Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques
Géométrie analytique dans l'espace
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
1. Repère dans l'espace
On considère un repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ où $O(0,0,0)$ est l'origine. Un point $M$ est défini par ses coordonnées $(x, y, z)$.
2. Vecteurs et points
Soient $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ deux points :
Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont : $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \ y_B - y_A \ z_B - z_A \end{pmatrix}$.
La distance $AB$ est : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
Le milieu $I$ du segment $[AB]$ est : $I \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right)$.
3. Équation cartésienne d'un plan
Un plan $P$ possède une équation de la forme :
$$ax + by + cz + d = 0$$
où le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P$ (il est perpendiculaire à tout vecteur contenu dans le plan).
4. Position relative
Un point $M(x_M, y_M, z_M)$ appartient au plan $P$ si et seulement si $ax_M + by_M + cz_M + d = 0$.
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Méthodes à maîtriser
Trouver l'équation d'un plan : Si on connaît un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$, on utilise la formule $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$, puis on développe pour obtenir $ax + by + cz + d = 0$.
Vérifier l'appartenance d'un point : Remplacer les coordonnées du point dans l'équation du plan. Si le résultat est $0$, le point est sur le plan.
Calculer la distance d'un point à un plan : La distance d'un point $M(x_M, y_M, z_M)$ au plan $P: ax+by+cz+d=0$ est :
$$d(M, P) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
Exemple 2 : Trouver l'équation du plan $P$ passant par $A(1, 0, 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2, -3, 1)$.
Corrigé :
L'équation est de la forme $2x - 3y + z + d = 0$.
Comme $A \in P$, on a : $2(1) - 3(0) + 1(2) + d = 0 \Rightarrow 2 + 2 + d = 0 \Rightarrow d = -4$.
L'équation est : $2x - 3y + z - 4 = 0$.
Erreurs fréquentes
Erreur de signe : Oublier de changer le signe lors du calcul des coordonnées d'un vecteur $\vec{AB} = B - A$.
Confusion vecteur/point : Utiliser les coordonnées d'un point pour remplacer $a, b, c$ dans l'équation du plan.
Oubli de la racine : Dans la formule de la distance, oublier de mettre le résultat sous une racine carrée.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Si un plan a pour équation $x - 4y + 2z + 7 = 0$, quel est son vecteur normal ?
❓ Questions fréquentes
Est-ce que l'origine O(0,0,0) appartient toujours à un plan ?
Non. L'origine appartient au plan seulement si la constante $d$ de l'équation $ax+by+cz+d=0$ est égale à $0$.
💡 À retenir : Si $d \neq 0$, le plan ne passe pas par l'origine.
Comment trouver les coordonnées d'un vecteur vec{u} à partir de deux points A et B ?
On fait la soustraction : $\vec{u} = \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.
💡 À retenir : Toujours "Arrivée moins Départ".
Qu'est-ce qu'un repère orthonormé ?
C'est un repère où les vecteurs de la base sont orthogonaux entre eux (angle de $90^\circ$) et ont tous une norme égale à $1$.
💡 À retenir : Orthogonal + Norme = 1.
Comment prouver que trois points sont alignés dans l'espace ?
Calcule les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Vérifie si ces deux vecteurs sont colinéaires (il existe un réel $k$ tel que $\vec{AB} = k\vec{AC}$).
Si ils sont colinéaires, les points $A, B, C$ sont alignés.
💡 À retenir : Alignement $\Leftrightarrow$ Colinéarité des vecteurs.
Chno hiya l'équation dyal l'plan?
L'équation cartésienne d'un plan est de la forme $ax + by + cz + d = 0$. Les nombres $a, b, c$ sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan, et $d$ est une constante réelle.
💡 À retenir : $\vec{n}(a, b, c)$ est toujours perpendiculaire au plan.
Kifach n7seb l'distance bin jouj points?
Pour calculer la distance entre $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ :
Calcule la différence de chaque coordonnée : $\Delta x = x_B-x_A$, $\Delta y = y_B-y_A$, $\Delta z = z_B-z_A$.
Élève chaque différence au carré.
Additionne les carrés et prends la racine carrée du résultat : $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$.
💡 À retenir : C'est l'extension de la formule de Pythagore à 3 dimensions.
Comment savoir si un point appartient à un plan ?
Prends les coordonnées du point $M(x_M, y_M, z_M)$.
Remplace $x, y, z$ dans l'équation du plan $ax + by + cz + d = 0$.
Si le calcul donne $0$, alors le point appartient au plan. Sinon, il n'y appartient pas.
💡 À retenir : Si $ax_M + by_M + cz_M + d \neq 0$, le point est en dehors du plan.
C'est quoi un vecteur normal ?
Un vecteur $\vec{n}$ est dit normal à un plan $P$ s'il est orthogonal (perpendiculaire) à tous les vecteurs contenus dans ce plan. Ses composantes $(a, b, c)$ donnent directement les coefficients de l'équation $ax+by+cz+d=0$.
💡 À retenir : $\vec{n}$ définit l'orientation du plan.
Comment trouver le milieu d'un segment dans l'espace ?
C'est la moyenne des coordonnées. Pour $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, le milieu $I$ est :
$x_I = \frac{x_A+x_B}{2}$, $y_I = \frac{y_A+y_B}{2}$, $z_I = \frac{z_A+z_B}{2}$.
💡 À retenir : On additionne et on divise par 2.
Chno l'farq bin vecteur normal w vecteur directeur?
Le vecteur directeur est parallèle au plan (il "guide" la direction), alors que le vecteur normal est perpendiculaire au plan (il "frappe" le plan de face).
💡 À retenir : Normal $\perp$ Plan ; Directeur $\parallel$ Plan.
Comment vérifier si deux plans sont parallèles ?
Identifie les vecteurs normaux $\vec{n_1}(a_1, b_1, c_1)$ et $\vec{n_2}(a_2, b_2, c_2)$ de chaque plan.
Vérifie si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires (c'est-à-dire si $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$).
Si oui, les plans sont parallèles.
💡 À retenir : Plans parallèles $\Rightarrow$ Vecteurs normaux colinéaires.
Comment calculer la distance d'un point à un plan ?
On utilise la formule : $d = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Calcule le numérateur (valeur absolue de l'équation du plan remplie par le point).
Calcule le dénominateur (norme du vecteur normal).
Divise le premier par le second.
💡 À retenir : N'oublie pas la valeur absolue $|...|$ pour que la distance soit positive.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soient les points $A(1, 2, 1)$, $B(3, 0, 2)$ et $C(0, 1, 4)$.
Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Calculer la distance $AB$.
Déterminer les coordonnées du point $M$, milieu du segment $[AC]$.
1. Repère dans l'espace
On considère un repère (O,i,j,k) où O(0,0,0) est l'origine. Un point M est défini par ses coordonnées (x,y,z).
2. Vecteurs et points
Soient A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB) deux points :
Les coordonnées du vecteur AB sont : ABxB−xAyB−yAzB−zA.
La distance AB est : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.
Le milieu I du segment [AB] est : I(2xA+xB,2yA+yB,2zA+zB).
3. Équation cartésienne d'un plan
Un plan P possède une équation de la forme :
ax+by+cz+d=0
où le vecteur nabc est un vecteur normal au plan P (il est perpendiculaire à tout vecteur contenu dans le plan).
4. Position relative
Un point M(xM,yM,zM) appartient au plan P si et seulement si axM+byM+czM+d=0.
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Méthodes à maîtriser
Trouver l'équation d'un plan : Si on connaît un point A(xA,yA,zA) et un vecteur normal n(a,b,c), on utilise la formule a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0, puis on développe pour obtenir ax+by+cz+d=0.
Vérifier l'appartenance d'un point : Remplacer les coordonnées du point dans l'équation du plan. Si le résultat est 0, le point est sur le plan.
Calculer la distance d'un point à un plan : La distance d'un point M(xM,yM,zM) au plan P:ax+by+cz+d=0 est :
d(M,P)=a2+b2+c2∣axM+byM+czM+d∣
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soient A(1,2,−1) et B(3,0,5). Calculer la distance AB.
Corrigé :AB=(3−1)2+(0−2)2+(5−(−1))2AB=22+(−2)2+62=4+4+36=44=211.
Exemple 2 : Trouver l'équation du plan P passant par A(1,0,2) et de vecteur normal n(2,−3,1).
Corrigé :
L'équation est de la forme 2x−3y+z+d=0.
Comme A∈P, on a : 2(1)−3(0)+1(2)+d=0⇒2+2+d=0⇒d=−4.
L'équation est : 2x−3y+z−4=0.
Erreurs fréquentes
Erreur de signe : Oublier de changer le signe lors du calcul des coordonnées d'un vecteur AB=B−A.
Confusion vecteur/point : Utiliser les coordonnées d'un point pour remplacer a,b,c dans l'équation du plan.
Oubli de la racine : Dans la formule de la distance, oublier de mettre le résultat sous une racine carrée.
Si un plan a pour équation x−4y+2z+7=0, quel est son vecteur normal ?
1−42
142
−14−2
700
Non. L'origine appartient au plan seulement si la constante d de l'équation ax+by+cz+d=0 est égale à 0.
💡 À retenir : Si d=0, le plan ne passe pas par l'origine.
On fait la soustraction : u=AB=(xB−xA,yB−yA,zB−zA).
💡 À retenir : Toujours "Arrivée moins Départ".
C'est un repère où les vecteurs de la base sont orthogonaux entre eux (angle de 90∘) et ont tous une norme égale à 1.
💡 À retenir : Orthogonal + Norme = 1.
Calcule les vecteurs AB et AC.
Vérifie si ces deux vecteurs sont colinéaires (il existe un réel k tel que AB=kAC).
Si ils sont colinéaires, les points A,B,C sont alignés.
💡 À retenir : Alignement ⇔ Colinéarité des vecteurs.
L'équation cartésienne d'un plan est de la forme ax+by+cz+d=0. Les nombres a,b,c sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan, et d est une constante réelle.
💡 À retenir : n(a,b,c) est toujours perpendiculaire au plan.
Pour calculer la distance entre A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB) :
Calcule la différence de chaque coordonnée : Δx=xB−xA, Δy=yB−yA, Δz=zB−zA.
Élève chaque différence au carré.
Additionne les carrés et prends la racine carrée du résultat : Δx2+Δy2+Δz2.
💡 À retenir : C'est l'extension de la formule de Pythagore à 3 dimensions.
Prends les coordonnées du point M(xM,yM,zM).
Remplace x,y,z dans l'équation du plan ax+by+cz+d=0.
Si le calcul donne 0, alors le point appartient au plan. Sinon, il n'y appartient pas.
💡 À retenir : Si axM+byM+czM+d=0, le point est en dehors du plan.
Un vecteur n est dit normal à un plan P s'il est orthogonal (perpendiculaire) à tous les vecteurs contenus dans ce plan. Ses composantes (a,b,c) donnent directement les coefficients de l'équation ax+by+cz+d=0.
💡 À retenir : n définit l'orientation du plan.
C'est la moyenne des coordonnées. Pour A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB), le milieu I est :
xI=2xA+xB, yI=2yA+yB, zI=2zA+zB.
💡 À retenir : On additionne et on divise par 2.
Le vecteur directeur est parallèle au plan (il "guide" la direction), alors que le vecteur normal est perpendiculaire au plan (il "frappe" le plan de face).
💡 À retenir : Normal ⊥ Plan ; Directeur ∥ Plan.
Identifie les vecteurs normaux n1(a1,b1,c1) et n2(a2,b2,c2) de chaque plan.
Vérifie si n1 et n2 sont colinéaires (c'est-à-dire si a2a1=b2b1=c2c1).
Si oui, les plans sont parallèles.
💡 À retenir : Plans parallèles ⇒ Vecteurs normaux colinéaires.
On utilise la formule : d=a2+b2+c2∣axM+byM+czM+d∣.
Calcule le numérateur (valeur absolue de l'équation du plan remplie par le point).
Calcule le dénominateur (norme du vecteur normal).
Divise le premier par le second.
💡 À retenir : N'oublie pas la valeur absolue ∣...∣ pour que la distance soit positive.
Exercice 1
Soient les points A(1,2,1), B(3,0,2) et C(0,1,4).
Calculer les coordonnées du vecteur AB.
Calculer la distance AB.
Déterminer les coordonnées du point M, milieu du segment [AC].
Exercice 2
Soit le plan P d'équation cartésienne : 3x−2y+z−5=0.
Donner un vecteur normal n au plan P.
Vérifier si le point A(1,1,4) appartient au plan P.
Déterminer l'équation du plan P′ passant par le point B(0,0,0) et ayant le même vecteur normal n.
Exercice 3
Soit le plan P:x+y+z−3=0 et le point M(1,2,5).
Calculer la distance du point M au plan P.
Soit H le projeté orthogonal de M sur le plan P. Déterminer les coordonnées de H.