1. Écris d'abord la solution générale avec C (ex: y(x) = Ce^{ax}). 2. Remplace x par la valeur donnée dans la condition initiale. 3. Remplace y(x) par la valeur donnée. 4. Résous l'équation pour trouver C. 💡 À retenir : C se trouve toujours à la fin avec la condition initiale.

Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

المعادلات التفاضلية للثانية باكالوريا علوم التدبير المحاسباتي وعلوم الإقتصاد

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour la filière Sciences Économiques, l'étude se limite aux équations différentielles du premier ordre de la forme $y' = ay + b$ , où $a$ et $b$ sont des réels.

1. Cas où $a \neq 0$ : L'équation est $y'(x) = ay(x) + b$ . La solution générale est de la forme : $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ où $C$ est une constante réelle.

2. Cas où $a = 0$ : L'équation devient $y'(x) = b$ . La solution générale est une fonction affine : $y(x) = bx + C$

3. Détermination de la constante $C$ : Pour trouver la solution unique, on utilise une condition initiale $y(x_0) = y_0$ . On remplace $x$ par $x_0$ dans la solution générale et on résout l'équation pour trouver $C$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier la forme : Regarder si l'équation est de la forme $y' = ay$ ou $y' = ay + b$ .
Écrire la solution générale : Appliquer directement la formule avec la constante $C$ .
Utiliser la condition initiale :
- Remplacer $x$ par la valeur donnée.
- Remplacer $y(x)$ par la valeur donnée.
- Isoler $C$ .
Vérification : Dériver la solution trouvée pour vérifier qu'elle satisfait l'équation de départ.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' = 3y$ avec $y(0) = 5$ .

L'équation est de la forme $y' = ay$ avec $a=3$ .
La solution générale est $y(x) = Ce^{3x}$ .
Utilisons $y(0) = 5$ : $5 = Ce^{3(0)} \implies 5 = C \times 1 \implies C = 5$ .
La solution est $y(x) = 5e^{3x}$ .

Exemple 2 : Résoudre $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 4$ .

Ici $a=2$ et $b=-6$ .
La solution générale est $y(x) = Ce^{2x} - \frac{-6}{2} = Ce^{2x} + 3$ .
Utilisons $y(0) = 4$ : $4 = Ce^{2(0)} + 3 \implies 4 = C + 3 \implies C = 1$ .
La solution est $y(x) = e^{2x} + 3$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ : La solution n'est pas un nombre ou une fonction fixe, mais une famille de fonctions.
Erreur de signe dans $-b/a$ : Si $b$ est négatif, $-b/a$ devient positif.
Mauvaise application de la condition initiale : Confondre $x_0$ et $y_0$ lors du calcul de $C$ .
Confondre $y'$ et $y$ : Bien vérifier si l'équation contient la dérivée ou la fonction elle-même.

L'essentiel du cours

Pour la filière Sciences Économiques, l'étude se limite aux équations différentielles du premier ordre de la forme $y' = ay + b$, où $a$ et $b$ sont des réels.

1. Cas où $a \neq 0$ : L'équation est $y'(x) = ay(x) + b$. La solution générale est de la forme : $$y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$$ où $C$ est une constante réelle.

2. Cas où $a = 0$ : L'équation devient $y'(x) = b$. La solution générale est une fonction affine : $$y(x) = bx + C$$

3. Détermination de la constante $C$ : Pour trouver la solution unique, on utilise une condition initiale $y(x_0) = y_0$. On remplace $x$ par $x_0$ dans la solution générale et on résout l'équation pour trouver $C$.

Méthodes à maîtriser

Identifier la forme : Regarder si l'équation est de la forme $y' = ay$ ou $y' = ay + b$.
Écrire la solution générale : Appliquer directement la formule avec la constante $C$.
Utiliser la condition initiale :
- Remplacer $x$ par la valeur donnée.
- Remplacer $y(x)$ par la valeur donnée.
- Isoler $C$.
Vérification : Dériver la solution trouvée pour vérifier qu'elle satisfait l'équation de départ.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' = 3y$ avec $y(0) = 5$.

L'équation est de la forme $y' = ay$ avec $a=3$.
La solution générale est $y(x) = Ce^{3x}$.
Utilisons $y(0) = 5$ : $5 = Ce^{3(0)} \implies 5 = C \times 1 \implies C = 5$.
La solution est $y(x) = 5e^{3x}$.

Exemple 2 : Résoudre $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 4$.

Ici $a=2$ et $b=-6$.
La solution générale est $y(x) = Ce^{2x} - \frac{-6}{2} = Ce^{2x} + 3$.
Utilisons $y(0) = 4$ : $4 = Ce^{2(0)} + 3 \implies 4 = C + 3 \implies C = 1$.
La solution est $y(x) = e^{2x} + 3$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ : La solution n'est pas un nombre ou une fonction fixe, mais une famille de fonctions.
Erreur de signe dans $-b/a$ : Si $b$ est négatif, $-b/a$ devient positif.
Mauvaise application de la condition initiale : Confondre $x_0$ et $y_0$ lors du calcul de $C$.
Confondre $y'$ et $y$ : Bien vérifier si l'équation contient la dérivée ou la fonction elle-même.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 المعادلات التفاضلية للثانية باكالوريا علوم التدبير المحاسباتي وعلوم الإقتصاد

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Quelle est la solution de $y' = 2y$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l-mo3adala différentielle?

C'est une équation où l'inconnue n'est pas un nombre $x$ , mais une fonction $y(x)$ . On cherche la fonction dont la dérivée respecte la relation donnée.

💡 À retenir : L'inconnue est une fonction, pas un nombre.

C'est une équation où l'inconnue n'est pas un nombre $x$, mais une fonction $y(x)$. On cherche la fonction dont la dérivée respecte la relation donnée.

💡 À retenir : L'inconnue est une fonction, pas un nombre.

Kifach n7seb C?

Écris d'abord la solution générale avec $C$ (ex: $y(x) = Ce^{ax}$ ).
Remplace $x$ par la valeur donnée dans la condition initiale.
Remplace $y(x)$ par la valeur donnée.
Résous l'équation pour trouver $C$ .

💡 À retenir : $C$ se trouve toujours à la fin avec la condition initiale.

Écris d'abord la solution générale avec $C$ (ex: $y(x) = Ce^{ax}$).
Remplace $x$ par la valeur donnée dans la condition initiale.
Remplace $y(x)$ par la valeur donnée.
Résous l'équation pour trouver $C$.

💡 À retenir : $C$ se trouve toujours à la fin avec la condition initiale.

Chno hiya l-farq bin y' = ay w y' = ay + b?

Dans $y' = ay$ , la solution est une exponentielle pure : $y(x) = Ce^{ax}$ .
Dans $y' = ay + b$ , la solution est une exponentielle décalée par une constante : $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ .

💡 À retenir : Le terme $b$ ajoute une constante à la solution.

Dans $y' = ay$, la solution est une exponentielle pure : $y(x) = Ce^{ax}$.
Dans $y' = ay + b$, la solution est une exponentielle décalée par une constante : $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.

💡 À retenir : Le terme $b$ ajoute une constante à la solution.

Comment résoudre y' = 5?

Ici $a=0$ et $b=5$ . La solution est une fonction affine : $y(x) = 5x + C$ .

💡 À retenir : Si $y'$ est une constante, $y$ est une droite.

Ici $a=0$ et $b=5$. La solution est une fonction affine : $y(x) = 5x + C$.

💡 À retenir : Si $y'$ est une constante, $y$ est une droite.

Peut-on avoir a=0 dans y' = ay + b?

Oui. Si $a=0$ , l'équation devient $y' = b$ , ce qui donne $y(x) = bx + C$ .

💡 À retenir : Si $a=0$ , on n'utilise pas la formule avec l'exponentielle.

Oui. Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$, ce qui donne $y(x) = bx + C$.

💡 À retenir : Si $a=0$, on n'utilise pas la formule avec l'exponentielle.

Quel est le rôle de la condition initiale ?

La solution générale contient une infinité de fonctions (à cause de $C$ ). La condition initiale permet de choisir une seule fonction précise parmi toutes celles possibles.

💡 À retenir : Condition initiale = détermination de $C$ .

La solution générale contient une infinité de fonctions (à cause de $C$). La condition initiale permet de choisir une seule fonction précise parmi toutes celles possibles.

💡 À retenir : Condition initiale = détermination de $C$.

Comment vérifier si ma solution est correcte ?

Calcule la dérivée de ta solution $y(x)$ .
Remplace $y$ et $y'$ dans l'équation de départ.
Si l'égalité est vraie, ta solution est juste.

💡 À retenir : La dérivation est ton meilleur outil de vérification.

Calcule la dérivée de ta solution $y(x)$.
Remplace $y$ et $y'$ dans l'équation de départ.
Si l'égalité est vraie, ta solution est juste.

💡 À retenir : La dérivation est ton meilleur outil de vérification.

Est-ce que y(x) = e^{2x} est solution de y' = 2y?

Oui. Si $y(x) = e^{2x}$ , alors $y'(x) = 2e^{2x}$ . On a bien $y' = 2y$ .

💡 À retenir : Toujours tester par la dérivation.

Oui. Si $y(x) = e^{2x}$, alors $y'(x) = 2e^{2x}$. On a bien $y' = 2y$.

💡 À retenir : Toujours tester par la dérivation.

Chno ndir ila 3tani y(0)=1?

Tu remplaces $x$ par $0$ dans ta solution $y(x)$ et tu égalises le résultat à $1$ . Comme $e^0 = 1$ , cela simplifie souvent beaucoup le calcul de $C$ .

💡 À retenir : $x=0$ est le cas le plus simple pour trouver $C$ .

Tu remplaces $x$ par $0$ dans ta solution $y(x)$ et tu égalises le résultat à $1$. Comme $e^0 = 1$, cela simplifie souvent beaucoup le calcul de $C$.

💡 À retenir : $x=0$ est le cas le plus simple pour trouver $C$.

Pourquoi utilise-t-on l'exponentielle ?

Parce que la fonction exponentielle $e^{ax}$ est la seule fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même ( $y' = ay$ ). C'est mathématiquement naturel.

💡 À retenir : $y' \propto y \implies$ solution exponentielle.

Parce que la fonction exponentielle $e^{ax}$ est la seule fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même ($y' = ay$). C'est mathématiquement naturel.

💡 À retenir : $y' \propto y \implies$ solution exponentielle.

La constante C peut-elle être nulle ?

Oui, si la condition initiale correspond exactement à la solution particulière (ex: $y' = 2y - 6$ avec $y(0)=3$ , alors $C=0$ ).

💡 À retenir : $C=0$ est possible.

Oui, si la condition initiale correspond exactement à la solution particulière (ex: $y' = 2y - 6$ avec $y(0)=3$, alors $C=0$).

💡 À retenir : $C=0$ est possible.

Quelle est la dérivée de y(x) = Ce^{ax} + k ?

La dérivée est $y'(x) = C \times a \times e^{ax}$ . La constante $k$ disparaît car sa dérivée est nulle.

💡 À retenir : Applique la règle $(e^{ax})' = a e^{ax}$ .

La dérivée est $y'(x) = C \times a \times e^{ax}$. La constante $k$ disparaît car sa dérivée est nulle.

💡 À retenir : Applique la règle $(e^{ax})' = a e^{ax}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'(x) = -4y(x)$ avec la condition initiale $y(0) = 2$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Résoudre l'équation différentielle suivante : $$y'(x) = -4y(x)$$ avec la condition initiale $y(0) = 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'(x) = 3y(x) + 6$ avec la condition initiale $y(1) = 10$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Résoudre l'équation différentielle suivante : $$y'(x) = 3y(x) + 6$$ avec la condition initiale $y(1) = 10$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National - Application Économique) : On considère l'évolution d'un capital $K(t)$ (en milliers de dirhams) au cours du temps $t$ (en années). L'évolution est régie par l'équation : $\frac{dK}{dt} = 0,05K + 2$ On sait qu'au début de l'étude ( $t=0$ ), le capital est de $100$ milliers de dirhams.

Déterminer la solution de cette équation différentielle.
Calculer la valeur du capital après 10 ans (arrondir à l'unité).

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National - Application Économique) : On considère l'évolution d'un capital $K(t)$ (en milliers de dirhams) au cours du temps $t$ (en années). L'évolution est régie par l'équation : $$\frac{dK}{dt} = 0,05K + 2$$ On sait qu'au début de l'étude ($t=0$), le capital est de $100$ milliers de dirhams.

Déterminer la solution de cette équation différentielle.
Calculer la valeur du capital après 10 ans (arrondir à l'unité).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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