Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de la Charia

دراسة الدوال العددية للسنة الثانية باكالوريا

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour étudier une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ , on suit les étapes suivantes :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Limites aux bornes : Calculer les limites aux bornes de $D_f$ pour déterminer les asymptotes (horizontales, verticales ou obliques).
Dérivabilité et dérivée : Calculer $f'(x)$ pour étudier les variations.
Tableau de variations : Déterminer le signe de $f'(x)$ $f^{'} (x)$ :
- Si $f'(x) > 0$ , $f$ est strictement croissante.
- Si $f'(x) < 0$ , $f$ est strictement décroissante.
Représentation graphique : Tracer les asymptotes, les points particuliers (intersection avec les axes) et la courbe $\mathcal{C}_f$ .

Méthodes à maîtriser

Étude du signe de $f'(x)$ : Factoriser $f'(x)$ pour résoudre l'inéquation $f'(x) \geq 0$ .
Recherche des asymptotes :
- Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ , alors $x=a$ est une asymptote verticale.
- Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$ , alors $y=b$ est une asymptote horizontale.
Intersection avec les axes :
- Avec $(Ox)$ : résoudre $f(x) = 0$ .
- Avec $(Oy)$ : calculer $f(0)$ .

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

$D_f = \mathbb{R}$ .
$f'(x) = 2x - 4$ .
$f'(x) = 0 \iff x = 2$ .
$f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$ .
Ne pas conclure sur la nature des asymptotes après le calcul des limites.

L'essentiel du cours

Pour étudier une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, on suit les étapes suivantes :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Limites aux bornes : Calculer les limites aux bornes de $D_f$ pour déterminer les asymptotes (horizontales, verticales ou obliques).
Dérivabilité et dérivée : Calculer $f'(x)$ pour étudier les variations.
Tableau de variations : Déterminer le signe de $f'(x)$ :
- Si $f'(x) > 0$, $f$ est strictement croissante.
- Si $f'(x) < 0$, $f$ est strictement décroissante.
Représentation graphique : Tracer les asymptotes, les points particuliers (intersection avec les axes) et la courbe $\mathcal{C}_f$.

Méthodes à maîtriser

Étude du signe de $f'(x)$ : Factoriser $f'(x)$ pour résoudre l'inéquation $f'(x) \geq 0$.
Recherche des asymptotes :
- Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, alors $x=a$ est une asymptote verticale.
- Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$, alors $y=b$ est une asymptote horizontale.
Intersection avec les axes :
- Avec $(Ox)$ : résoudre $f(x) = 0$.
- Avec $(Oy)$ : calculer $f(0)$.

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

$D_f = \mathbb{R}$.
$f'(x) = 2x - 4$.
$f'(x) = 0 \iff x = 2$.
$f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$.
Ne pas conclure sur la nature des asymptotes après le calcul des limites.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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La dérivée de $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si la courbe admet une asymptote horizontale ?

Pour savoir si la courbe admet une asymptote horizontale :

Calcule la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ .
Si le résultat est un nombre réel $L$ (c'est-à-dire $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ ), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe.

💡 À retenir : Une limite infinie à l'infini ne donne pas d'asymptote horizontale.

Pour savoir si la courbe admet une asymptote horizontale :

Calcule la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.
Si le résultat est un nombre réel $L$ (c'est-à-dire $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe.

💡 À retenir : Une limite infinie à l'infini ne donne pas d'asymptote horizontale.

kifach n3ref wach l'intervalle li 3tani fih l'fonction m7dod ola la?

Pour savoir si l'intervalle est limité :

Regarde les bornes de l'intervalle.
Si les bornes sont des nombres réels (ex: $[1, 5]$ ), l'intervalle est borné.
Si une des bornes est $+\infty$ ou $-\infty$ (ex: $]0, +\infty[$ ), l'intervalle n'est pas borné.

💡 À retenir : On étudie les limites uniquement aux bornes infinies ou aux points où la fonction n'est pas définie.

Pour savoir si l'intervalle est limité :

Regarde les bornes de l'intervalle.
Si les bornes sont des nombres réels (ex: $[1, 5]$), l'intervalle est borné.
Si une des bornes est $+\infty$ ou $-\infty$ (ex: $]0, +\infty[$), l'intervalle n'est pas borné.

💡 À retenir : On étudie les limites uniquement aux bornes infinies ou aux points où la fonction n'est pas définie.

Est-ce que je dois toujours calculer la dérivée seconde f''(x) ?

Non, dans le programme de la filière Sciences de la Charia, l'étude de la dérivée seconde $f''(x)$ (pour la concavité ou les points d'inflexion) n'est pas systématiquement exigée. Concentre-toi sur la dérivée première $f'(x)$ pour établir le tableau de variations.

💡 À retenir : La dérivée première suffit pour dresser le tableau de variations complet.

chhal khassni n7seb dyal les points bach nrssem l'man7na mezian?

Pour tracer une courbe proprement :

Place les points d'intersection avec les axes $(Ox)$ et $(Oy)$ .
Place le sommet de la parabole (si c'est une fonction polynôme du second degré).
Ajoute 2 ou 3 points supplémentaires en calculant $f(x)$ pour des valeurs simples de $x$ proches du sommet ou des bornes.

💡 À retenir : Plus tu as de points, plus ton tracé sera précis.

Pour tracer une courbe proprement :

Place les points d'intersection avec les axes $(Ox)$ et $(Oy)$.
Place le sommet de la parabole (si c'est une fonction polynôme du second degré).
Ajoute 2 ou 3 points supplémentaires en calculant $f(x)$ pour des valeurs simples de $x$ proches du sommet ou des bornes.

💡 À retenir : Plus tu as de points, plus ton tracé sera précis.

Comment interpréter graphiquement f'(a) = 0 ?

Si $f'(a) = 0$ , cela signifie que la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ est horizontale. Graphiquement, cela correspond souvent à un extremum (un sommet ou un creux) de la courbe.

💡 À retenir : Une dérivée nulle indique une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

Si $f'(a) = 0$, cela signifie que la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ est horizontale. Graphiquement, cela correspond souvent à un extremum (un sommet ou un creux) de la courbe.

💡 À retenir : Une dérivée nulle indique une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

wach darouri nktb domaine de définition f l'examen?

Oui, c'est indispensable. C'est la première étape de toute étude de fonction. Sans le domaine de définition, tu ne sais pas où calculer les limites ni où la fonction est dérivable.

💡 À retenir : Toujours commencer par $D_f$ pour éviter de perdre des points bêtement.

Oui, c'est indispensable. C'est la première étape de toute étude de fonction. Sans le domaine de définition, tu ne sais pas où calculer les limites ni où la fonction est dérivable.

💡 À retenir : Toujours commencer par $D_f$ pour éviter de perdre des points bêtement.

kifach n3ref wach l'fonction tzaidya ola tnaqsya?

Pour connaître le sens de variation :

Calcule la dérivée $f'(x)$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ .
Si $f'(x) > 0$ , la fonction est croissante (tzaidya).
Si $f'(x) < 0$ , la fonction est décroissante (tnaqsya).

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.

Pour connaître le sens de variation :

Calcule la dérivée $f'(x)$.
Étudie le signe de $f'(x)$.
Si $f'(x) > 0$, la fonction est croissante (tzaidya).
Si $f'(x) < 0$, la fonction est décroissante (tnaqsya).

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.

Que faire si la limite en un point a donne frac{0}{0} ?

C'est une forme indéterminée. Tu dois :

Factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$ .
Simplifier par $(x-a)$ .
Recalculer la limite.

💡 À retenir : La simplification permet de lever l'indétermination.

C'est une forme indéterminée. Tu dois :

Factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$.
Simplifier par $(x-a)$.
Recalculer la limite.

💡 À retenir : La simplification permet de lever l'indétermination.

Est-ce que l'asymptote verticale est toujours une droite x=a ?

Oui, une asymptote verticale est toujours de la forme $x = a$ , où $a$ est une valeur interdite du domaine de définition. Elle apparaît quand $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ .

💡 À retenir : L'asymptote verticale est liée aux valeurs où la fonction "explose".

Oui, une asymptote verticale est toujours de la forme $x = a$, où $a$ est une valeur interdite du domaine de définition. Elle apparaît quand $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.

💡 À retenir : L'asymptote verticale est liée aux valeurs où la fonction "explose".

Comment savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'asymptote ?

Il faut étudier le signe de la différence $f(x) - y_{asymptote}$ :

Si $f(x) - y > 0$ , la courbe est au-dessus.
Si $f(x) - y < 0$ , la courbe est en dessous.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.

Il faut étudier le signe de la différence $f(x) - y_{asymptote}$ :

Si $f(x) - y > 0$, la courbe est au-dessus.
Si $f(x) - y < 0$, la courbe est en dessous.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour le tableau de variations ?

Tu peux l'utiliser pour vérifier tes calculs, mais tu dois impérativement rédiger les étapes (calcul de la dérivée, résolution de l'équation $f'(x)=0$ , tableau de signes) sur ta copie.

💡 À retenir : Seule la méthode justifiée rapporte des points.

Tu peux l'utiliser pour vérifier tes calculs, mais tu dois impérativement rédiger les étapes (calcul de la dérivée, résolution de l'équation $f'(x)=0$, tableau de signes) sur ta copie.

💡 À retenir : Seule la méthode justifiée rapporte des points.

Est-ce que toutes les fonctions ont des asymptotes ?

Non, les fonctions polynômes (comme $f(x) = x^2 + 2x$ ) n'ont jamais d'asymptotes car leurs limites à l'infini sont toujours infinies. Les asymptotes apparaissent surtout avec les fonctions rationnelles ou les fonctions avec des bornes finies exclues.

💡 À retenir : L'existence d'une asymptote dépend du comportement de la fonction aux bornes.

Non, les fonctions polynômes (comme $f(x) = x^2 + 2x$) n'ont jamais d'asymptotes car leurs limites à l'infini sont toujours infinies. Les asymptotes apparaissent surtout avec les fonctions rationnelles ou les fonctions avec des bornes finies exclues.