Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Généralités sur les fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensemble de définition : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / f(x) \in \mathbb{R}\}$ .
Parité :
- Paire : $D_f$ symétrique et $f(-x) = f(x)$ . Symétrie axiale (axe $(Oy)$ ).
- Impaire : $D_f$ symétrique et $f(-x) = -f(x)$ . Symétrie centrale (origine $O$ ).
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ $T = \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}}$ .
- $T > 0$ : $f$ est strictement croissante.
- $T < 0$ : $f$ est strictement décroissante.
Bornes : $f$ est bornée si $\exists m, M \in \mathbb{R}$ tels que $\forall x \in D_f, m \leq f(x) \leq M$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ (attention aux dénominateurs $\neq 0$ et racines $\geq 0$ ).
Étudier la parité : calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ .
Étudier le sens de variation via le taux de variation $T$ .
Dresser le tableau de variation.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ . $D_f = \mathbb{R}$ . $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2+1} = f(x)$ , donc paire.
Exemple 2 : $f(x) = 2x+3$ . $T = \frac{(2x_1+3)-(2x_2+3)}{x_1-x_2} = \frac{2(x_1-x_2)}{x_1-x_2} = 2$ . Comme $2 > 0$ , $f$ est croissante.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $D_f$ est symétrique avant de conclure sur la parité.
Confondre "croissante" avec "positive".
Ne pas simplifier le taux de variation $T$ correctement.

L'essentiel du cours

Ensemble de définition : $D_f = {x \in \mathbb{R} / f(x) \in \mathbb{R}}$.
Parité :
- Paire : $D_f$ symétrique et $f(-x) = f(x)$. Symétrie axiale (axe $(Oy)$).
- Impaire : $D_f$ symétrique et $f(-x) = -f(x)$. Symétrie centrale (origine $O$).
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$.
- $T > 0$ : $f$ est strictement croissante.
- $T < 0$ : $f$ est strictement décroissante.
Bornes : $f$ est bornée si $\exists m, M \in \mathbb{R}$ tels que $\forall x \in D_f, m \leq f(x) \leq M$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ (attention aux dénominateurs $\neq 0$ et racines $\geq 0$).
Étudier la parité : calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$.
Étudier le sens de variation via le taux de variation $T$.
Dresser le tableau de variation.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$. $D_f = \mathbb{R}$. $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2+1} = f(x)$, donc paire.
Exemple 2 : $f(x) = 2x+3$. $T = \frac{(2x_1+3)-(2x_2+3)}{x_1-x_2} = \frac{2(x_1-x_2)}{x_1-x_2} = 2$. Comme $2 > 0$, $f$ est croissante.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $D_f$ est symétrique avant de conclure sur la parité.
Confondre "croissante" avec "positive".
Ne pas simplifier le taux de variation $T$ correctement.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Généralités sur les fonctions

1/4

Quel est l'ensemble de définition de $f(x) = \sqrt{x-3}$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n'rsem la courbe ila kant la fonction paire ?

Tu traces la courbe sur la partie positive de l'axe des abscisses.
Tu fais une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ .

💡 À retenir : La courbe est "miroir" par rapport à l'axe $(Oy)$ .

Tu traces la courbe sur la partie positive de l'axe des abscisses.
Tu fais une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.

💡 À retenir : La courbe est "miroir" par rapport à l'axe $(Oy)$.

Kifach n7seb Df ila kan l'khen fih l'khen (racine) w l'khen fih l'khen (dénominateur) ?

Il faut que ce qui est sous la racine soit $\geq 0$ .
Il faut que le dénominateur soit $\neq 0$ .
Tu résous les deux conditions en même temps (intersection des ensembles).

💡 À retenir : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / x \in D_1 \text{ et } x \in D_2\}$ .

Il faut que ce qui est sous la racine soit $\geq 0$.
Il faut que le dénominateur soit $\neq 0$.
Tu résous les deux conditions en même temps (intersection des ensembles).

💡 À retenir : $D_f = {x \in \mathbb{R} / x \in D_1 \text{ et } x \in D_2}$.

Chno hiya l'far9 bin fonction majorée w fonction bornée ?

Majorée : il existe un nombre $M$ tel que $f(x) \leq M$ pour tout $x$ .
Bornée : il existe deux nombres $m$ et $M$ tels que $m \leq f(x) \leq M$ .
Une fonction bornée est forcément majorée, mais l'inverse n'est pas vrai.

💡 À retenir : Bornée = Majorée ET Minorée.

Majorée : il existe un nombre $M$ tel que $f(x) \leq M$ pour tout $x$.
Bornée : il existe deux nombres $m$ et $M$ tels que $m \leq f(x) \leq M$.
Une fonction bornée est forcément majorée, mais l'inverse n'est pas vrai.

💡 À retenir : Bornée = Majorée ET Minorée.

Wach darouri n'biyen Df symétrique f't'marin d'parité ?

Oui, c'est la première condition obligatoire. Si l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, la fonction ne peut pas être paire ou impaire.

💡 À retenir : Pas de symétrie de $D_f \implies$ ni paire ni impaire.

Oui, c'est la première condition obligatoire. Si l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, la fonction ne peut pas être paire ou impaire.

💡 À retenir : Pas de symétrie de $D_f \implies$ ni paire ni impaire.

Comment montrer qu'une fonction est croissante sur un intervalle ?

Prends deux réels $a$ et $b$ dans l'intervalle tels que $a < b$ .
Calcule $f(a) - f(b)$ ou le taux de variation $T$ .
Montre que $f(a) < f(b)$ (ou $T > 0$ ).

💡 À retenir : Si $a < b \implies f(a) < f(b)$ , alors $f$ est croissante.

Prends deux réels $a$ et $b$ dans l'intervalle tels que $a < b$.
Calcule $f(a) - f(b)$ ou le taux de variation $T$.
Montre que $f(a) < f(b)$ (ou $T > 0$).

💡 À retenir : Si $a < b \implies f(a) < f(b)$, alors $f$ est croissante.

Est-ce que le taux de variation dépend des points choisis ?

Non, pour une fonction affine, le taux est constant. Pour les autres, il dépend de l'intervalle, mais le signe du taux indique le sens de variation sur tout l'intervalle.

💡 À retenir : Le taux de variation mesure la pente de la droite reliant deux points.

Chno hiya l'image d'un intervalle ?

C'est l'ensemble des valeurs que prend $f(x)$ quand $x$ parcourt l'intervalle $[a, b]$ . Si $f$ est croissante, l'image est $[f(a), f(b)]$ .

💡 À retenir : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

C'est l'ensemble des valeurs que prend $f(x)$ quand $x$ parcourt l'intervalle $[a, b]$. Si $f$ est croissante, l'image est $[f(a), f(b)]$.

💡 À retenir : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Comment trouver le maximum d'une fonction ?

Cherche la valeur la plus grande atteinte par $f(x)$ sur son domaine.
Vérifie que $f(x) \leq M$ pour tout $x$ .
Montre qu'il existe un $x_0$ tel que $f(x_0) = M$ .

💡 À retenir : Le maximum est la valeur maximale atteinte.

Cherche la valeur la plus grande atteinte par $f(x)$ sur son domaine.
Vérifie que $f(x) \leq M$ pour tout $x$.
Montre qu'il existe un $x_0$ tel que $f(x_0) = M$.

💡 À retenir : Le maximum est la valeur maximale atteinte.

Est-ce qu'une fonction peut être ni paire ni impaire ?

Oui, la majorité des fonctions ne sont ni paires ni impaires (ex: $f(x) = x+1$ ).

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une règle générale.

Oui, la majorité des fonctions ne sont ni paires ni impaires (ex: $f(x) = x+1$).

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une règle générale.

Kifach n'3ref wach la fonction croissante wla la ?

Regarde le signe du taux de variation $T$ . Si $T > 0$ , elle monte (croissante). Si $T < 0$ , elle descend (décroissante).

💡 À retenir : $T > 0 \iff$ croissante.

Regarde le signe du taux de variation $T$. Si $T > 0$, elle monte (croissante). Si $T < 0$, elle descend (décroissante).

💡 À retenir : $T > 0 \iff$ croissante.

Est-ce que f(x) = x^2 est bornée sur mathbb{R} ?

Non, car $x^2$ peut être aussi grand que l'on veut quand $x$ tend vers l'infini. Elle est minorée par 0, mais pas majorée.

💡 À retenir : Une fonction doit être limitée en haut ET en bas pour être bornée.

Non, car $x^2$ peut être aussi grand que l'on veut quand $x$ tend vers l'infini. Elle est minorée par 0, mais pas majorée.

💡 À retenir : Une fonction doit être limitée en haut ET en bas pour être bornée.

C'est quoi un antécédent ?

C'est la valeur de $x$ qui donne une valeur $y$ précise. Pour trouver l'antécédent de $y_0$ , on résout l'équation $f(x) = y_0$ .

💡 À retenir : $x$ est l'antécédent, $f(x)$ est l'image.

C'est la valeur de $x$ qui donne une valeur $y$ précise. Pour trouver l'antécédent de $y_0$, on résout l'équation $f(x) = y_0$.

💡 À retenir : $x$ est l'antécédent, $f(x)$ est l'image.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la parité de $f$ .
Calculer le taux de variation $T$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la parité de $f$.
Calculer le taux de variation $T$ sur $\mathbb{R}$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Montrer que $f(x) = (x-2)^2 - 1$ .
Étudier les variations de $f$ sur $[2, +\infty[$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Montrer que $f(x) = (x-2)^2 - 1$.
Étudier les variations de $f$ sur $[2, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{3}{x-1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $]1, +\infty[$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{3}{x-1}$.

Déterminer $D_f$.
Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $]1, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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