Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Sage-femme

Fonctions logarithmes et exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Définie sur $]0; +\infty[$ . $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$ . Pour tout $a, b > 0$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ .
Fonction $\exp$ : Définie sur $\mathbb{R}$ . $\exp(0)=1$ et $\exp(1)=e$ . Pour tout $a, b \in \mathbb{R}$ : $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$ et $e^a / e^b = e^{a-b}$ .
Limites usuelles : $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre $\ln(f(x)) = k$ : Passer à l'exponentielle : $f(x) = e^k$ (ne pas oublier la condition $f(x) > 0$ ).
Résoudre $e^{f(x)} = k$ : Appliquer $\ln$ des deux côtés : $f(x) = \ln(k)$ (nécessite $k > 0$ ).
Étude de signe : Utiliser le fait que $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $e^x > 0$ pour tout $x$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $\ln(x) = 2$ . Solution : $x = e^2$ .
Exemple 2 : Dérivée de $f(x) = x e^x$ . $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$ .
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier de vérifier le domaine de définition avant de résoudre une équation.

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Définie sur $]0; +\infty[$. $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$. Pour tout $a, b > 0$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$.
Fonction $\exp$ : Définie sur $\mathbb{R}$. $\exp(0)=1$ et $\exp(1)=e$. Pour tout $a, b \in \mathbb{R}$ : $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$ et $e^a / e^b = e^{a-b}$.
Limites usuelles : $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre $\ln(f(x)) = k$ : Passer à l'exponentielle : $f(x) = e^k$ (ne pas oublier la condition $f(x) > 0$).
Résoudre $e^{f(x)} = k$ : Appliquer $\ln$ des deux côtés : $f(x) = \ln(k)$ (nécessite $k > 0$).
Étude de signe : Utiliser le fait que $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $e^x > 0$ pour tout $x$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $\ln(x) = 2$. Solution : $x = e^2$.
Exemple 2 : Dérivée de $f(x) = x e^x$. $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier de vérifier le domaine de définition avant de résoudre une équation.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions logarithmes et exponentielles

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La valeur de $\ln(e^3)$ est :

❓ Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de ln(u(x)) ?

La formule est : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

💡 À retenir : Toujours diviser par la fonction originale.

La formule est : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

💡 À retenir : Toujours diviser par la fonction originale.

Kifach n7seb domaine de définition dial chi fonction fiha ln ?

Chouf l'expression li dakhla f'ln.
Khass dakchi li dakhla f'ln ykon kbar men zero (strictement positif).
7el l'inéquation $f(x) > 0$ .

💡 À retenir : $\ln(u(x))$ est défini si et seulement si $u(x) > 0$ .

Chouf l'expression li dakhla f'ln.
Khass dakchi li dakhla f'ln ykon kbar men zero (strictement positif).
7el l'inéquation $f(x) > 0$.

💡 À retenir : $\ln(u(x))$ est défini si et seulement si $u(x) > 0$.

Chno hiya l'relation bin ln w exp ?

Homa des fonctions réciproques.
$\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
$e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$ .

💡 À retenir : L'exponentielle "annule" le logarithme et vice-versa.

Homa des fonctions réciproques.
$\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
$e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$.

💡 À retenir : L'exponentielle "annule" le logarithme et vice-versa.

Kifach n3ref wach l'fonction tzaidya aw tnaqsiya ?

7seb l'dérivée $f'(x)$ .
Chouf l'signe dial $f'(x)$ .
Ila kan $f'(x) > 0$ , l'fonction tzaidya. Ila kan $f'(x) < 0$ , l'fonction tnaqsiya.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

7seb l'dérivée $f'(x)$.
Chouf l'signe dial $f'(x)$.
Ila kan $f'(x) > 0$, l'fonction tzaidya. Ila kan $f'(x) < 0$, l'fonction tnaqsiya.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Comment lever une indétermination du type infty / infty avec e^x ?

Utilise les croissances comparées : $e^x$ l'emporte toujours sur les puissances de $x$ quand $x \to +\infty$ .

💡 À retenir : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ .

Utilise les croissances comparées : $e^x$ l'emporte toujours sur les puissances de $x$ quand $x \to +\infty$.

💡 À retenir : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) ?

Attention, c'est vrai seulement si $x > 0$ . Si $x$ peut être négatif, $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : La valeur absolue est nécessaire pour les puissances paires.

Attention, c'est vrai seulement si $x > 0$. Si $x$ peut être négatif, $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : La valeur absolue est nécessaire pour les puissances paires.

Quelle est la primitive de e^{ax+b} ?

La primitive est $\frac{1}{a} e^{ax+b} + C$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de diviser par le coefficient devant $x$ .

La primitive est $\frac{1}{a} e^{ax+b} + C$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de diviser par le coefficient devant $x$.

Comment calculer lim{x to 0} frac{ln(1+x)}{x} ?

C'est une limite usuelle égale à 1.

💡 À retenir : C'est le taux d'accroissement de $\ln$ en 1.

C'est une limite usuelle égale à 1.

💡 À retenir : C'est le taux d'accroissement de $\ln$ en 1.

Est-ce que e^x peut être égal à 0 ?

Non, $e^x$ est toujours strictement positif pour tout $x$ réel.

💡 À retenir : $e^x > 0$ toujours.

Non, $e^x$ est toujours strictement positif pour tout $x$ réel.

💡 À retenir : $e^x > 0$ toujours.

Comment simplifier e^{2ln(3)} ?

Utilise la propriété $n\ln(a) = \ln(a^n)$ .
Donc $e^{2\ln(3)} = e^{\ln(3^2)} = e^{\ln(9)} = 9$ .

💡 À retenir : Faire entrer le coefficient dans le logarithme avant de simplifier avec l'exponentielle.

Utilise la propriété $n\ln(a) = \ln(a^n)$.
Donc $e^{2\ln(3)} = e^{\ln(3^2)} = e^{\ln(9)} = 9$.

💡 À retenir : Faire entrer le coefficient dans le logarithme avant de simplifier avec l'exponentielle.

Quelle est la dérivée de e^{u(x)} ?

La formule est $(e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}$ .

💡 À retenir : On multiplie par la dérivée de l'exposant.

La formule est $(e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}$.

💡 À retenir : On multiplie par la dérivée de l'exposant.

Pourquoi ln(0) n'existe pas ?

Parce que la fonction $\ln$ est définie sur $]0, +\infty[$ . En 0, elle tend vers $-\infty$ .

💡 À retenir : La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ .

Parce que la fonction $\ln$ est définie sur $]0, +\infty[$. En 0, elle tend vers $-\infty$.

💡 À retenir : La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^x$ .

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^x$.

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x+1) = 2$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x+1) = 2$.

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Exercice 3

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2)$ .

Exercice 3

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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