Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Étude des fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité : Si $f(-x) = f(x)$ , $f$ est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). Si $f(-x) = -f(x)$ , $f$ est impaire (symétrie par rapport à l'origine).
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$ , elle est strictement décroissante.
Concavité : Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe. Si $f''(x) < 0$ , elle est concave.
Asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ , $x=a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ , $y=b$ est asymptote horizontale.

Méthodes à maîtriser

Étude complète : Déterminer $D_f$ , calculer les limites aux bornes, calculer $f'(x)$ , dresser le tableau de variation.
Recherche d'asymptotes : Calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ . Si le résultat est $a \neq 0$ , chercher $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax)$ .
Point d'inflexion : Résoudre $f''(x) = 0$ avec changement de signe.

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . $f'(x) = 2x - 4$ . $f'(x)=0 \implies x=2$ . $f(2) = -1$ . La fonction décroît sur $]-\infty, 2]$ et croît sur $[2, +\infty[$ .
Asymptote : Pour $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ , donc $x=1$ est asymptote verticale.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$ .
Mal calculer la limite en $\pm \infty$ pour les fonctions rationnelles (oublier de prendre les termes de plus haut degré).

L'essentiel du cours

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité : Si $f(-x) = f(x)$, $f$ est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). Si $f(-x) = -f(x)$, $f$ est impaire (symétrie par rapport à l'origine).
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$, $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$, elle est strictement décroissante.
Concavité : Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe. Si $f''(x) < 0$, elle est concave.
Asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, $x=a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, $y=b$ est asymptote horizontale.

Méthodes à maîtriser

Étude complète : Déterminer $D_f$, calculer les limites aux bornes, calculer $f'(x)$, dresser le tableau de variation.
Recherche d'asymptotes : Calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$. Si le résultat est $a \neq 0$, chercher $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax)$.
Point d'inflexion : Résoudre $f''(x) = 0$ avec changement de signe.

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. $f'(x) = 2x - 4$. $f'(x)=0 \implies x=2$. $f(2) = -1$. La fonction décroît sur $]-\infty, 2]$ et croît sur $[2, +\infty[$.
Asymptote : Pour $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$, donc $x=1$ est asymptote verticale.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$.
Mal calculer la limite en $\pm \infty$ pour les fonctions rationnelles (oublier de prendre les termes de plus haut degré).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Étude des fonctions

1/4

Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est :

Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ?

Vérifie d'abord que le domaine de définition $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$ , alors $-x \in D_f$ ).
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : La parité permet de réduire l'étude à $[0, +\infty[$ .

Vérifie d'abord que le domaine de définition $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$, alors $-x \in D_f$).
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : La parité permet de réduire l'étude à $[0, +\infty[$.

Kifach n3ref wach l'asymptote oblique kayn wla la ?

Khas tkon $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$ .
Hseb $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (ila kan $a \in \mathbb{R}^*$ ).
Hseb $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b$ (ila kan $b \in \mathbb{R}$ ).
Ila l9iti $a$ o $b$ , l'asymptote hiya $y = ax + b$ .

💡 À retenir : Ila l9iti $a=0$ , rah asymptote horizontale.

Khas tkon $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$.
Hseb $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (ila kan $a \in \mathbb{R}^*$).
Hseb $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b$ (ila kan $b \in \mathbb{R}$).
Ila l9iti $a$ o $b$, l'asymptote hiya $y = ax + b$.

💡 À retenir : Ila l9iti $a=0$, rah asymptote horizontale.

Est-ce que le point d'inflexion est toujours le sommet de la parabole ?

Non, pas du tout. Le point d'inflexion est le point où la courbe change de concavité (elle passe de "creuse" à "bombée" ou inversement). Pour une fonction du second degré ( $ax^2+bx+c$ ), $f''(x) = 2a$ , qui ne s'annule jamais, donc il n'y a pas de point d'inflexion.

💡 À retenir : Le point d'inflexion nécessite $f''(x) = 0$ et un changement de signe.

Non, pas du tout. Le point d'inflexion est le point où la courbe change de concavité (elle passe de "creuse" à "bombée" ou inversement). Pour une fonction du second degré ($ax^2+bx+c$), $f''(x) = 2a$, qui ne s'annule jamais, donc il n'y a pas de point d'inflexion.

💡 À retenir : Le point d'inflexion nécessite $f''(x) = 0$ et un changement de signe.

Chno hiya l'utilité dyal tableau de variation ?

Tableau de variation kay3tina kholasa 3la:

Fin katkon la fonction tal3a aw habta.
Fin kaynin les extremums (les valeurs maximales et minimales).
Les limites f les bornes dyal domaine.

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour tracer la courbe correctement.

Comment déterminer la concavité d'une fonction ?

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
Étudie le signe de $f''(x)$ .
Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$ , la courbe est concave (tournée vers le bas).

💡 À retenir : Le changement de signe de $f''(x)$ indique un point d'inflexion.

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
Étudie le signe de $f''(x)$.
Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$, la courbe est concave (tournée vers le bas).

💡 À retenir : Le changement de signe de $f''(x)$ indique un point d'inflexion.

Kifach n7seb l'équation dyal l'asymptote f l'infini ?

Hseb $\lim_{x \to \infty} f(x)$ . Ila l9iti 3dad $L$ , l'asymptote hiya $y=L$ .
Ila l9iti $\infty$ , hseb $\frac{f(x)}{x}$ . Ila l9iti $a$ , hseb $f(x)-ax$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier les limites aux bornes du domaine.

Hseb $\lim_{x \to \infty} f(x)$. Ila l9iti 3dad $L$, l'asymptote hiya $y=L$.
Ila l9iti $\infty$, hseb $\frac{f(x)}{x}$. Ila l9iti $a$, hseb $f(x)-ax$.

💡 À retenir : Toujours vérifier les limites aux bornes du domaine.

Pourquoi on étudie les limites aux bornes du domaine ?

Les limites aux bornes permettent de savoir comment la courbe se comporte quand $x$ devient très grand, très petit, ou quand il s'approche d'une valeur interdite (asymptote verticale).

💡 À retenir : Sans limites, on ne peut pas tracer les extrémités de la courbe.

Les limites aux bornes permettent de savoir comment la courbe se comporte quand $x$ devient très grand, très petit, ou quand il s'approche d'une valeur interdite (asymptote verticale).

💡 À retenir : Sans limites, on ne peut pas tracer les extrémités de la courbe.

Est-ce que f'(x) = 0 signifie toujours un extremum ?

Non. Si $f'(x) = 0$ mais que la dérivée ne change pas de signe autour de ce point, ce n'est pas un extremum (c'est un point stationnaire).

💡 À retenir : Il faut un changement de signe de $f'(x)$ pour avoir un extremum.

Non. Si $f'(x) = 0$ mais que la dérivée ne change pas de signe autour de ce point, ce n'est pas un extremum (c'est un point stationnaire).

💡 À retenir : Il faut un changement de signe de $f'(x)$ pour avoir un extremum.

Est-ce que je dois toujours calculer la dérivée seconde ?

Non, seulement si l'exercice demande d'étudier la concavité ou de trouver un point d'inflexion. Pour le tableau de variation, $f'(x)$ suffit.

💡 À retenir : $f'(x)$ pour la croissance, $f''(x)$ pour la forme.

Non, seulement si l'exercice demande d'étudier la concavité ou de trouver un point d'inflexion. Pour le tableau de variation, $f'(x)$ suffit.

💡 À retenir : $f'(x)$ pour la croissance, $f''(x)$ pour la forme.

Chno lfar9 bin asymptote oblique w branche parabolique ?

Asymptote oblique: $\lim \frac{f(x)}{x} = a$ (constante) et $\lim (f(x)-ax) = b$ (constante).
Branche parabolique: $\lim \frac{f(x)}{x} = \infty$ ou $\lim \frac{f(x)}{x} = 0$ .

💡 À retenir : L'asymptote est une droite, la branche parabolique est une direction.

Asymptote oblique: $\lim \frac{f(x)}{x} = a$ (constante) et $\lim (f(x)-ax) = b$ (constante).
Branche parabolique: $\lim \frac{f(x)}{x} = \infty$ ou $\lim \frac{f(x)}{x} = 0$.

💡 À retenir : L'asymptote est une droite, la branche parabolique est une direction.

Comment tracer la courbe si j'ai une asymptote verticale ?

Trace la droite $x=a$ en pointillés.
Regarde la limite à gauche et à droite de $a$ .
Si $\lim_{x \to a^+} = +\infty$ , la courbe monte vers le haut à droite de la droite.

💡 À retenir : La courbe ne doit jamais toucher l'asymptote verticale.

Trace la droite $x=a$ en pointillés.
Regarde la limite à gauche et à droite de $a$.
Si $\lim_{x \to a^+} = +\infty$, la courbe monte vers le haut à droite de la droite.