Physique · BTS & DUT (EST) — DUT (EST)

Oscillations libres dans un circuit RLC série

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans un circuit RLC série, l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ est : $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}q = 0$ L'énergie totale du circuit est $E_e + E_m = \frac{q^2}{2C} + \frac{1}{2}Li^2$ . En présence de résistance, $E$ diminue au cours du temps : $\frac{dE}{dt} = -Ri^2 < 0$ .

Méthodes à maîtriser

Établissement de l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$ .
Identification des régimes : Comparer la résistance $R$ à la valeur critique $R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$ .
Exploitation des courbes : Mesurer la pseudo-période $T$ sur un graphe $q(t)$ ou $u_C(t)$ .

Exemples corrigés

Exemple : Pour $L=0.1$ H et $C=10$ µF, calculer $R_c$ . $R_c = 2\sqrt{0.1 / 10^{-5}} = 2\sqrt{10^4} = 200 \, \Omega$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe (-) dans l'expression de la dérivée de l'énergie.
Confondre la période propre $T_0$ avec la pseudo-période $T$ quand $R \neq 0$ .

L'essentiel du cours

Dans un circuit RLC série, l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ est : $$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}q = 0$$ L'énergie totale du circuit est $E_e + E_m = \frac{q^2}{2C} + \frac{1}{2}Li^2$. En présence de résistance, $E$ diminue au cours du temps : $\frac{dE}{dt} = -Ri^2 < 0$.

Méthodes à maîtriser

Établissement de l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$.
Identification des régimes : Comparer la résistance $R$ à la valeur critique $R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$.
Exploitation des courbes : Mesurer la pseudo-période $T$ sur un graphe $q(t)$ ou $u_C(t)$.

Exemples corrigés

Exemple : Pour $L=0.1$ H et $C=10$ µF, calculer $R_c$. $R_c = 2\sqrt{0.1 / 10^{-5}} = 2\sqrt{10^4} = 200 , \Omega$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe (-) dans l'expression de la dérivée de l'énergie.
Confondre la période propre $T_0$ avec la pseudo-période $T$ quand $R \neq 0$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Oscillations libres dans un circuit RLC série

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Dans un circuit LC idéal ( $R=0$ ), l'énergie totale est :

Dans un circuit LC idéal ($R=0$), l'énergie totale est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach régime pseudo-périodique wla la?

Chouf l'oscillogramme dyal $u_C(t)$ .
Ila kan l'amplitude ktnqiss b ttdrij o kaynin d'oscillations, rah régime pseudo-périodique.
Ila kan l'amplitude ktrja3 l zero bla matdour, rah régime apériodique.

💡 À retenir : Le régime dépend de la valeur de $R$ par rapport à $R_c = 2\sqrt{L/C}$ .

Chouf l'oscillogramme dyal $u_C(t)$.
Ila kan l'amplitude ktnqiss b ttdrij o kaynin d'oscillations, rah régime pseudo-périodique.
Ila kan l'amplitude ktrja3 l zero bla matdour, rah régime apériodique.

💡 À retenir : Le régime dépend de la valeur de $R$ par rapport à $R_c = 2\sqrt{L/C}$.

Est-ce que l'énergie totale se conserve dans un circuit RLC ?

Non, l'énergie totale ne se conserve pas car la résistance $R$ dissipe l'énergie par effet Joule.

💡 À retenir : $E_{totale}$ diminue au cours du temps : $\Delta E = - \int Ri^2 dt$ .

Non, l'énergie totale ne se conserve pas car la résistance $R$ dissipe l'énergie par effet Joule.

💡 À retenir : $E_{totale}$ diminue au cours du temps : $\Delta E = - \int Ri^2 dt$.

Chno hiya l'relation bin T0 o T ?

$T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ est la période propre (quand $R=0$ ).
$T$ est la pseudo-période (quand $R \neq 0$ ).
En général, $T \approx T_0$ si l'amortissement est faible.

💡 À retenir : $T_0$ est une caractéristique du circuit LC, $T$ dépend de $R$ .

$T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ est la période propre (quand $R=0$).
$T$ est la pseudo-période (quand $R \neq 0$).
En général, $T \approx T_0$ si l'amortissement est faible.

💡 À retenir : $T_0$ est une caractéristique du circuit LC, $T$ dépend de $R$.

Kifach n7seb l'énergie magnétique f bobine?

Utilise la formule $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ avec $L$ en Henry et $i$ en Ampère.

💡 À retenir : L'énergie est toujours positive.

Utilise la formule $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ avec $L$ en Henry et $i$ en Ampère.

💡 À retenir : L'énergie est toujours positive.

Pourquoi l'équation différentielle a-t-elle un terme en dq/dt ?

Ce terme provient de la tension aux bornes de la résistance $u_R = R \cdot i = R \cdot \frac{dq}{dt}$ .

💡 À retenir : C'est le terme d'amortissement.

Ce terme provient de la tension aux bornes de la résistance $u_R = R \cdot i = R \cdot \frac{dq}{dt}$.

💡 À retenir : C'est le terme d'amortissement.

Est-ce que T0 dépend de la charge initiale ?

Non, $T_0$ dépend uniquement des caractéristiques du circuit ( $L$ et $C$ ).

💡 À retenir : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Non, $T_0$ dépend uniquement des caractéristiques du circuit ($L$ et $C$).

💡 À retenir : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

Est-ce que la bobine est idéale ?

Dans les exercices, si on ne donne pas la résistance interne $r$ , on la considère souvent comme négligeable, sauf mention contraire.

💡 À retenir : Si $r \neq 0$ , la résistance totale du circuit est $R_{tot} = R + r$ .

Dans les exercices, si on ne donne pas la résistance interne $r$, on la considère souvent comme négligeable, sauf mention contraire.

💡 À retenir : Si $r \neq 0$, la résistance totale du circuit est $R_{tot} = R + r$.

Comment tracer la courbe de l'énergie ?

Calcule $E_e(t) = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$ et $E_m(t) = \frac{1}{2} Li^2$ .
Additionne les deux pour avoir $E_{tot}(t)$ .
La courbe $E_{tot}(t)$ est décroissante.

💡 À retenir : L'énergie totale est la somme des deux énergies.

Calcule $E_e(t) = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$ et $E_m(t) = \frac{1}{2} Li^2$.
Additionne les deux pour avoir $E_{tot}(t)$.
La courbe $E_{tot}(t)$ est décroissante.

💡 À retenir : L'énergie totale est la somme des deux énergies.

Est-ce que q peut être négative ?

Oui, la charge $q$ oscille entre des valeurs positives et négatives.

💡 À retenir : $q(t) = Q_{max} \cos(\frac{2\pi}{T}t + \phi)$ .

Oui, la charge $q$ oscille entre des valeurs positives et négatives.

💡 À retenir : $q(t) = Q_{max} \cos(\frac{2\pi}{T}t + \phi)$.

Est-ce que le régime critique est le plus rapide ?

Oui, c'est le régime qui permet au système de revenir à l'équilibre sans oscillations dans le temps le plus court.

💡 À retenir : $R = R_c$ .

Oui, c'est le régime qui permet au système de revenir à l'équilibre sans oscillations dans le temps le plus court.

💡 À retenir : $R = R_c$.

Wach l'énergie katmchi l'zero f régime apériodique ?

Oui, toute l'énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance.

💡 À retenir : Le système finit par s'immobiliser.

Comment déterminer L graphiquement ?

Mesure $T$ sur le graphe.
Utilise $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
$L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$ .

💡 À retenir : Cette méthode n'est valable que pour un faible amortissement.

Mesure $T$ sur le graphe.
Utilise $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.
$L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$.

💡 À retenir : Cette méthode n'est valable que pour un faible amortissement.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$ , une bobine d'inductance $L = 0.2 H$ et de résistance négligeable, et un conducteur ohmique de résistance $R = 50 \Omega$ . À $t=0$ , le condensateur est chargé sous une tension $U_0 = 6V$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Calculer la période propre $T_0$ .
Calculer l'énergie totale initiale $E_0$ .

Exercice 1

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$, une bobine d'inductance $L = 0.2 H$ et de résistance négligeable, et un conducteur ohmique de résistance $R = 50 \Omega$. À $t=0$, le condensateur est chargé sous une tension $U_0 = 6V$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Calculer la période propre $T_0$.
Calculer l'énergie totale initiale $E_0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On étudie les oscillations d'un circuit RLC avec $R=100 \Omega, L=0.5 H, C=20 \mu F$ .

Déterminer la valeur de la résistance critique $R_c$ .
Quel est le régime d'oscillation ? Justifier.

Exercice 2

On étudie les oscillations d'un circuit RLC avec $R=100 \Omega, L=0.5 H, C=20 \mu F$.

Déterminer la valeur de la résistance critique $R_c$.
Quel est le régime d'oscillation ? Justifier.

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Exercice 3

Un circuit RLC a une énergie totale $E(t)$ . Montrer que $\frac{dE}{dt} = -Ri^2$ .

Exercice 3

Un circuit RLC a une énergie totale $E(t)$. Montrer que $\frac{dE}{dt} = -Ri^2$.

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