Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Sage-femme

Probabilités et dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cardinal : Le nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$ , noté $Card(E)$ .
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $p$ éléments parmi $n$ : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
Permutations : Nombre d'ordres possibles de $n$ éléments : $P_n = n!$ .
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .
Probabilité : Si l'univers $\Omega$ est fini et les issues équiprobables, $P(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$ .
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Méthodes à maîtriser

Choisir l'outil : Avec ordre = Arrangement ; Sans ordre = Combinaison.
Tirages :
- Successifs avec remise : $n^p$ .
- Successifs sans remise : $A_n^p$ .
- Simultanés : $C_n^p$ .
Événement contraire : Utiliser $1 - P(\bar{A})$ quand l'énoncé contient "au moins un".

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 2 jetons parmi 5 simultanément. $Card(\Omega) = C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ .
Exemple 2 : Probabilité d'avoir au moins un succès. $P(A) = 1 - P(\text{aucun succès})$ .

Erreurs fréquentes

Confondre "avec remise" et "sans remise".
Oublier que $C_n^0 = 1$ et $C_n^n = 1$ .
Appliquer $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ alors que les événements ne sont pas incompatibles.

L'essentiel du cours

Cardinal : Le nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$, noté $Card(E)$.
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $p$ éléments parmi $n$ : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Permutations : Nombre d'ordres possibles de $n$ éléments : $P_n = n!$.
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.
Probabilité : Si l'univers $\Omega$ est fini et les issues équiprobables, $P(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$.
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Méthodes à maîtriser

Choisir l'outil : Avec ordre = Arrangement ; Sans ordre = Combinaison.
Tirages :
- Successifs avec remise : $n^p$.
- Successifs sans remise : $A_n^p$.
- Simultanés : $C_n^p$.
Événement contraire : Utiliser $1 - P(\bar{A})$ quand l'énoncé contient "au moins un".

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 2 jetons parmi 5 simultanément. $Card(\Omega) = C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
Exemple 2 : Probabilité d'avoir au moins un succès. $P(A) = 1 - P(\text{aucun succès})$.

Erreurs fréquentes

Confondre "avec remise" et "sans remise".
Oublier que $C_n^0 = 1$ et $C_n^n = 1$.
Appliquer $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ alors que les événements ne sont pas incompatibles.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Probabilités et dénombrement

1/4

Le nombre de façons de choisir 2 élèves parmi 10 est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre arrangement et combinaison ?

Dans l'arrangement, l'ordre compte (ex: un podium 1er, 2ème, 3ème).
Dans la combinaison, l'ordre ne compte pas (ex: choisir une équipe de 3 personnes).

💡 À retenir : Ordre = Arrangement, Groupe = Combinaison.

Kifach n3ref wach nkhdem b Cn^p wla An^p f l'examen ?

Chof l'enoncé : ila galik "simultanément" (f d9i9a whda) = $C_n^p$ .
Ila galik "successivement sans remise" = $A_n^p$ .
Ila galik "successivement avec remise" = $n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison, Successif = Arrangement ou puissance.

Chof l'enoncé : ila galik "simultanément" (f d9i9a whda) = $C_n^p$.
Ila galik "successivement sans remise" = $A_n^p$.
Ila galik "successivement avec remise" = $n^p$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison, Successif = Arrangement ou puissance.

Chno hiya n! (factorielle) ?

C'est le produit des entiers de 1 jusqu'à $n$ . Par exemple : $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ .

💡 À retenir : $0! = 1$ par convention.

C'est le produit des entiers de 1 jusqu'à $n$. Par exemple : $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

💡 À retenir : $0! = 1$ par convention.

Wach momkin P(A) tkon kbar mn 1 ?

Non, la probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1.

💡 À retenir : Si tu trouves un résultat $> 1$ , vérifie ton calcul de $Card(A)$ ou $Card(\Omega)$ .

Non, la probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1.

💡 À retenir : Si tu trouves un résultat $> 1$, vérifie ton calcul de $Card(A)$ ou $Card(\Omega)$.

Comment calculer la probabilité de "au moins un" ?

Identifie l'événement contraire : "aucun".
Calcule $P(\text{aucun})$ .
Fais $1 - P(\text{aucun})$ .

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$ .

Identifie l'événement contraire : "aucun".
Calcule $P(\text{aucun})$.
Fais $1 - P(\text{aucun})$.

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$.

Kifach n7seb l'intersection P(A cap B) ?

Si les événements sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
Sinon, utilise le dénombrement : $Card(A \cap B) / Card(\Omega)$ .

💡 À retenir : L'intersection signifie que A ET B se réalisent en même temps.

Si les événements sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Sinon, utilise le dénombrement : $Card(A \cap B) / Card(\Omega)$.

💡 À retenir : L'intersection signifie que A ET B se réalisent en même temps.

Est-ce que l'ordre des jetons tirés change le résultat si on tire simultanément ?

Non, car le tirage simultané est par définition un ensemble sans ordre.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison = Pas d'ordre.

C'est quoi un univers Omega ?

C'est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

💡 À retenir : $Card(\Omega)$ est toujours le dénominateur de ta fraction de probabilité.

C'est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

💡 À retenir : $Card(\Omega)$ est toujours le dénominateur de ta fraction de probabilité.

Wach Cn^p hiya Cn^{n-p} ?

Oui, c'est une propriété fondamentale : choisir $p$ éléments à garder revient à choisir $n-p$ éléments à écarter.

💡 À retenir : $C_5^2 = C_5^3 = 10$ .

Oui, c'est une propriété fondamentale : choisir $p$ éléments à garder revient à choisir $n-p$ éléments à écarter.

💡 À retenir : $C_5^2 = C_5^3 = 10$.

Pourquoi on utilise le dénombrement dans les probabilités ?

Parce que dans le cas d'équiprobabilité, la probabilité est le rapport des cas favorables sur les cas possibles.

💡 À retenir : Probabilité = (Nombre de cas favorables) / (Nombre de cas possibles).

Est-ce que la somme des probabilités de tous les événements est toujours 1 ?

Oui, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l'univers est égale à 1.

💡 À retenir : $P(\Omega) = 1$ .

Oui, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l'univers est égale à 1.

💡 À retenir : $P(\Omega) = 1$.

Comment savoir si deux événements sont incompatibles ?

Ils sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ , donc $P(A \cap B) = 0$ .

💡 À retenir : Incompatible = ils ne peuvent pas arriver ensemble.

Ils sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$.

💡 À retenir : Incompatible = ils ne peuvent pas arriver ensemble.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 rouges et 3 blanches. On tire simultanément 3 boules.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir 3 boules rouges.

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Exercice 2

On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère l'événement A : "obtenir un nombre pair".

Déterminer $Card(\Omega)$ et $Card(A)$ .
Calculer $P(A)$ .

Exercice 2

On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère l'événement A : "obtenir un nombre pair".

Déterminer $Card(\Omega)$ et $Card(A)$.
Calculer $P(A)$.

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Exercice 3

Une boîte contient 10 médicaments dont 2 sont périmés. On en choisit 2 au hasard. Calculer la probabilité d'avoir au moins un médicament périmé.

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