Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de la Charia

دالة اللوغاريتم النبيري

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la primitive de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ s'annulant en $1$ .

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ $a, b \in] 0, + \infty [$ :
- $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln(a^r) = r \ln(a)$ (avec $r \in \mathbb{Q}$ )
- $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
- $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$
Valeurs remarquables : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ .
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
- $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
Dérivée : La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ . Pour une fonction $u(x) > 0$ , $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre une équation : Pour $\ln(A) = \ln(B)$ , on pose $A=B$ sous condition $A>0$ et $B>0$ .
Résoudre une inéquation : Pour $\ln(A) \leq \ln(B)$ , on résout $A \leq B$ avec $A>0$ et $B>0$ .
Étude de signe : $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$ .
Calcul de dérivée : Identifier $u(x)$ dans $\ln(u(x))$ puis appliquer $\frac{u'}{u}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $\ln(x) = 2$ . On a $\ln(x) = 2 \iff x = e^2$ . L'ensemble des solutions est $S = \{e^2\}$ .
Exemple 2 : Dériver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ . $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition : $\ln(x)$ n'existe que si $x > 0$ .
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (ce qui est faux).
Oublier la condition $u(x) > 0$ lors de la résolution d'équations.

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la primitive de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ s'annulant en $1$.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ :
- $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln(a^r) = r \ln(a)$ (avec $r \in \mathbb{Q}$)
- $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
- $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$
Valeurs remarquables : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
- $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
Dérivée : La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$. Pour une fonction $u(x) > 0$, $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre une équation : Pour $\ln(A) = \ln(B)$, on pose $A=B$ sous condition $A>0$ et $B>0$.
Résoudre une inéquation : Pour $\ln(A) \leq \ln(B)$, on résout $A \leq B$ avec $A>0$ et $B>0$.
Étude de signe : $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$.
Calcul de dérivée : Identifier $u(x)$ dans $\ln(u(x))$ puis appliquer $\frac{u'}{u}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $\ln(x) = 2$. On a $\ln(x) = 2 \iff x = e^2$. L'ensemble des solutions est $S = {e^2}$.
Exemple 2 : Dériver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition : $\ln(x)$ n'existe que si $x > 0$.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (ce qui est faux).
Oublier la condition $u(x) > 0$ lors de la résolution d'équations.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 دالة اللوغاريتم النبيري

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x) = \ln(x-5)$ ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi ln(x) est négatif entre 0 et 1 ?

$\ln(1) = 0$ .
Pour $x \in ]0, 1[$ , la fonction est croissante, donc ses valeurs sont inférieures à $\ln(1)$ .
Donc $\ln(x) < 0$ sur $]0, 1[$ .

💡 À retenir : Le signe de $\ln(x)$ change en $x=1$ .

$\ln(1) = 0$.
Pour $x \in ]0, 1[$, la fonction est croissante, donc ses valeurs sont inférieures à $\ln(1)$.
Donc $\ln(x) < 0$ sur $]0, 1[$.

💡 À retenir : Le signe de $\ln(x)$ change en $x=1$.

Est-ce qu'on peut utiliser ln(a+b) = ln(a) + ln(b) ?

Absolument pas ! C'est une erreur très grave. La somme à l'intérieur du logarithme ne se transforme pas.

💡 À retenir : $\ln(a+b)$ reste $\ln(a+b)$ , il n'y a pas de formule de développement.

Absolument pas ! C'est une erreur très grave. La somme à l'intérieur du logarithme ne se transforme pas.

💡 À retenir : $\ln(a+b)$ reste $\ln(a+b)$, il n'y a pas de formule de développement.

Est-ce que ln(x^2) est toujours égal à 2ln(x) ?

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$ . Si $x < 0$ , $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ est défini, mais $2\ln(x)$ n'existe pas. La formule générale est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ .

💡 À retenir : Vérifiez toujours le domaine de définition avant d'appliquer les propriétés.

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$. Si $x < 0$, $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ est défini, mais $2\ln(x)$ n'existe pas. La formule générale est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

💡 À retenir : Vérifiez toujours le domaine de définition avant d'appliquer les propriétés.

kifach n7seb domaine de définition dyal ln(x^2 - 4) ?

La fonction $\ln(u)$ est définie si $u > 0$ .
Ici, il faut résoudre $x^2 - 4 > 0$ .
On cherche les racines de $x^2 - 4 = 0$ , soit $x=2$ et $x=-2$ .
Le signe est positif à l'extérieur des racines.
Donc $D = ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$ .

💡 À retenir : L'expression à l'intérieur du $\ln$ doit être strictement positive.

La fonction $\ln(u)$ est définie si $u > 0$.
Ici, il faut résoudre $x^2 - 4 > 0$.
On cherche les racines de $x^2 - 4 = 0$, soit $x=2$ et $x=-2$.
Le signe est positif à l'extérieur des racines.
Donc $D = ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$.

💡 À retenir : L'expression à l'intérieur du $\ln$ doit être strictement positive.

Est-ce que ln(0) existe ?

Non, la fonction $\ln$ n'est pas définie en $0$ . La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ car $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ .

💡 À retenir : Le domaine de définition de $\ln$ est $]0, +\infty[$ .

Non, la fonction $\ln$ n'est pas définie en $0$. La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ car $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.

💡 À retenir : Le domaine de définition de $\ln$ est $]0, +\infty[$.

chno hiya l'asymptote dyal ln(x) f 0^+ ?

C'est la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées). Comme $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ , la courbe se rapproche indéfiniment de l'axe des ordonnées sans jamais le toucher.

💡 À retenir : Une limite infinie en un point fini indique une asymptote verticale.

C'est la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées). Comme $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, la courbe se rapproche indéfiniment de l'axe des ordonnées sans jamais le toucher.

💡 À retenir : Une limite infinie en un point fini indique une asymptote verticale.

Comment dériver ln(3x+5) ?

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .
Ici $u(x) = 3x+5$ , donc $u'(x) = 3$ .
Le résultat est $\frac{3}{3x+5}$ .

💡 À retenir : Identifiez bien $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$ avant de remplacer.

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
Ici $u(x) = 3x+5$, donc $u'(x) = 3$.
Le résultat est $\frac{3}{3x+5}$.

💡 À retenir : Identifiez bien $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$ avant de remplacer.

wach ln(1/x) hiya -ln(x) ?

Oui, c'est une propriété fondamentale.

$\ln(1/x) = \ln(1) - \ln(x)$ .
Comme $\ln(1) = 0$ , alors $\ln(1/x) = 0 - \ln(x) = -\ln(x)$ .

💡 À retenir : Cette règle est très utile pour simplifier les calculs de limites.

Oui, c'est une propriété fondamentale.

$\ln(1/x) = \ln(1) - \ln(x)$.
Comme $\ln(1) = 0$, alors $\ln(1/x) = 0 - \ln(x) = -\ln(x)$.

💡 À retenir : Cette règle est très utile pour simplifier les calculs de limites.

kifach n7seb lim{x to +infty} ln(x) - x ?

On peut factoriser par $x$ : $x (\frac{\ln(x)}{x} - 1)$ .
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ .
Donc la limite est $+\infty \times (0 - 1) = -\infty$ .

💡 À retenir : La factorisation par le terme dominant lève souvent l'indétermination.

On peut factoriser par $x$ : $x (\frac{\ln(x)}{x} - 1)$.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
Donc la limite est $+\infty \times (0 - 1) = -\infty$.

💡 À retenir : La factorisation par le terme dominant lève souvent l'indétermination.

Est-ce que la fonction ln est croissante ?

Oui, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ car sa dérivée $f'(x) = 1/x$ est strictement positive pour tout $x > 0$ .

💡 À retenir : Une dérivée positive signifie que la fonction est croissante.

Oui, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ car sa dérivée $f'(x) = 1/x$ est strictement positive pour tout $x > 0$.

💡 À retenir : Une dérivée positive signifie que la fonction est croissante.

Comment résoudre ln(x) < 1 ?

On écrit $1$ sous forme de $\ln(e)$ , donc $\ln(x) < \ln(e)$ .
Comme la fonction $\ln$ est croissante, on a $x < e$ .
Sans oublier la condition $x > 0$ .
Donc $x \in ]0, e[$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier la condition de définition $x > 0$ .

On écrit $1$ sous forme de $\ln(e)$, donc $\ln(x) < \ln(e)$.
Comme la fonction $\ln$ est croissante, on a $x < e$.
Sans oublier la condition $x > 0$.
Donc $x \in ]0, e[$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier la condition de définition $x > 0$.

Est-ce que ln(e^x) = x ?

Oui, pour tout réel $x$ . La fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$ ).

Oui, pour tout réel $x$. La fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x+1) = \ln(2x-3)$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x+1) = \ln(2x-3)$.

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Exercice 2

Calculer la dérivée de $f(x) = x \ln(x) - x$ .

Exercice 2

Calculer la dérivée de $f(x) = x \ln(x) - x$.

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Exercice 3

Étudier le signe de $f(x) = \ln(x) - 1$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 3

Étudier le signe de $f(x) = \ln(x) - 1$ sur $]0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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