Mathématiques · 2ème Année Bac — Langue arabe

رالدالة الأسية النبيرية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle, notée $\exp$ , est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ . On la note $e^x$ .

Propriétés algébriques : Pour tout $x, y \in \mathbb{R}$ $x, y \in R$ :
- $e^x > 0$
- $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2,718$
- $e^{x+y} = e^x \times e^y$
- $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
- $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
- $(e^x)^n = e^{nx}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$
- $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$
Dérivée : La fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur tout intervalle où $u$ est dérivable, et sa dérivée est $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre une équation : Utiliser $e^A = e^B \iff A = B$ .
Résoudre une inéquation : Utiliser $e^A < e^B \iff A < B$ (car la fonction est strictement croissante).
Étude de signe : Comme $e^x > 0$ pour tout $x$ , le signe de $f(x) = e^x - 1$ dépend uniquement de $x$ (car $e^x - 1 > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0$ ).

Exemples corrigés

Résoudre $e^{2x-1} = e^3$ : $2x - 1 = 3 \iff 2x = 4 \iff x = 2$ . Donc $S = \{2\}$ .
Calculer la dérivée de $f(x) = e^{x^2+x}$ : $f'(x) = (x^2+x)' e^{x^2+x} = (2x+1)e^{x^2+x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.
Confondre $e^{x+y}$ avec $e^x + e^y$ (ce dernier ne se simplifie pas).
Se tromper dans le signe de la dérivée de $e^{-x}$ (c'est $-e^{-x}$ ).

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On la note $e^x$.

Propriétés algébriques : Pour tout $x, y \in \mathbb{R}$ :
- $e^x > 0$
- $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2,718$
- $e^{x+y} = e^x \times e^y$
- $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
- $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
- $(e^x)^n = e^{nx}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$
- $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$
Dérivée : La fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur tout intervalle où $u$ est dérivable, et sa dérivée est $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre une équation : Utiliser $e^A = e^B \iff A = B$.
Résoudre une inéquation : Utiliser $e^A < e^B \iff A < B$ (car la fonction est strictement croissante).
Étude de signe : Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, le signe de $f(x) = e^x - 1$ dépend uniquement de $x$ (car $e^x - 1 > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0$).

Exemples corrigés

Résoudre $e^{2x-1} = e^3$ : $2x - 1 = 3 \iff 2x = 4 \iff x = 2$. Donc $S = {2}$.
Calculer la dérivée de $f(x) = e^{x^2+x}$ : $f'(x) = (x^2+x)' e^{x^2+x} = (2x+1)e^{x^2+x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.
Confondre $e^{x+y}$ avec $e^x + e^y$ (ce dernier ne se simplifie pas).
Se tromper dans le signe de la dérivée de $e^{-x}$ (c'est $-e^{-x}$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 رالدالة الأسية النبيرية

1/4

Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{3x}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que (e^x)^2 = e^{x^2} ?

Non ! $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$ . Alors que $e^{x^2}$ est l'exponentielle de $x$ au carré. Ce n'est pas la même chose.

💡 À retenir : $(e^x)^n = e^{nx}$ .

Non ! $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$. Alors que $e^{x^2}$ est l'exponentielle de $x$ au carré. Ce n'est pas la même chose.

💡 À retenir : $(e^x)^n = e^{nx}$.

Est-ce que e^x peut être négatif ?

Non, la fonction exponentielle est strictement positive pour tout nombre réel $x$ . C'est une propriété fondamentale : la courbe représentative se situe toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Non, la fonction exponentielle est strictement positive pour tout nombre réel $x$. C'est une propriété fondamentale : la courbe représentative se situe toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Kifach n7seb l'image dial 0 f'dalla exponentielle ?

C'est très simple : par définition, $e^0 = 1$ . C'est la valeur de référence pour cette fonction.

💡 À retenir : $e^0 = 1$ .

C'est très simple : par définition, $e^0 = 1$. C'est la valeur de référence pour cette fonction.

💡 À retenir : $e^0 = 1$.

Comment on dérive 3e^x + 5 ?

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la constante multiplicative reste devant :

La dérivée de $3e^x$ est $3e^x$ .
La dérivée de $5$ est $0$ . Donc, la dérivée est $3e^x$ .

💡 À retenir : $(k \cdot e^x)' = k \cdot e^x$ .

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la constante multiplicative reste devant :

La dérivée de $3e^x$ est $3e^x$.
La dérivée de $5$ est $0$. Donc, la dérivée est $3e^x$.

💡 À retenir : $(k \cdot e^x)' = k \cdot e^x$.

Chno hiya l'relation bin exponentielle w log ?

Ce sont des fonctions réciproques. Cela signifie que $e^{\ln(x)} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ . Elles s'annulent mutuellement.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ .

Ce sont des fonctions réciproques. Cela signifie que $e^{\ln(x)} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$. Elles s'annulent mutuellement.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$.

Est-ce que e^{2x} est égal à 2e^x ?

Non, c'est une erreur classique. $e^{2x}$ est égal à $(e^x)^2$ , ce qui est très différent de $2e^x$ .

💡 À retenir : $e^{ax} = (e^x)^a$ .

Non, c'est une erreur classique. $e^{2x}$ est égal à $(e^x)^2$, ce qui est très différent de $2e^x$.

💡 À retenir : $e^{ax} = (e^x)^a$.

Wach l'exponentielle tzad (croissante) dima ?

Oui, la fonction exponentielle est strictement croissante sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$ . Sa dérivée $e^x$ est toujours positive.

💡 À retenir : $e^x$ est toujours croissante.

Oui, la fonction exponentielle est strictement croissante sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$. Sa dérivée $e^x$ est toujours positive.

💡 À retenir : $e^x$ est toujours croissante.

Comment lever une indétermination du type frac{e^x}{x} en +infty ?

C'est une limite usuelle du cours. Il n'y a pas de calcul complexe à faire, il faut juste retenir que l'exponentielle "l'emporte" sur le polynôme.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ .

💡 À retenir : L'exponentielle croît plus vite que n'importe quelle puissance de $x$ .

C'est une limite usuelle du cours. Il n'y a pas de calcul complexe à faire, il faut juste retenir que l'exponentielle "l'emporte" sur le polynôme.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$.

💡 À retenir : L'exponentielle croît plus vite que n'importe quelle puissance de $x$.

Comment résoudre e^x = 5 ?

Pour isoler $x$ , on utilise la fonction réciproque, le logarithme népérien ( $\ln$ ) :

On applique $\ln$ des deux côtés : $\ln(e^x) = \ln(5)$ .
On obtient : $x = \ln(5)$ .

💡 À retenir : $e^x = a \iff x = \ln(a)$ (avec $a > 0$ ).

Pour isoler $x$, on utilise la fonction réciproque, le logarithme népérien ($\ln$) :

On applique $\ln$ des deux côtés : $\ln(e^x) = \ln(5)$.
On obtient : $x = \ln(5)$.

💡 À retenir : $e^x = a \iff x = \ln(a)$ (avec $a > 0$).

Pourquoi lim{x to -infty} e^x = 0 ?

Parce que quand $x$ devient très grand négativement (ex: $-100$ ), $e^{-100} = \frac{1}{e^{100}}$ , ce qui est un nombre extrêmement proche de zéro.

💡 À retenir : L'axe des abscisses est une asymptote horizontale en $-\infty$ .

Parce que quand $x$ devient très grand négativement (ex: $-100$), $e^{-100} = \frac{1}{e^{100}}$, ce qui est un nombre extrêmement proche de zéro.

💡 À retenir : L'axe des abscisses est une asymptote horizontale en $-\infty$.

Comment étudier le signe de e^x - e ?

On cherche quand $e^x - e = 0 \iff e^x = e^1 \iff x = 1$ .
Comme la fonction est croissante, si $x > 1$ alors $e^x > e$ , donc $e^x - e > 0$ .
Si $x < 1$ alors $e^x < e$ , donc $e^x - e < 0$ .

💡 À retenir : Le signe dépend de la comparaison de $x$ avec le nombre dans l'exposant.

On cherche quand $e^x - e = 0 \iff e^x = e^1 \iff x = 1$.
Comme la fonction est croissante, si $x > 1$ alors $e^x > e$, donc $e^x - e > 0$.
Si $x < 1$ alors $e^x < e$, donc $e^x - e < 0$.