On utilise la formule de la combinaison : 1. Appliquer la formule : C5^2 = frac{5!}{2!(5-2)!} 2. Simplifier : C5^2 = frac{5 times 4 times 3!}{2 times 1 times 3!} 3. Calculer : C5^2 = frac{20}{2} = 10 💡 À retenir : Toujours simplifier les factorielles avant de multiplier.

Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

التعداد مادة الرياضيات مسلكي العلوم الإقتصادية والتدبير المحاسباتي

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments dans un ensemble fini.

1. Le principe multiplicatif : Si une opération peut être réalisée de $n$ façons et une deuxième de $p$ façons, alors les deux opérations successives peuvent être réalisées de $n \times p$ façons.

2. La permutation : Nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts : $P_n = n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$

3. L'arrangement : Nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ ( $p \le n$ ) :

Sans répétition (Tirage successif sans remise) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$
Avec répétition (Tirage successif avec remise) : $n^p$

4. La combinaison : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre (Tirage simultané) : $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Méthodes à maîtriser

Pour résoudre un problème de dénombrement, il faut toujours se poser deux questions :

L'ordre est-il important ?
- Si OUI $\rightarrow$ Arrangement ou Permutation.
- Si NON $\rightarrow$ Combinaison.
Y a-t-il répétition ?
- Si OUI $\rightarrow$ Tirage avec remise ou $n^p$ .
- Si NON $\rightarrow$ Tirage sans remise ou $A_n^p$ / $C_n^p$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres {A, B, C} ? Solution : L'ordre compte (un mot est une suite ordonnée) et on peut répéter les lettres. C'est un arrangement avec répétition : $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ mots.

Exemple 2 : Un comité de 2 personnes doit être choisi parmi 5 élèves. Solution : L'ordre ne compte pas (choisir A puis B est identique à B puis A). C'est une combinaison : $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ possibilités.

Exemple 3 : De combien de façons peut-on placer 4 personnes sur 4 chaises ? Solution : L'ordre compte et on utilise tout le monde. C'est une permutation : $P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est utilisé quand l'ordre n'a aucune importance (ex: un groupe, une main de cartes).
Oublier la différence entre "successif" (ordre) et "simultané" (pas d'ordre).
Mauvaise utilisation de la factorielle : $0! = 1$ .

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments dans un ensemble fini.

2. La permutation : Nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts : $$P_n = n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$$

3. L'arrangement : Nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ ($p \le n$) :

Sans répétition (Tirage successif sans remise) : $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$$
Avec répétition (Tirage successif avec remise) : $$n^p$$

4. La combinaison : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre (Tirage simultané) : $$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$

Méthodes à maîtriser

Pour résoudre un problème de dénombrement, il faut toujours se poser deux questions :

L'ordre est-il important ?
- Si OUI $\rightarrow$ Arrangement ou Permutation.
- Si NON $\rightarrow$ Combinaison.
Y a-t-il répétition ?
- Si OUI $\rightarrow$ Tirage avec remise ou $n^p$.
- Si NON $\rightarrow$ Tirage sans remise ou $A_n^p$ / $C_n^p$.

Exemples corrigés

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est utilisé quand l'ordre n'a aucune importance (ex: un groupe, une main de cartes).
Oublier la différence entre "successif" (ordre) et "simultané" (pas d'ordre).
Mauvaise utilisation de la factorielle : $0! = 1$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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Quelle est la valeur de $C_6^2$ ?

❓ Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?

La différence principale est l'ordre :

Dans un arrangement, l'ordre des éléments est important (ex: un code de carte bleue).
Dans une combinaison, l'ordre n'est pas important (ex: choisir des fruits pour une salade).

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre non important = Combinaison.

Chno l-farq bin tirage avec remise w tirage sans remise ?

Tirage avec remise : On tire un élément, on note son résultat, et on le remet dans l'ensemble avant le tirage suivant. Les éléments peuvent être choisis plusieurs fois.
Tirage sans remise : On tire un élément et on le garde. Il ne peut pas être choisi une deuxième fois.

💡 À retenir : Avec remise $\rightarrow$ répétition possible ; Sans remise $\rightarrow$ pas de répétition.

Tirage avec remise : On tire un élément, on note son résultat, et on le remet dans l'ensemble avant le tirage suivant. Les éléments peuvent être choisis plusieurs fois.
Tirage sans remise : On tire un élément et on le garde. Il ne peut pas être choisi une deuxième fois.

💡 À retenir : Avec remise $\rightarrow$ répétition possible ; Sans remise $\rightarrow$ pas de répétition.

Kifach n7seb C5^2 ?

On utilise la formule de la combinaison :

Appliquer la formule : $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!}$
Simplifier : $C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!}$
Calculer : $C_5^2 = \frac{20}{2} = 10$

💡 À retenir : Toujours simplifier les factorielles avant de multiplier.

On utilise la formule de la combinaison :

Appliquer la formule : $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!}$
Simplifier : $C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!}$
Calculer : $C_5^2 = \frac{20}{2} = 10$

💡 À retenir : Toujours simplifier les factorielles avant de multiplier.

Qu'est-ce que la factorielle de n (n!) ?

C'est le produit de tous les nombres entiers de 1 jusqu'à $n$ . Exemple : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . Par convention, $0! = 1$ .

💡 À retenir : $n!$ est utilisé pour les permutations et les arrangements.

C'est le produit de tous les nombres entiers de 1 jusqu'à $n$. Exemple : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Par convention, $0! = 1$.

💡 À retenir : $n!$ est utilisé pour les permutations et les arrangements.

Quand doit-on utiliser le principe additif ?

On utilise l'addition quand on a des choix exclusifs (on ne peut pas faire les deux en même temps). Exemple : Si vous pouvez choisir un dessert soit parmi 3 gâteaux, soit parmi 2 fruits, vous avez $3 + 2 = 5$ choix au total.

💡 À retenir : "OU" $\rightarrow$ Addition.

Quand doit-on utiliser le principe multiplicatif ?

On utilise la multiplication quand les choix sont successifs ou simultanés (on fait l'un ET l'autre). Exemple : Si vous avez 3 pantalons et 4 chemises, vous avez $3 \times 4 = 12$ tenues possibles.

💡 À retenir : "ET" $\rightarrow$ Multiplication.

Chno hiya l-formula dyal permutation ?

Pour $n$ objets distincts, le nombre de permutations est : $P_n = n!$

💡 À retenir : On l'utilise quand on veut ranger tous les éléments d'un ensemble.

Pour $n$ objets distincts, le nombre de permutations est : $$P_n = n!$$

💡 À retenir : On l'utilise quand on veut ranger tous les éléments d'un ensemble.

Est-ce que le tirage simultané implique un ordre ?

Non, le tirage simultané signifie que l'on prend tous les éléments en même temps. L'ordre dans lequel on les "voit" n'a pas d'importance. On utilise donc les combinaisons $C_n^p$ .

💡 À retenir : Tirage simultané = Combinaison.

Non, le tirage simultané signifie que l'on prend tous les éléments en même temps. L'ordre dans lequel on les "voit" n'a pas d'importance. On utilise donc les combinaisons $C_n^p$.

💡 À retenir : Tirage simultané = Combinaison.

Comment calculer An^n ?

$A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!$ Cela revient au même qu'une permutation.

💡 À retenir : $A_n^n = P_n = n!$ .

$$A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!$$ Cela revient au même qu'une permutation.

💡 À retenir : $A_n^n = P_n = n!$.

Si je tire 2 boules parmi 10 avec remise, quelle formule j'utilise ?

L'ordre compte (tirage successif).
La répétition est possible (avec remise). On utilise donc : $n^p = 10^2 = 100$ .

💡 À retenir : Successif + Remise = $n^p$ .

L'ordre compte (tirage successif).
La répétition est possible (avec remise). On utilise donc : $n^p = 10^2 = 100$.

💡 À retenir : Successif + Remise = $n^p$.

Combien de façons de choisir 3 personnes dans un groupe de 10 ?

L'ordre ne compte pas (un groupe est un ensemble). On utilise les combinaisons : $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

💡 À retenir : "Choisir un groupe" $\rightarrow$ Combinaison.

L'ordre ne compte pas (un groupe est un ensemble). On utilise les combinaisons : $$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

💡 À retenir : "Choisir un groupe" $\rightarrow$ Combinaison.

Quelle est la valeur de Cn^0 et Cn^n ?

$C_n^0 = 1$ (il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir).
$C_n^n = 1$ (il n'y a qu'une seule façon de choisir tout le monde).

💡 À retenir : Ces deux valeurs sont toujours égales à 1.

$C_n^0 = 1$ (il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir).
$C_n^n = 1$ (il n'y a qu'une seule façon de choisir tout le monde).

💡 À retenir : Ces deux valeurs sont toujours égales à 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 10 boules indiscernables par leur aspect : 6 boules rouges et 4 boules noires. On effectue les tirages suivants :

On tire simultanément 3 boules de l'urne. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
On tire successivement avec remise 3 boules de l'urne. Combien y a-t-il de résultats possibles ?

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Exercice 2

Un code de sécurité est composé de 4 chiffres compris entre 0 et 9.

Combien de codes différents peut-on former si les chiffres peuvent être répétés ?
Combien de codes différents peut-on former si les chiffres doivent être tous distincts ?
Combien de codes peut-on former si les chiffres sont distincts et que le code doit commencer par un chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8) ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un club de sport est composé de 12 membres : 7 hommes et 5 femmes. On veut former un bureau composé de 3 personnes.

Combien de bureaux différents peut-on former ?
Combien de bureaux différents peut-on former si le bureau doit contenir exactement 2 hommes et 1 femme ?
Combien de bureaux différents peut-on former si le bureau doit contenir au moins une femme ?

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