Mathématiques · 2ème Année Bac — Langue arabe

دالة اللوغاريتم النبيري

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ $a, b \in] 0, + \infty [$ :
- $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
- $\ln(a^r) = r \ln(a)$ pour tout $r \in \mathbb{Q}$
- $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
Dérivée : La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre des équations : Utiliser $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A, B > 0$ ).
Résoudre des inéquations : Utiliser $\ln(A) \leq \ln(B) \iff A \leq B$ (avec $A, B > 0$ ).
Étude de signe : $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$ .
Calcul de dérivée composée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) = 2$ : On applique l'exponentielle : $e^{\ln(x)} = e^2 \implies x = e^2$ .
Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ : $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition : $\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$ .
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier la condition $x>0$ lors de la résolution d'équations.

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ :
- $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
- $\ln(a^r) = r \ln(a)$ pour tout $r \in \mathbb{Q}$
- $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
Dérivée : La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre des équations : Utiliser $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A, B > 0$).
Résoudre des inéquations : Utiliser $\ln(A) \leq \ln(B) \iff A \leq B$ (avec $A, B > 0$).
Étude de signe : $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$.
Calcul de dérivée composée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) = 2$ : On applique l'exponentielle : $e^{\ln(x)} = e^2 \implies x = e^2$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ : $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition : $\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier la condition $x>0$ lors de la résolution d'équations.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Quelle est la valeur de $\ln(e)$ ?

❓ Questions fréquentes

Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0^+ ?

La limite est $-\infty$ .

La courbe de la fonction $\ln$ descend vers le bas quand on s'approche de 0.
C'est une limite fondamentale du cours.

💡 À retenir : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ .

La limite est $-\infty$.

La courbe de la fonction $\ln$ descend vers le bas quand on s'approche de 0.
C'est une limite fondamentale du cours.

💡 À retenir : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.

C'est quoi le domaine de définition de ln(x) ?

La fonction $\ln(x)$ n'est définie que pour les nombres strictement positifs.

On écrit toujours la condition $x > 0$ .
Le domaine est donc l'intervalle $D = ]0, +\infty[$ .

💡 À retenir : On ne peut jamais calculer le logarithme d'un nombre négatif ou de zéro.

La fonction $\ln(x)$ n'est définie que pour les nombres strictement positifs.

On écrit toujours la condition $x > 0$.
Le domaine est donc l'intervalle $D = ]0, +\infty[$.

💡 À retenir : On ne peut jamais calculer le logarithme d'un nombre négatif ou de zéro.

Comment on fait pour résoudre ln(x) = -3 ?

Pour isoler $x$ , on utilise la fonction exponentielle qui est la fonction inverse du logarithme.

On a $\ln(x) = -3$ .
On applique l'exponentielle des deux côtés : $e^{\ln(x)} = e^{-3}$ .
Comme $e^{\ln(x)} = x$ , on obtient $x = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$ .

💡 À retenir : Pour "annuler" un $\ln$ , on utilise l'exponentielle $e$ .

Pour isoler $x$, on utilise la fonction exponentielle qui est la fonction inverse du logarithme.

On a $\ln(x) = -3$.
On applique l'exponentielle des deux côtés : $e^{\ln(x)} = e^{-3}$.
Comme $e^{\ln(x)} = x$, on obtient $x = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$.

💡 À retenir : Pour "annuler" un $\ln$, on utilise l'exponentielle $e$.

Kifach n7seb l'ensemble de définition dial ln(2x-4) ?

Bach t7seb domaine de définition, khass dakchi li dakhil l'ln ykon kbar mn zero.

Khass $2x - 4 > 0$ .
$2x > 4$ .
$x > \frac{4}{2}$ , donc $x > 2$ .
L'ensemble est $D = ]2, +\infty[$ .

💡 À retenir : Dima diri $u(x) > 0$ bach tkhrej $x$ .

Bach t7seb domaine de définition, khass dakchi li dakhil l'ln ykon kbar mn zero.

Khass $2x - 4 > 0$.
$2x > 4$.
$x > \frac{4}{2}$, donc $x > 2$.
L'ensemble est $D = ]2, +\infty[$.

💡 À retenir : Dima diri $u(x) > 0$ bach tkhrej $x$.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) est toujours vrai ?

Non, ce n'est pas toujours vrai.

$\ln(x^2)$ est défini pour tout $x \neq 0$ (car $x^2 > 0$ ).
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$ .
Si $x = -2$ , $\ln((-2)^2) = \ln(4)$ , mais $2\ln(-2)$ n'existe pas.

💡 À retenir : La formule $\ln(x^n) = n\ln(x)$ n'est vraie que si $x > 0$ .

Non, ce n'est pas toujours vrai.

$\ln(x^2)$ est défini pour tout $x \neq 0$ (car $x^2 > 0$).
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$.
Si $x = -2$, $\ln((-2)^2) = \ln(4)$, mais $2\ln(-2)$ n'existe pas.

💡 À retenir : La formule $\ln(x^n) = n\ln(x)$ n'est vraie que si $x > 0$.

Chno hiya l'image dial 1 par la fonction ln ?

L'image de 1 est 0.

On calcule $\ln(1)$ .
Par définition, le logarithme de 1 est toujours nul.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ est une valeur fondamentale à connaître par cœur.

L'image de 1 est 0.

On calcule $\ln(1)$.
Par définition, le logarithme de 1 est toujours nul.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ est une valeur fondamentale à connaître par cœur.

Kifach n3ref wach ln(x) positif wla négatif ?

Sahl bzaf, khassk ghi tchofi l'valeur dial $x$ par rapport à 1.

Ila kan $x > 1$ , alors $\ln(x) > 0$ .
Ila kan $0 < x < 1$ , alors $\ln(x) < 0$ .
Ila kan $x = 1$ , alors $\ln(x) = 0$ .

💡 À retenir : 1 est la valeur charnière pour le signe de $\ln(x)$ .

Sahl bzaf, khassk ghi tchofi l'valeur dial $x$ par rapport à 1.

Ila kan $x > 1$, alors $\ln(x) > 0$.
Ila kan $0 < x < 1$, alors $\ln(x) < 0$.
Ila kan $x = 1$, alors $\ln(x) = 0$.

💡 À retenir : 1 est la valeur charnière pour le signe de $\ln(x)$.

Comment dériver ln(3x) ?

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .

Ici $u(x) = 3x$ .
La dérivée de $u$ est $u'(x) = 3$ .
Donc $(\ln(3x))' = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$ .

💡 À retenir : La dérivée de $\ln(ax)$ est toujours $\frac{1}{x}$ .

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Ici $u(x) = 3x$.
La dérivée de $u$ est $u'(x) = 3$.
Donc $(\ln(3x))' = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$.

💡 À retenir : La dérivée de $\ln(ax)$ est toujours $\frac{1}{x}$.

Wash ln(a+b) hiya ln(a) + ln(b) ?

Non, c'est une erreur très grave !

La règle est $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ .
Il n'y a aucune formule simplifiée pour $\ln(a+b)$ .

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le $\ln$ sur une addition.

Non, c'est une erreur très grave !

La règle est $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$.
Il n'y a aucune formule simplifiée pour $\ln(a+b)$.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le $\ln$ sur une addition.

Comment calculer ln(e^5) ?

C'est très simple car $\ln$ et $e$ sont des fonctions réciproques.

La formule est $\ln(e^x) = x$ .
Donc $\ln(e^5) = 5$ .

💡 À retenir : $\ln$ et $e$ s'annulent mutuellement.

C'est très simple car $\ln$ et $e$ sont des fonctions réciproques.

La formule est $\ln(e^x) = x$.
Donc $\ln(e^5) = 5$.

💡 À retenir : $\ln$ et $e$ s'annulent mutuellement.

Kifach n7seb ln(8) en fonction de ln(2) ?

Khassk tktbi 8 3la chkl puissance dial 2.

$8 = 2^3$ .
Donc $\ln(8) = \ln(2^3)$ .
On utilise la règle $\ln(a^n) = n\ln(a)$ , donc $\ln(8) = 3\ln(2)$ .

💡 À retenir : Décomposer les nombres en puissances aide beaucoup.

Khassk tktbi 8 3la chkl puissance dial 2.

$8 = 2^3$.
Donc $\ln(8) = \ln(2^3)$.
On utilise la règle $\ln(a^n) = n\ln(a)$, donc $\ln(8) = 3\ln(2)$.

💡 À retenir : Décomposer les nombres en puissances aide beaucoup.

Est-ce que la fonction ln est croissante ?

Oui, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur son domaine $]0, +\infty[$ .

Sa dérivée est $f'(x) = 1/x$ .
Comme $x > 0$ , alors $1/x > 0$ .
Une dérivée positive signifie que la fonction est croissante.

💡 À retenir : $\ln$ est toujours croissante sur son domaine.

Oui, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur son domaine $]0, +\infty[$.

Sa dérivée est $f'(x) = 1/x$.
Comme $x > 0$, alors $1/x > 0$.
Une dérivée positive signifie que la fonction est croissante.

💡 À retenir : $\ln$ est toujours croissante sur son domaine.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x-1) = 2$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x-1) = 2$.

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Exercice 2

Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = x \ln(x) - x$ .

Exercice 2

Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = x \ln(x) - x$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Étudier le signe de $f(x) = \ln(x) - 1$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 3

Étudier le signe de $f(x) = \ln(x) - 1$ sur $]0, +\infty[$.

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