Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

الدوال اللوغاريتمية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Définition et Domaine de définition La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est définie uniquement sur $]0, +\infty[$ . Si on a une fonction $f(x) = \ln(u(x))$ , alors $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid u(x) > 0\}$ .

2. Propriétés algébriques Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln(a^n) = n \ln(a)$ (où $n \in \mathbb{Z}$ )
$\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ (où $e \approx 2,718$ )

3. Limites usuelles

$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

4. Croissances comparées (Très important)

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$

5. Dérivation

Si $f(x) = \ln(x)$ , alors $f'(x) = \frac{1}{x}$
Si $f(x) = \ln(u(x))$ , alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Méthodes à maîtriser

Trouver le domaine de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ .
Calculer une limite avec forme indéterminée : Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier l'expression ou utiliser les limites de croissances comparées.
Étudier les variations : Calculer $f'(x)$ , étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Trouver les asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ , alors $x=a$ est une asymptote verticale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Simplification Calculer $\ln(e^2 \times 5)$ . Solution : $\ln(e^2 \times 5) = \ln(e^2) + \ln(5) = 2\ln(e) + \ln(5) = 2(1) + \ln(5) = 2 + \ln(5)$ .

Exemple 2 : Dérivée Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(3x + 1)$ . Solution : On pose $u(x) = 3x + 1$ , donc $u'(x) = 3$ . $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{3}{3x + 1}$ .

Erreurs fréquentes

Erreur 1 : Croire que $\ln(a + b) = \ln(a) + \ln(b)$ . C'est faux ! La règle est $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ .
Erreur 2 : Oublier le domaine de définition. On ne peut jamais calculer $\ln$ d'un nombre négatif ou de zéro.
Erreur 3 : Confondre $\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ avec $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = 0$ .

L'essentiel du cours

1. Définition et Domaine de définition La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie uniquement sur $]0, +\infty[$. Si on a une fonction $f(x) = \ln(u(x))$, alors $D_f = {x \in \mathbb{R} \mid u(x) > 0}$.

2. Propriétés algébriques Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln(a^n) = n \ln(a)$ (où $n \in \mathbb{Z}$)
$\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ (où $e \approx 2,718$)

3. Limites usuelles

$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

4. Croissances comparées (Très important)

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$

5. Dérivation

Si $f(x) = \ln(x)$, alors $f'(x) = \frac{1}{x}$
Si $f(x) = \ln(u(x))$, alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Méthodes à maîtriser

Trouver le domaine de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$.
Calculer une limite avec forme indéterminée : Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier l'expression ou utiliser les limites de croissances comparées.
Étudier les variations : Calculer $f'(x)$, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Trouver les asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors $x=a$ est une asymptote verticale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Simplification Calculer $\ln(e^2 \times 5)$. Solution : $\ln(e^2 \times 5) = \ln(e^2) + \ln(5) = 2\ln(e) + \ln(5) = 2(1) + \ln(5) = 2 + \ln(5)$.

Exemple 2 : Dérivée Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(3x + 1)$. Solution : On pose $u(x) = 3x + 1$, donc $u'(x) = 3$. $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{3}{3x + 1}$.

Erreurs fréquentes

Erreur 1 : Croire que $\ln(a + b) = \ln(a) + \ln(b)$. C'est faux ! La règle est $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$.
Erreur 2 : Oublier le domaine de définition. On ne peut jamais calculer $\ln$ d'un nombre négatif ou de zéro.
Erreur 3 : Confondre $\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ avec $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = 0$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الدوال اللوغاريتمية

1/4

Quelle est la valeur de $\ln(e^3)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que ln(x) est toujours croissante ?

Oui, car sa dérivée $f'(x) = \frac{1}{x}$ est toujours strictement positive sur son domaine $]0, +\infty[$ . Puisque la dérivée est positive, la fonction est strictement croissante.

💡 À retenir : La courbe de $\ln(x)$ monte toujours.

Oui, car sa dérivée $f'(x) = \frac{1}{x}$ est toujours strictement positive sur son domaine $]0, +\infty[$. Puisque la dérivée est positive, la fonction est strictement croissante.

💡 À retenir : La courbe de $\ln(x)$ monte toujours.

Kifach n3ref l-asymptote dyal ln(x) f x=0?

On regarde la limite quand $x \to 0^+$ . Comme $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ , la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Limite infinie $\implies$ Asymptote verticale.

On regarde la limite quand $x \to 0^+$. Comme $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Limite infinie $\implies$ Asymptote verticale.

ln(a times b) est égal à quoi ?

D'après les propriétés du logarithme : $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ .

💡 À retenir : Le produit devient une somme.

D'après les propriétés du logarithme : $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$.

💡 À retenir : Le produit devient une somme.

Quelle est la limite de frac{ln(x)}{x} quand x to +infty ?

C'est une limite de croissance comparée. L'expression $x$ "gagne" sur $\ln(x)$ à l'infini. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ .

💡 À retenir : $\frac{\ln(x)}{x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ .

C'est une limite de croissance comparée. L'expression $x$ "gagne" sur $\ln(x)$ à l'infini. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

💡 À retenir : $\frac{\ln(x)}{x}$ tend vers $0$ en $+\infty$.

ln(frac{1}{x}) est égal à quoi ?

On utilise la propriété $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ . $\ln(\frac{1}{x}) = \ln(1) - \ln(x) = 0 - \ln(x) = -\ln(x)$ .

💡 À retenir : $\ln(\frac{1}{x}) = -\ln(x)$ .

On utilise la propriété $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$. $\ln(\frac{1}{x}) = \ln(1) - \ln(x) = 0 - \ln(x) = -\ln(x)$.

💡 À retenir : $\ln(\frac{1}{x}) = -\ln(x)$.

Chno hiya l-limite dyal x ln(x) melli x to 0^+?

C'est une autre limite de croissance comparée très utilisée. $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$ .

💡 À retenir : $x$ "gagne" sur $\ln(x)$ près de $0$ .

C'est une autre limite de croissance comparée très utilisée. $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$.

💡 À retenir : $x$ "gagne" sur $\ln(x)$ près de $0$.

Comment dériver f(x) = ln(x^2 + 1) ?

On utilise la formule $\frac{u'(x)}{u(x)}$ . Ici $u(x) = x^2 + 1$ , donc $u'(x) = 2x$ . La dérivée est $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ .

💡 À retenir : Toujours dériver l'intérieur du $\ln$ .

On utilise la formule $\frac{u'(x)}{u(x)}$. Ici $u(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 2x$. La dérivée est $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

💡 À retenir : Toujours dériver l'intérieur du $\ln$.

Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0 ?

Quand $x$ devient un nombre positif extrêmement petit (proche de $0$ ), la valeur de $\ln(x)$ descend vers l'infini négatif. $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ .

💡 À retenir : $\ln(0)$ n'existe pas, mais la limite est $-\infty$ .

Quand $x$ devient un nombre positif extrêmement petit (proche de $0$), la valeur de $\ln(x)$ descend vers l'infini négatif. $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.

💡 À retenir : $\ln(0)$ n'existe pas, mais la limite est $-\infty$.

Chno hiya l-mouchtaqa (dérivée) dyal ln(x)?

La dérivée de la fonction logarithme népérien est une formule de base : Si $f(x) = \ln(x)$ , alors $f'(x) = \frac{1}{x}$ .

💡 À retenir : $f'(x) = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$ .

La dérivée de la fonction logarithme népérien est une formule de base : Si $f(x) = \ln(x)$, alors $f'(x) = \frac{1}{x}$.

💡 À retenir : $f'(x) = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$.

Comment calculer ln(e^5) ?

On utilise la propriété $\ln(a^n) = n \ln(a)$ . $\ln(e^5) = 5 \ln(e)$ . Comme $\ln(e) = 1$ , on a : $5 \times 1 = 5$ .

💡 À retenir : $\ln(e^k) = k$ .

On utilise la propriété $\ln(a^n) = n \ln(a)$. $\ln(e^5) = 5 \ln(e)$. Comme $\ln(e) = 1$, on a : $5 \times 1 = 5$.

💡 À retenir : $\ln(e^k) = k$.

Chno hiya l-domain dyal ln(x-3)?

Pour trouver le domaine de définition, il faut que l'expression à l'intérieur du logarithme soit strictement positive.

On pose l'inéquation : $x - 3 > 0$ .
On résout : $x > 3$ . Le domaine est donc $D_f = ]3, +\infty[$ .

💡 À retenir : Toujours résoudre $u(x) > 0$ pour le domaine.

Pour trouver le domaine de définition, il faut que l'expression à l'intérieur du logarithme soit strictement positive.

On pose l'inéquation : $x - 3 > 0$.
On résout : $x > 3$. Le domaine est donc $D_f = ]3, +\infty[$.

💡 À retenir : Toujours résoudre $u(x) > 0$ pour le domaine.

Kifach n7seb ln(1)?

C'est une valeur de base à connaître par cœur. Pour tout nombre $a > 0$ , $\ln(a) = 0$ si et seulement si $a = 1$ . Donc, $\ln(1) = 0$ .

💡 À retenir : $\ln(1)$ est toujours égal à $0$ .

C'est une valeur de base à connaître par cœur. Pour tout nombre $a > 0$, $\ln(a) = 0$ si et seulement si $a = 1$. Donc, $\ln(1) = 0$.

💡 À retenir : $\ln(1)$ est toujours égal à $0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Étude de base Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = \ln(x) + 2$ .

Calculer les limites de $f$ en $0^+$ et $+\infty$ .
Calculer la dérivée $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer l'équation de l'asymptote verticale.

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Étude de base Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = \ln(x) + 2$.

Calculer les limites de $f$ en $0^+$ et $+\infty$.
Calculer la dérivée $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer l'équation de l'asymptote verticale.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Fonction composée Soit $g$ la fonction définie sur $D_g = ]-\frac{1}{3}, +\infty[$ par : $g(x) = \ln(3x + 1)$ .

Calculer $\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ .
Calculer $g'(x)$ .
Étudier le signe de $g'(x)$ et donner le tableau de variations.

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Fonction composée Soit $g$ la fonction définie sur $D_g = ]-\frac{1}{3}, +\infty[$ par : $g(x) = \ln(3x + 1)$.

Calculer $\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
Calculer $g'(x)$.
Étudier le signe de $g'(x)$ et donner le tableau de variations.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Étude complète Soit $h$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $h(x) = x - \ln(x)$ .

Calculer les limites de $h$ en $0^+$ et $+\infty$ .
Calculer $h'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $h$ .
En déduire le minimum de la fonction $h$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Étude complète Soit $h$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $h(x) = x - \ln(x)$.

Calculer les limites de $h$ en $0^+$ et $+\infty$.
Calculer $h'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $h$.
En déduire le minimum de la fonction $h$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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