Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Sage-femme

Calcul intégral et primitives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .
Théorème : Si $F$ est une primitive de $f$ , alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + c$ , où $c \in \mathbb{R}$ .
Intégrale : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ .
Propriétés : Linéarité ( $\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g$ ) et relation de Chasles ( $\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$ ).

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles ( $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\frac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ ).
Intégration par parties : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx$ . Choisir $u$ selon la règle "LI" (Logarithme, puis Polynôme).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ en u.a.

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ : $F(x) = x^3 + x^2 + c$ .
Calcul de $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche de l'ensemble des primitives.
Inverser les bornes $a$ et $b$ dans le calcul de l'intégrale.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $\ln(x)$ n'est pas $1/x$ ).

L'essentiel du cours

Définition : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Théorème : Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + c$, où $c \in \mathbb{R}$.
Intégrale : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$.
Propriétés : Linéarité ($\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g$) et relation de Chasles ($\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$).

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles ($x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$, $\frac{1}{x} \to \ln|x|$, $e^x \to e^x$).
Intégration par parties : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]{a}^{b} - \int{a}^{b} u'(x)v(x) dx$. Choisir $u$ selon la règle "LI" (Logarithme, puis Polynôme).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ en u.a.

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ : $F(x) = x^3 + x^2 + c$.
Calcul de $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche de l'ensemble des primitives.
Inverser les bornes $a$ et $b$ dans le calcul de l'intégrale.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $\ln(x)$ n'est pas $1/x$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral et primitives

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La primitive de $f(x) = 4x^3$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l-integral ila kan 3ndi jouj d-dawal mderbin f-b3dhom?

Vérifie si tu peux utiliser l'intégration par parties.
Pose $u(x)$ et $v'(x)$ en choisissant $u(x)$ comme la fonction qui devient plus simple après dérivation (souvent $\ln(x)$ ).
Applique la formule : $[u(x)v(x)] - \int u'(x)v(x)dx$ .

💡 À retenir : L'intégration par parties est l'outil principal pour les produits de fonctions.

Vérifie si tu peux utiliser l'intégration par parties.
Pose $u(x)$ et $v'(x)$ en choisissant $u(x)$ comme la fonction qui devient plus simple après dérivation (souvent $\ln(x)$).
Applique la formule : $[u(x)v(x)] - \int u'(x)v(x)dx$.

💡 À retenir : L'intégration par parties est l'outil principal pour les produits de fonctions.

Chno hiya l-farq bin primitive o integral?

La primitive est une fonction $F(x)$ telle que $F'(x) = f(x)$ . C'est une famille de fonctions.
L'intégrale est un nombre réel qui représente une valeur calculée entre deux bornes $a$ et $b$ .

💡 À retenir : La primitive est l'outil, l'intégrale est le résultat numérique.

La primitive est une fonction $F(x)$ telle que $F'(x) = f(x)$. C'est une famille de fonctions.
L'intégrale est un nombre réel qui représente une valeur calculée entre deux bornes $a$ et $b$.

💡 À retenir : La primitive est l'outil, l'intégrale est le résultat numérique.

Kifach n3ref wach l-misa7a li 7sebte s7i7a?

Vérifie le signe de ta fonction sur l'intervalle $[a, b]$ .
Si $f(x) \geq 0$ , l'aire est $\int_{a}^{b} f(x) dx$ .
Si $f(x) \leq 0$ , l'aire est $-\int_{a}^{b} f(x) dx$ .

💡 À retenir : Une aire est toujours positive ou nulle.

Vérifie le signe de ta fonction sur l'intervalle $[a, b]$.
Si $f(x) \geq 0$, l'aire est $\int_{a}^{b} f(x) dx$.
Si $f(x) \leq 0$, l'aire est $-\int_{a}^{b} f(x) dx$.

💡 À retenir : Une aire est toujours positive ou nulle.

Quelle est la primitive de f(x) = e^{2x} ?

On cherche une fonction dont la dérivée est $e^{2x}$ .
On sait que la dérivée de $e^{ax}$ est $a e^{ax}$ .
Donc la primitive est $\frac{1}{2} e^{2x} + c$ .

💡 À retenir : Pour $e^{ax}$ , la primitive est $\frac{1}{a} e^{ax}$ .

On cherche une fonction dont la dérivée est $e^{2x}$.
On sait que la dérivée de $e^{ax}$ est $a e^{ax}$.
Donc la primitive est $\frac{1}{2} e^{2x} + c$.

💡 À retenir : Pour $e^{ax}$, la primitive est $\frac{1}{a} e^{ax}$.

Comment calculer int{0}^{1} (2x+1) dx ?

Trouver la primitive de $2x+1$ , qui est $x^2 + x$ .
Calculer la valeur en 1 : $1^2 + 1 = 2$ .
Calculer la valeur en 0 : $0^2 + 0 = 0$ .
Faire la différence : $2 - 0 = 2$ .

💡 À retenir : Applique toujours $F(b) - F(a)$ .

Trouver la primitive de $2x+1$, qui est $x^2 + x$.
Calculer la valeur en 1 : $1^2 + 1 = 2$.
Calculer la valeur en 0 : $0^2 + 0 = 0$.
Faire la différence : $2 - 0 = 2$.

💡 À retenir : Applique toujours $F(b) - F(a)$.

Est-ce que int{a}^{b} f(x) dx = int{b}^{a} f(x) dx ?

Non, il y a un changement de signe.
$\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$ .

💡 À retenir : Inverser les bornes change le signe de l'intégrale.

Non, il y a un changement de signe.
$\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$.

💡 À retenir : Inverser les bornes change le signe de l'intégrale.

Comment intégrer une fonction constante k ?

La primitive de $k$ est $kx$ .
Donc $\int_{a}^{b} k dx = [kx]_{a}^{b} = k(b-a)$ .

💡 À retenir : L'intégrale d'une constante est la constante multipliée par la longueur de l'intervalle.

La primitive de $k$ est $kx$.
Donc $\int_{a}^{b} k dx = [kx]_{a}^{b} = k(b-a)$.

💡 À retenir : L'intégrale d'une constante est la constante multipliée par la longueur de l'intervalle.

Peut-on calculer l'intégrale d'une fonction non continue ?

Le programme se limite aux fonctions continues sur l'intervalle $[a, b]$ .
Si la fonction n'est pas continue, le calcul de l'intégrale n'est pas défini selon les méthodes usuelles du Bac.

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire pour l'existence de la primitive.

Le programme se limite aux fonctions continues sur l'intervalle $[a, b]$.
Si la fonction n'est pas continue, le calcul de l'intégrale n'est pas défini selon les méthodes usuelles du Bac.

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire pour l'existence de la primitive.

Est-ce que int f(x) cdot g(x) dx = int f(x) dx cdot int g(x) dx ?

Non, c'est une erreur classique.
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées, donc l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

💡 À retenir : Il n'y a pas de formule directe pour l'intégrale d'un produit.

Comment choisir u(x) dans l'intégration par parties ?

Utilise l'ordre de priorité : Logarithme, puis Polynôme, puis Exponentielle.
Si tu as $x \ln(x)$ , choisis $u(x) = \ln(x)$ .

💡 À retenir : Le choix de $u$ doit simplifier la fonction après dérivation.

Utilise l'ordre de priorité : Logarithme, puis Polynôme, puis Exponentielle.
Si tu as $x \ln(x)$, choisis $u(x) = \ln(x)$.

💡 À retenir : Le choix de $u$ doit simplifier la fonction après dérivation.

Quelle est la primitive de 1/x ?

La primitive de $1/x$ sur $]0, +\infty[$ est $\ln(x)$ .
Sur $]-\infty, 0[$ , c'est $\ln(-x)$ .
En général, on écrit $\ln|x| + c$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais la valeur absolue.

La primitive de $1/x$ sur $]0, +\infty[$ est $\ln(x)$.
Sur $]-\infty, 0[$, c'est $\ln(-x)$.
En général, on écrit $\ln|x| + c$.

💡 À retenir : N'oublie jamais la valeur absolue.

Pourquoi on ajoute c à la fin ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle.
Si $F'(x) = f(x)$ , alors $(F(x) + c)' = f(x) + 0 = f(x)$ .

💡 À retenir : Il existe une infinité de primitives, d'où la constante $c$ .

Parce que la dérivée d'une constante est nulle.
Si $F'(x) = f(x)$, alors $(F(x) + c)' = f(x) + 0 = f(x)$.

💡 À retenir : Il existe une infinité de primitives, d'où la constante $c$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer en utilisant l'intégration par parties : $J = \int_{1}^{e} x \ln(x) dx$ .

Exercice 2

Calculer en utilisant l'intégration par parties : $J = \int_{1}^{e} x \ln(x) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe de $f(x) = e^x$ , l'axe des abscisses, et les droites $x=0$ et $x=1$ .

Exercice 3

Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe de $f(x) = e^x$, l'axe des abscisses, et les droites $x=0$ et $x=1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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