Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

النهايات و الإتصال

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$ .
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Opérations : Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles) sont continues sur leur domaine de définition.
TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$ , alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Remplacer $x$ par $a$ . Si forme indéterminée (0/0), factoriser par $(x-a)$ .
Étude de continuité : Calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ et vérifier si elle est égale à $f(a)$ .
TVI : Vérifier la continuité, la monotonie (si besoin d'unicité) et le signe de $f(a) \times f(b)$ .

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .
Continuité : $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$ . $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2 = f(1)$ . Donc $f$ est continue en 1.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier le domaine de définition avant de calculer la limite.
Confondre $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ avec une fonction non continue.
Ne pas préciser la continuité sur un intervalle avant d'appliquer le TVI.

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Opérations : Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles) sont continues sur leur domaine de définition.
TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Remplacer $x$ par $a$. Si forme indéterminée (0/0), factoriser par $(x-a)$.
Étude de continuité : Calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ et vérifier si elle est égale à $f(a)$.
TVI : Vérifier la continuité, la monotonie (si besoin d'unicité) et le signe de $f(a) \times f(b)$.

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
Continuité : $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$. $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2 = f(1)$. Donc $f$ est continue en 1.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier le domaine de définition avant de calculer la limite.
Confondre $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ avec une fonction non continue.
Ne pas préciser la continuité sur un intervalle avant d'appliquer le TVI.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 النهايات و الإتصال

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La limite $\lim_{x \to 1} (x^2 + 3x)$ est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une asymptote verticale ?

C'est une droite d'équation $x = a$ quand la limite de la fonction en $a$ est égale à $\pm \infty$ .

💡 À retenir : Limite infinie en un point fini = asymptote verticale.

C'est une droite d'équation $x = a$ quand la limite de la fonction en $a$ est égale à $\pm \infty$.

💡 À retenir : Limite infinie en un point fini = asymptote verticale.

Est-ce que le TVI permet de trouver la valeur exacte de la solution ?

Non, le TVI prouve seulement l'existence d'au moins une solution, mais il ne donne pas sa valeur précise.

💡 À retenir : Existence prouvée, valeur non calculée.

Comment savoir si une fonction est continue sur un intervalle ?

Il suffit de vérifier qu'elle est continue en chaque point de cet intervalle. Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle ne contenant pas de valeur annulant le dénominateur.

💡 À retenir : Pas de valeur interdite dans l'intervalle = continuité.

Kifach n3ref wach lfonction metsila fwahed no9ta?

7seb l'image dial lno9ta $f(a)$ .
7seb l'limite dial lfonction fhadik lno9ta $\lim_{x \to a} f(x)$ .
Ila kan l'limite kaysawi l'image, ra lfonction metsila.

💡 À retenir : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

7seb l'image dial lno9ta $f(a)$.
7seb l'limite dial lfonction fhadik lno9ta $\lim_{x \to a} f(x)$.
Ila kan l'limite kaysawi l'image, ra lfonction metsila.

💡 À retenir : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Est-ce que toutes les fonctions sont continues sur leur domaine de définition ?

Oui, pour le programme de sciences économiques, toutes les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, racines) sont continues sur chaque intervalle inclus dans leur domaine de définition.

💡 À retenir : Une fonction est continue là où elle est définie.

Chno hiya l'forme indéterminée?

Hiya wahed l7ala li ma3ndnach fiha natija mobachara f'l'limite, b7al $0/0$ aw $\infty/\infty$ aw $\infty - \infty$ . Khassna nkhdmo b'tqniyat l'factorisation aw l'conjugaison.

💡 À retenir : Il faut lever l'indétermination par le calcul algébrique.

Hiya wahed l7ala li ma3ndnach fiha natija mobachara f'l'limite, b7al $0/0$ aw $\infty/\infty$ aw $\infty - \infty$. Khassna nkhdmo b'tqniyat l'factorisation aw l'conjugaison.

💡 À retenir : Il faut lever l'indétermination par le calcul algébrique.

Kifach nkhdem b'مبرهنة القيم الوسيطية?

Khass lfonction tkon metsila 3la lmajala $[a, b]$ .
Khass $f(a)$ et $f(b)$ ykono 3ndhom icharat mokhtalifa ( $f(a) \times f(b) < 0$ ).
Stantaj bli kayn 3al l'aqal 7al wahed.

💡 À retenir : Continuité + changement de signe = existence de solution.

Khass lfonction tkon metsila 3la lmajala $[a, b]$.
Khass $f(a)$ et $f(b)$ ykono 3ndhom icharat mokhtalifa ($f(a) \times f(b) < 0$).
Stantaj bli kayn 3al l'aqal 7al wahed.

💡 À retenir : Continuité + changement de signe = existence de solution.

Comment lever une indétermination du type 0/0 ?

Factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$ .
Simplifier par $(x-a)$ .
Calculer la limite de la nouvelle expression.

💡 À retenir : Simplifier pour éliminer la cause du zéro.

Factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$.
Simplifier par $(x-a)$.
Calculer la limite de la nouvelle expression.

💡 À retenir : Simplifier pour éliminer la cause du zéro.

Qu'est-ce qu'un prolongement par continuité ?

C'est définir une fonction en un point où elle n'était pas définie, en lui donnant la valeur de sa limite en ce point.

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la fonction.

Est-ce que la limite à gauche doit être égale à la limite à droite ?

Oui, pour que la limite existe en un point $a$ , il faut que $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x)$ .

💡 À retenir : Limite unique = limite à gauche égale à limite à droite.

Oui, pour que la limite existe en un point $a$, il faut que $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x)$.

💡 À retenir : Limite unique = limite à gauche égale à limite à droite.

Chno lfarq bin l'limite f'no9ta o l'limite f'la nihaya?

L'limite f'no9ta katbiyen l'itisal (continuité), l'limite f'la nihaya katbiyen l'fروع اللانهائية (branches infinies).

💡 À retenir : Point = continuité, Infini = asymptotes.

Peut-on utiliser le TVI si la fonction n'est pas monotone ?

Oui, le TVI fonctionne même si la fonction n'est pas monotone, mais on ne peut pas garantir l'unicité de la solution.

💡 À retenir : Monotonie = unicité, TVI seul = existence.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0, 1[$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0, 1[$.

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Exercice 3

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 2$ avec : $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = 4$ .

Exercice 3

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 2$ avec : $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = 4$.

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