Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Le barycentre dans le plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soient $(A, a)$ et $(B, b)$ deux points pondérés avec $a+b \neq 0$ . Le barycentre $G$ est l'unique point tel que : $a\vec{GA} + b\vec{GB} = \vec{0}$ . La formule vectorielle pour tout point $M$ du plan est : $\vec{MG} = \frac{a\vec{MA} + b\vec{MB}}{a+b}$ . Pour trois points $(A, a), (B, b), (C, c)$ avec $a+b+c \neq 0$ , $G$ vérifie : $a\vec{GA} + b\vec{GB} + c\vec{GC} = \vec{0}$ .

Méthodes à maîtriser

Construction géométrique : Utiliser la relation $\vec{AG} = \frac{b}{a+b}\vec{AB}$ .
Calcul des coordonnées : $x_G = \frac{ax_A + bx_B}{a+b}$ et $y_G = \frac{ay_A + by_B}{a+b}$ .
Réduction de sommes vectorielles : Utiliser le barycentre pour simplifier $a\vec{MA} + b\vec{MB} = (a+b)\vec{MG}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soient $A(1, 2)$ et $B(3, 4)$ . $G$ barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 3)$ . $x_G = \frac{1(1) + 3(3)}{1+3} = \frac{10}{4} = 2,5$ ; $y_G = \frac{1(2) + 3(4)}{1+3} = \frac{14}{4} = 3,5$ . Donc $G(2,5 ; 3,5)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $a+b \neq 0$ (si $a+b=0$ , le barycentre n'existe pas).
Inverser les coefficients dans la formule des coordonnées.
Confondre le vecteur $\vec{AG}$ avec le vecteur $\vec{GA}$ .

L'essentiel du cours

Soient $(A, a)$ et $(B, b)$ deux points pondérés avec $a+b \neq 0$. Le barycentre $G$ est l'unique point tel que : $a\vec{GA} + b\vec{GB} = \vec{0}$. La formule vectorielle pour tout point $M$ du plan est : $\vec{MG} = \frac{a\vec{MA} + b\vec{MB}}{a+b}$. Pour trois points $(A, a), (B, b), (C, c)$ avec $a+b+c \neq 0$, $G$ vérifie : $a\vec{GA} + b\vec{GB} + c\vec{GC} = \vec{0}$.

Méthodes à maîtriser

Construction géométrique : Utiliser la relation $\vec{AG} = \frac{b}{a+b}\vec{AB}$.
Calcul des coordonnées : $x_G = \frac{ax_A + bx_B}{a+b}$ et $y_G = \frac{ay_A + by_B}{a+b}$.
Réduction de sommes vectorielles : Utiliser le barycentre pour simplifier $a\vec{MA} + b\vec{MB} = (a+b)\vec{MG}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soient $A(1, 2)$ et $B(3, 4)$. $G$ barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 3)$. $x_G = \frac{1(1) + 3(3)}{1+3} = \frac{10}{4} = 2,5$ ; $y_G = \frac{1(2) + 3(4)}{1+3} = \frac{14}{4} = 3,5$. Donc $G(2,5 ; 3,5)$.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $a+b \neq 0$ (si $a+b=0$, le barycentre n'existe pas).
Inverser les coefficients dans la formule des coordonnées.
Confondre le vecteur $\vec{AG}$ avec le vecteur $\vec{GA}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Le barycentre dans le plan

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Le barycentre de $\{(A, 2), (B, 2)\}$ est :

Le barycentre de ${(A, 2), (B, 2)}$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le barycentre change si on multiplie les coefficients par un même nombre non nul ?

Non, le barycentre reste inchangé. Si $G$ est le barycentre de $\{(A, a), (B, b)\}$ , alors pour tout réel $k \neq 0$ , $G$ est aussi le barycentre de $\{(A, ka), (B, kb)\}$ .

💡 À retenir : On peut toujours simplifier les coefficients par un facteur commun pour faciliter les calculs.

Non, le barycentre reste inchangé. Si $G$ est le barycentre de ${(A, a), (B, b)}$, alors pour tout réel $k \neq 0$, $G$ est aussi le barycentre de ${(A, ka), (B, kb)}$.

💡 À retenir : On peut toujours simplifier les coefficients par un facteur commun pour faciliter les calculs.

Kifach n3ref wach l-barycentre kayn wla la ?

Bach t3ref wach kayn, khassek tcheuf majmo3 dyal l-mo3amilat (a+b+c...). Ila kan had l-majmo3 kaysawi zero, l-barycentre makaynach.

💡 À retenir : La condition d'existence est toujours $\sum a_i \neq 0$ .

Bach t3ref wach kayn, khassek tcheuf majmo3 dyal l-mo3amilat (a+b+c...). Ila kan had l-majmo3 kaysawi zero, l-barycentre makaynach.

💡 À retenir : La condition d'existence est toujours $\sum a_i \neq 0$.

Comment placer le point G barycentre de (A, 2) et (B, 1) ?

On utilise la relation : $\vec{AG} = \frac{1}{2+1}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ .
Tu divises le segment $[AB]$ en 3 parties égales.
Tu places $G$ à un tiers du chemin en partant de $A$ vers $B$ .

💡 À retenir : $\vec{AG} = \frac{b}{a+b}\vec{AB}$ .

On utilise la relation : $\vec{AG} = \frac{1}{2+1}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{AB}$.
Tu divises le segment $[AB]$ en 3 parties égales.
Tu places $G$ à un tiers du chemin en partant de $A$ vers $B$.

💡 À retenir : $\vec{AG} = \frac{b}{a+b}\vec{AB}$.

Chno hiya l-far9 bin l-barycentre o l-montasaf ?

L-montasaf (milieu) howa 7ala khassa dyal l-barycentre fin kouno l-mo3amilat mtwiyin (b7al 1 o 1).

💡 À retenir : Le milieu est l'isobarycentre de deux points.

Si j'ai trois points, comment trouver les coordonnées de G ?

Identifie les coordonnées $(x_A, y_A), (x_B, y_B), (x_C, y_C)$ et les coefficients $a, b, c$ .
Calcule $x_G = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ .
Calcule $y_G = \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}$ .

💡 À retenir : La formule est une moyenne pondérée des coordonnées.

Identifie les coordonnées $(x_A, y_A), (x_B, y_B), (x_C, y_C)$ et les coefficients $a, b, c$.
Calcule $x_G = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$.
Calcule $y_G = \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}$.

💡 À retenir : La formule est une moyenne pondérée des coordonnées.

Kifach n7seb l-barycentre ila kano 3ndi 4 dyal n9at ?

Kattb9a nafs l-9a3ida: $x_G = \frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}$ . Khas ghir tkon l-majmo3 dyal l-mo3amilat mkhallaf 3la zero.

💡 À retenir : La méthode est généralisable à $n$ points.

Kattb9a nafs l-9a3ida: $x_G = \frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}$. Khas ghir tkon l-majmo3 dyal l-mo3amilat mkhallaf 3la zero.

💡 À retenir : La méthode est généralisable à $n$ points.

Peut-on avoir des coefficients négatifs ?

Oui, tout à fait. Tant que la somme des coefficients n'est pas nulle, le barycentre existe, même si certains coefficients sont négatifs.

💡 À retenir : Le barycentre peut se trouver à l'extérieur du segment $[AB]$ .

Oui, tout à fait. Tant que la somme des coefficients n'est pas nulle, le barycentre existe, même si certains coefficients sont négatifs.

💡 À retenir : Le barycentre peut se trouver à l'extérieur du segment $[AB]$.

Est-ce que le barycentre de A et B est toujours sur la droite (AB) ?

Oui, par définition, le vecteur $\vec{AG}$ est colinéaire au vecteur $\vec{AB}$ , donc $G$ appartient nécessairement à la droite $(AB)$ .

💡 À retenir : Le barycentre de deux points est toujours aligné avec eux.

Oui, par définition, le vecteur $\vec{AG}$ est colinéaire au vecteur $\vec{AB}$, donc $G$ appartient nécessairement à la droite $(AB)$.

💡 À retenir : Le barycentre de deux points est toujours aligné avec eux.

Pourquoi on utilise le barycentre dans la mécanique ?

En mécanique, le barycentre correspond au centre de gravité d'un système. C'est le point où l'on peut considérer que toute la masse est concentrée.

💡 À retenir : C'est un outil fondamental pour l'équilibre des solides.

Wach imken nsta3mlou l-barycentre bach nbyno anaho n9at msta9imiya ?

Ah, ila bghiti tbyen anaho 3 n9at msta9imiya, khassek tbyen anaho wa7da fihom barycentre dyal joj lakhrin.

💡 À retenir : Si $C$ est barycentre de $(A, a)$ et $(B, b)$ , alors $A, B, C$ sont alignés.

Ah, ila bghiti tbyen anaho 3 n9at msta9imiya, khassek tbyen anaho wa7da fihom barycentre dyal joj lakhrin.

💡 À retenir : Si $C$ est barycentre de $(A, a)$ et $(B, b)$, alors $A, B, C$ sont alignés.

Comment simplifier l'expression 2vec{MA} + 3vec{MB} ?

Soit $G$ le barycentre de $(A, 2)$ et $(B, 3)$ .
La somme des coefficients est $2+3=5$ .
L'expression devient $5\vec{MG}$ .

💡 À retenir : La réduction se fait toujours par la somme des coefficients.

Soit $G$ le barycentre de $(A, 2)$ et $(B, 3)$.
La somme des coefficients est $2+3=5$.
L'expression devient $5\vec{MG}$.

💡 À retenir : La réduction se fait toujours par la somme des coefficients.

Est-ce que le barycentre dépend du repère choisi ?

Non, le barycentre est une notion géométrique pure. Il est défini par des vecteurs, donc sa position ne change pas quel que soit le repère.

💡 À retenir : Le barycentre est invariant par changement de repère.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 1)$ et $B(5, 3)$ . Déterminer les coordonnées du point $G$ barycentre de $\{(A, 1), (B, 3)\}$ .

Exercice 1

Soient $A(1, 1)$ et $B(5, 3)$. Déterminer les coordonnées du point $G$ barycentre de ${(A, 1), (B, 3)}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient $A, B, C$ trois points du plan. Soit $G$ le barycentre de $\{(A, 1), (B, 1), (C, 2)\}$ . Exprimer $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

Exercice 2

Soient $A, B, C$ trois points du plan. Soit $G$ le barycentre de ${(A, 1), (B, 1), (C, 2)}$. Exprimer $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

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Exercice 3

Soient $A(0, 2), B(2, 0)$ et $C(4, 4)$ . Déterminer le barycentre $G$ de $\{(A, 1), (B, -1), (C, 2)\}$ .

Exercice 3

Soient $A(0, 2), B(2, 0)$ et $C(4, 4)$. Déterminer le barycentre $G$ de ${(A, 1), (B, -1), (C, 2)}$.

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