الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية

Une fonction est dérivable en un point $a$ si la limite du taux de variation $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est un nombre réel fini.

1. Calcule la limite quand $x$ tend vers $a$.
2. Si tu obtiens un nombre (ex: 3), alors $f'(a)=3$.

💡 À retenir : La dérivabilité signifie graphiquement que la courbe admet une tangente non verticale au point $a$.

Pour trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$, suis ces étapes :

1. Calcule l'image du point : $f(a)$.
2. Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace par $a$ pour trouver $f'(a)$.
3. Applique la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
4. Développe pour obtenir la forme $y = mx + p$.

💡 À retenir : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente.

Oui, absolument. Si $f(x) = k$ (où $k$ est un nombre réel comme 5, -2 ou $\pi$), alors sa dérivée est toujours 0.

1. Une constante ne varie pas.
2. Comme la dérivée mesure le taux de variation, si rien ne change, la dérivée est nulle.

💡 À retenir : $(k)' = 0$ pour tout réel $k$.

L'étude du signe de $f'(x)$ est indispensable pour connaître le sens de variation de la fonction :

1. Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, la fonction est croissante.
2. Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, la fonction est décroissante.
3. Cela permet de dresser le tableau de variations complet.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne la direction de la courbe.

C'est une formule de base du cours :

1. Identifie la fonction : $f(x) = \frac{1}{x}$.
2. Applique la formule : $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
3. N'oublie pas que cette fonction est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $]-\infty, 0[$.

💡 À retenir : La dérivée de l'inverse est toujours négative sur son domaine.

Regarde le changement de signe de $f'(x)$ dans le tableau de variations :

1. Si $f'(x)$ passe de $+$ à $-$, la fonction monte puis descend : c'est un maximum.
2. Si $f'(x)$ passe de $-$ à $+$, la fonction descend puis monte : c'est un minimum.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée avant et après le point critique détermine la nature de l'extremum.

Non, la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0.

1. Si tu calcules la limite $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
2. Quand $x \to 0^+$, cette limite tend vers $+\infty$.

💡 À retenir : La courbe de $\sqrt{x}$ admet une tangente verticale en 0, donc elle n'est pas dérivable.

On dérive chaque terme séparément :

1. La dérivée de $3x^2$ est $3 \times 2x = 6x$.
2. La dérivée de $5x$ est $5$.
3. La dérivée de $-2$ est $0$.
4. Donc $f'(x) = 6x + 5$.

💡 À retenir : La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

Oui, c'est la formule générale pour le produit de deux fonctions dérivables.

1. Identifie $u(x)$ et $v(x)$.
2. Calcule leurs dérivées $u'(x)$ et $v'(x)$.
3. Applique la formule $u'v + uv'$.

💡 À retenir : Ne confonds pas avec $(u \times v)' = u' \times v'$, ce qui est une erreur grave !

Si $f'(x)$ s'annule en $a$ mais garde le même signe autour de $a$ (par exemple toujours positif), alors la fonction continue de croître.

1. Il n'y a pas d'extremum dans ce cas.
2. On appelle cela un point d'inflexion à tangente horizontale.

💡 À retenir : Un extremum nécessite obligatoirement un changement de signe de la dérivée.

Pas forcément.

1. Exemple : $f(x) = \sqrt{x}$ est définie sur $[0, +\infty[$ mais dérivable seulement sur $]0, +\infty[$.
2. Il faut toujours vérifier les points où la fonction n'est pas "lisse" (points anguleux ou tangentes verticales).

💡 À retenir : Le domaine de dérivabilité est toujours inclus dans le domaine de définition.

Oui, c'est fortement conseillé pour étudier le signe de $f'(x)$ plus facilement.

1. Factorise l'expression si possible.
2. Réduis au même dénominateur si c'est une fraction.
3. Une expression factorisée est beaucoup plus simple à étudier pour le signe.

💡 À retenir : Une dérivée simplifiée est la clé d'une étude de fonction réussie.