Mathématiques · 2ème Année Bac — Langue arabe

حساب التكامل

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le calcul intégral permet de calculer l'aire sous une courbe. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est définie par : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ Propriétés fondamentales :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$ .
Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$ .
Ordre : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Identifier la primitive $F(x)$ de la fonction $f(x)$ en utilisant les formules usuelles (puissances, exponentielle, logarithme).
Utilisation de Chasles : Décomposer une intégrale si la fonction change d'expression ou pour simplifier le calcul.
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par la courbe $(C_f)$ , l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est donnée par $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ (en unité d'aire).

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ . On sait que la primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$ . $I = [\ln(x)]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ et faire l'inverse ( $F(a) - F(b)$ ).
Confondre la primitive de $e^x$ (qui est $e^x$ ) avec celle de $x^n$ (qui est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ).
Oublier l'unité d'aire (u.a.) lors du calcul d'une aire géométrique.

L'essentiel du cours

Le calcul intégral permet de calculer l'aire sous une courbe. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est définie par : $$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$ Propriétés fondamentales :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$.
Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$.
Ordre : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$.

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Identifier la primitive $F(x)$ de la fonction $f(x)$ en utilisant les formules usuelles (puissances, exponentielle, logarithme).
Utilisation de Chasles : Décomposer une intégrale si la fonction change d'expression ou pour simplifier le calcul.
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est donnée par $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ (en unité d'aire).

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$. On sait que la primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$. $I = [\ln(x)]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ et faire l'inverse ($F(a) - F(b)$).
Confondre la primitive de $e^x$ (qui est $e^x$) avec celle de $x^n$ (qui est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$).
Oublier l'unité d'aire (u.a.) lors du calcul d'une aire géométrique.

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🎯 حساب التكامل

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La primitive de $f(x) = 4x^3$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une primitive et une intégrale ?

Une primitive $F$ est une fonction telle que $F'(x) = f(x)$ . C'est une famille de fonctions.
Une intégrale est un nombre réel (une valeur numérique) calculé entre deux bornes $a$ et $b$ .

💡 À retenir : L'intégrale est le résultat de la différence des valeurs d'une primitive aux bornes.

Une primitive $F$ est une fonction telle que $F'(x) = f(x)$. C'est une famille de fonctions.
Une intégrale est un nombre réel (une valeur numérique) calculé entre deux bornes $a$ et $b$.

💡 À retenir : L'intégrale est le résultat de la différence des valeurs d'une primitive aux bornes.

Kifach n7seb l'intégrale ila kanet l'expression dyal f(x) fiha l'exponentielle?

Tu cherches la primitive de la fonction exponentielle.
Rappelle-toi que la primitive de $e^x$ est $e^x$ elle-même.
Si tu as $e^{ax}$ , la primitive est $\frac{1}{a}e^{ax}$ .
Tu remplaces ensuite par les bornes.

💡 À retenir : La fonction exponentielle est la seule fonction qui est sa propre primitive.

Tu cherches la primitive de la fonction exponentielle.
Rappelle-toi que la primitive de $e^x$ est $e^x$ elle-même.
Si tu as $e^{ax}$, la primitive est $\frac{1}{a}e^{ax}$.
Tu remplaces ensuite par les bornes.

💡 À retenir : La fonction exponentielle est la seule fonction qui est sa propre primitive.

Est-ce que le résultat d'une intégrale peut être négatif ?

Oui, tout à fait. Si la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[a, b]$ , alors l'intégrale sera négative. L'intégrale représente une "aire algébrique".

💡 À retenir : Une aire géométrique est toujours positive, mais une intégrale peut être négative.

Oui, tout à fait. Si la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[a, b]$, alors l'intégrale sera négative. L'intégrale représente une "aire algébrique".

💡 À retenir : Une aire géométrique est toujours positive, mais une intégrale peut être négative.

Chno hiya l'unité d'aire (u.a.)?

C'est une unité de mesure pour les surfaces dans le plan. Elle correspond à l'aire du rectangle formé par les unités de l'axe des abscisses et des ordonnées.

💡 À retenir : Si l'énoncé ne précise pas les unités, on écrit toujours "u.a." à la fin du résultat.

Wach momkin nkhdem b Chasles ila kanou les bornes makaytchabhoch?

La relation de Chasles $\int_{a}^{b} + \int_{b}^{c} = \int_{a}^{c}$ nécessite que la borne supérieure de la première soit la borne inférieure de la seconde.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier que le point de coupure est le même.

La relation de Chasles $\int_{a}^{b} + \int_{b}^{c} = \int_{a}^{c}$ nécessite que la borne supérieure de la première soit la borne inférieure de la seconde.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier que le point de coupure est le même.

Kifach n3ref primitive dyal x^n?

C'est très simple : tu ajoutes 1 à l'exposant et tu divises par ce nouveau nombre. La primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

💡 À retenir : Cette règle est valable pour tout $n \neq -1$ .

C'est très simple : tu ajoutes 1 à l'exposant et tu divises par ce nouveau nombre. La primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

💡 À retenir : Cette règle est valable pour tout $n \neq -1$.

Est-ce que je dois toujours simplifier le résultat final ?

Oui, c'est fortement conseillé. Si tu trouves $\ln(e^2)$ , il faut écrire $2$ . Si tu trouves $e^0$ , écris $1$ .

💡 À retenir : Une réponse simplifiée montre une meilleure maîtrise du cours.

Oui, c'est fortement conseillé. Si tu trouves $\ln(e^2)$, il faut écrire $2$. Si tu trouves $e^0$, écris $1$.

💡 À retenir : Une réponse simplifiée montre une meilleure maîtrise du cours.

Est-ce que l'ordre des bornes est important ?

Oui, si tu inverses les bornes, le signe de l'intégrale change. $\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$ .

💡 À retenir : Respecte toujours l'ordre des bornes donné dans l'énoncé.

Oui, si tu inverses les bornes, le signe de l'intégrale change. $\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$.

💡 À retenir : Respecte toujours l'ordre des bornes donné dans l'énoncé.

Est-ce que la fonction doit être continue pour calculer l'intégrale ?

Oui, le programme exige que la fonction soit continue sur l'intervalle $[a, b]$ pour garantir l'existence de la primitive.

💡 À retenir : Sans continuité, on ne peut pas appliquer le théorème fondamental.

Oui, le programme exige que la fonction soit continue sur l'intervalle $[a, b]$ pour garantir l'existence de la primitive.

💡 À retenir : Sans continuité, on ne peut pas appliquer le théorème fondamental.

Wach n9der nkhrej l'intégrale dyal f(x) + g(x) bwahdha?

Oui, grâce à la linéarité, tu peux calculer l'intégrale de chaque fonction séparément puis les additionner.

💡 À retenir : L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver le résultat ?

Tu peux l'utiliser pour vérifier ton résultat, mais à l'examen national, tu dois rédiger toutes les étapes du calcul de la primitive.

💡 À retenir : Seule la méthode compte pour obtenir tous les points.

Pourquoi on ajoute la constante c dans les primitives mais pas dans les intégrales ?

Dans une primitive, on cherche une fonction (donc on ajoute $c$ ). Dans une intégrale, on calcule une différence : $(F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) - F(a)$ . La constante s'annule.

💡 À retenir : La constante disparaît toujours lors du calcul d'une intégrale définie.

Dans une primitive, on cherche une fonction (donc on ajoute $c$). Dans une intégrale, on calcule une différence : $(F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) - F(a)$. La constante s'annule.

💡 À retenir : La constante disparaît toujours lors du calcul d'une intégrale définie.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer $J = \int_{1}^{e} (\frac{1}{x} + e^x) dx$ .

Exercice 2

Calculer $J = \int_{1}^{e} (\frac{1}{x} + e^x) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = e^x$ , l'axe des abscisses, et les droites $x=0$ et $x=2$ .

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = e^x$, l'axe des abscisses, et les droites $x=0$ et $x=2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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