesse.
Rotation : $\vec{\Omega} \neq \vec{0}$, les points tournent autour d'un axe.

💡 À retenir : Regarde si $\vec{\Omega}$ est nul ou non.

Comment dériver un vecteur dans une base mobile ?

Utilise la formule de Bour : $\left[ \frac{d\vec{u}}{dt} \right]_{R_0} = \left[ \frac{d\vec{u}}{dt} \right]_{R_1} + \vec{\Omega}_{R_1/R_0} \wedge \vec{u}$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier le terme de rotation.

Utilise la formule de Bour : $\left[ \frac{d\vec{u}}{dt} \right]{R_0} = \left[ \frac{d\vec{u}}{dt} \right]{R_1} + \vec{\Omega}_{R_1/R_0} \wedge \vec{u}$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le terme de rotation.

Le torseur est-il le même en tout point ?

Non, le vecteur rotation est le même, mais le vecteur vitesse change selon le point de réduction.

💡 À retenir : Le champ des vitesses est un torseur.

Est-ce que la vitesse est toujours tangente à la trajectoire ?

Oui, par définition, le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire du point.

💡 À retenir : $\vec{V} = \frac{d\vec{OM}}{dt}$ .

Oui, par définition, le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire du point.

💡 À retenir : $\vec{V} = \frac{d\vec{OM}}{dt}$.

Est-ce que le vecteur rotation est un vecteur lié ?

Non, c'est un vecteur glissant ou libre dans le torseur, il caractérise l'état de rotation du solide.

💡 À retenir : $\vec{\Omega}$ est indépendant du point de réduction.

Non, c'est un vecteur glissant ou libre dans le torseur, il caractérise l'état de rotation du solide.

💡 À retenir : $\vec{\Omega}$ est indépendant du point de réduction.

Comment calculer la vitesse d'un point dans un mécanisme ?

Définir les référentiels.
Utiliser la relation du champ des vitesses.
Appliquer la composition des vitesses si nécessaire.

💡 À retenir : Toujours projeter dans une base orthonormée.

Pourquoi le torseur cinématique est-il utile ?

Il permet de résoudre les problèmes de mécanismes complexes par des calculs vectoriels systématiques.

💡 À retenir : C'est la base de la cinématique analytique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit une roue de rayon $R$ roulant sans glissement sur un plan fixe. Déterminer la vitesse du centre $O$ en fonction de $\omega$ .

Exercice 1

Soit une roue de rayon $R$ roulant sans glissement sur un plan fixe. Déterminer la vitesse du centre $O$ en fonction de $\omega$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un bras robotique tourne autour d'un axe fixe avec $\omega = 2$ rad/s. Calculer la vitesse d'un point $M$ situé à $0.5$ m de l'axe.

Exercice 2

Un bras robotique tourne autour d'un axe fixe avec $\omega = 2$ rad/s. Calculer la vitesse d'un point $M$ situé à $0.5$ m de l'axe.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit un solide en mouvement plan. Le point $A$ a une vitesse $\vec{V}_A = 2\vec{i}$ et le point $B$ a une vitesse $\vec{V}_B = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ . Déterminer $\vec{\Omega}$ .

Exercice 3

Soit un solide en mouvement plan. Le point $A$ a une vitesse $\vec{V}_A = 2\vec{i}$ et le point $B$ a une vitesse $\vec{V}_B = 2\vec{i} + 3\vec{j}$. Déterminer $\vec{\Omega}$.

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