Mathématiques · 2ème Année Bac — Langue arabe

الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans ce chapitre, nous étudions les expériences aléatoires.

Univers ( $\Omega$ ) : L'ensemble de toutes les issues possibles.
Événement : Une partie de $\Omega$ .
Probabilité d'un événement $A$ : $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$ .
Propriétés :
- $0 \leq P(A) \leq 1$ .
- $P(\Omega) = 1$ et $P(\emptyset) = 0$ .
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ (où $\bar{A}$ est l'événement contraire).
- Si $A \cap B = \emptyset$ , alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser le principe multiplicatif ou les arrangements/combinaisons (selon le tirage).
Tirage successif avec remise : Le nombre total de cas est $n^p$ .
Tirage successif sans remise : Utiliser les arrangements $A_n^p$ .
Tirage simultané : Utiliser les combinaisons $C_n^p$ .
Événement contraire : Utiliser $P(\bar{A})$ quand le calcul direct est trop long (ex: "au moins un").

Exemples corrigés

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 2 boules simultanément.

Nombre de cas possibles : $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ .
Probabilité d'avoir 2 boules rouges : $P(A) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$ .

Erreurs fréquentes

Confondre "simultané" ( $C_n^p$ ) et "successif sans remise" ( $A_n^p$ ).
Oublier que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires est 1.
Mal définir l'événement contraire (l'inverse de "au moins un" est "aucun").

L'essentiel du cours

Dans ce chapitre, nous étudions les expériences aléatoires.

Univers ($\Omega$) : L'ensemble de toutes les issues possibles.
Événement : Une partie de $\Omega$.
Probabilité d'un événement $A$ : $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$.
Propriétés :
- $0 \leq P(A) \leq 1$.
- $P(\Omega) = 1$ et $P(\emptyset) = 0$.
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ (où $\bar{A}$ est l'événement contraire).
- Si $A \cap B = \emptyset$, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser le principe multiplicatif ou les arrangements/combinaisons (selon le tirage).
Tirage successif avec remise : Le nombre total de cas est $n^p$.
Tirage successif sans remise : Utiliser les arrangements $A_n^p$.
Tirage simultané : Utiliser les combinaisons $C_n^p$.
Événement contraire : Utiliser $P(\bar{A})$ quand le calcul direct est trop long (ex: "au moins un").

Exemples corrigés

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 2 boules simultanément.

Nombre de cas possibles : $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
Probabilité d'avoir 2 boules rouges : $P(A) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Erreurs fréquentes

Confondre "simultané" ($C_n^p$) et "successif sans remise" ($A_n^p$).
Oublier que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires est 1.
Mal définir l'événement contraire (l'inverse de "au moins un" est "aucun").

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

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Pour un tirage simultané de 3 boules parmi 10, quel est le nombre de cas possibles ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la probabilité peut être supérieure à 1 ?

Non, jamais. La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est que tu as fait une erreur de calcul dans le dénombrement.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, jamais. La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est que tu as fait une erreur de calcul dans le dénombrement.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Chno hiya lfar9 bin tirage simultané o successif sans remise ?

Tirage simultané : Tu prends les boules en même temps, l'ordre n'a pas d'importance, on utilise $C_n^p$ .
Tirage successif sans remise : Tu prends une boule, puis une autre, l'ordre compte, on utilise $A_n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ( $C_n^p$ ) ; Successif sans remise = Arrangement ( $A_n^p$ ).

Tirage simultané : Tu prends les boules en même temps, l'ordre n'a pas d'importance, on utilise $C_n^p$.
Tirage successif sans remise : Tu prends une boule, puis une autre, l'ordre compte, on utilise $A_n^p$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ($C_n^p$) ; Successif sans remise = Arrangement ($A_n^p$).

Comment savoir si je dois utiliser l'événement contraire ?

Utilise l'événement contraire quand la question contient l'expression "au moins un".

Identifie l'événement $A$ : "Au moins une boule rouge".
Identifie l'événement contraire $\bar{A}$ : "Aucune boule rouge" (donc toutes les boules sont d'une autre couleur).
Calcule $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ .

💡 À retenir : "Au moins un" $\rightarrow$ Pense à $1 - P(\text{aucun})$ .

Utilise l'événement contraire quand la question contient l'expression "au moins un".

Identifie l'événement $A$ : "Au moins une boule rouge".
Identifie l'événement contraire $\bar{A}$ : "Aucune boule rouge" (donc toutes les boules sont d'une autre couleur).
Calcule $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

💡 À retenir : "Au moins un" $\rightarrow$ Pense à $1 - P(\text{aucun})$.

Kifach n7seb Cn^p b'la calculatrice ?

Sur la plupart des calculatrices scientifiques (Casio) :

Tape le nombre total $n$ .
Appuie sur la touche "SHIFT" puis sur la touche divisée " $\div$ " (où il y a écrit $nCr$ en jaune).
Tape le nombre $p$ et appuie sur "=".

💡 À retenir : $nCr$ est la fonction pour les combinaisons.

Sur la plupart des calculatrices scientifiques (Casio) :

Tape le nombre total $n$.
Appuie sur la touche "SHIFT" puis sur la touche divisée "$\div$" (où il y a écrit $nCr$ en jaune).
Tape le nombre $p$ et appuie sur "=".

💡 À retenir : $nCr$ est la fonction pour les combinaisons.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance. On considère que les boules sont prises toutes en même temps. C'est pour cela qu'on utilise les combinaisons $C_n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = Pas d'ordre.

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance. On considère que les boules sont prises toutes en même temps. C'est pour cela qu'on utilise les combinaisons $C_n^p$.

💡 À retenir : Simultané = Pas d'ordre.

Wach momkin nkhdem b'les fractions f'l'examen ?

Oui, absolument. Il est même fortement conseillé de laisser les résultats sous forme de fractions irréductibles plutôt que de donner des nombres décimaux avec beaucoup de chiffres après la virgule, sauf si l'énoncé demande une valeur approchée.

💡 À retenir : La fraction est la valeur exacte.

C'est quoi la différence entre "et" et "ou" dans les probabilités ?

"Et" correspond à l'intersection ( $\cap$ ) : les deux événements doivent se réaliser en même temps.
"Ou" correspond à la réunion ( $\cup$ ) : au moins l'un des deux événements se réalise.

💡 À retenir : "Et" = intersection, "Ou" = union.

"Et" correspond à l'intersection ($\cap$) : les deux événements doivent se réaliser en même temps.
"Ou" correspond à la réunion ($\cup$) : au moins l'un des deux événements se réalise.

💡 À retenir : "Et" = intersection, "Ou" = union.

Comment calculer P(A cup B) si les événements ne sont pas incompatibles ?

La formule générale est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . On soustrait l'intersection pour ne pas compter deux fois les éléments communs.

💡 À retenir : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

La formule générale est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. On soustrait l'intersection pour ne pas compter deux fois les éléments communs.

💡 À retenir : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Est-ce que Cn^n est toujours égal à 1 ?

Oui, $C_n^n$ représente le nombre de façons de choisir $n$ objets parmi $n$ , il n'y a qu'une seule façon : les prendre tous. De même, $C_n^0 = 1$ et $C_n^1 = n$ .

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ .

Oui, $C_n^n$ représente le nombre de façons de choisir $n$ objets parmi $n$, il n'y a qu'une seule façon : les prendre tous. De même, $C_n^0 = 1$ et $C_n^1 = n$.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$.

Kifach n3ref l'univers Omega f'chi tamrin ?

L'univers $\Omega$ est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience. Pour le calculer, tu comptes combien de façons il y a de faire le tirage total (ex: tirer 3 boules parmi 10). C'est ton dénominateur dans la formule de probabilité.

💡 À retenir : $\Omega$ est le nombre total de cas possibles.

Si on tire des boules avec remise, est-ce que le nombre total change ?

Oui, avec remise, le nombre total de boules reste identique à chaque tirage. Si tu tires $p$ boules parmi $n$ , le nombre de cas possibles est $n^p$ .

💡 À retenir : Avec remise $\rightarrow n^p$ .

Oui, avec remise, le nombre total de boules reste identique à chaque tirage. Si tu tires $p$ boules parmi $n$, le nombre de cas possibles est $n^p$.

💡 À retenir : Avec remise $\rightarrow n^p$.

Est-ce que je dois justifier le choix de Cn^p ?

Oui, c'est très important. Écris toujours : "Le nombre de cas possibles est $C_n^p$ car il s'agit d'un tirage simultané de $p$ boules parmi $n$ ". Cela montre au correcteur que tu as compris la méthode.

💡 À retenir : Justifie toujours ton choix de formule.

Oui, c'est très important. Écris toujours : "Le nombre de cas possibles est $C_n^p$ car il s'agit d'un tirage simultané de $p$ boules parmi $n$". Cela montre au correcteur que tu as compris la méthode.

💡 À retenir : Justifie toujours ton choix de formule.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 6 boules : 4 blanches et 2 noires. On tire simultanément 2 boules.

Calculer le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules blanches.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise 2 boules.

Calculer le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge puis une boule verte.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Une urne contient 3 boules numérotées 1, 2, 3. On tire 2 boules successivement avec remise.

Déterminer le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité que la somme des numéros soit égale à 4.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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