Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de la Charia

نهاية متتالية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ a pour limite $L$ (réel) si les termes $u_n$ se rapprochent de $L$ quand $n$ devient très grand. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ .

Limite infinie : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ si les termes deviennent arbitrairement grands.
Suites convergentes : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$ . Sinon, elle est divergente.
Opérations : Les règles sur les limites des sommes, produits et quotients s'appliquent comme pour les fonctions (en faisant attention aux formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ ).
Suites usuelles : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ (pour $k>0$ ) et $\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Remplacer $n$ par $+\infty$ dans les expressions rationnelles (garder les termes de plus haut degré).
Utilisation des suites de référence : Identifier les termes qui tendent vers 0.
Encadrement : Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = L$ , alors $\lim u_n = L$ .
Convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{n \to +\infty} (3 + \frac{2}{n}) = 3 + 0 = 3$ .
Exemple 2 : $\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 5n) = \lim_{n \to +\infty} n^2(1 - \frac{5}{n}) = +\infty \times 1 = +\infty$ .

Erreurs fréquentes

Confondre la limite d'une suite avec celle d'une fonction (bien que les règles soient similaires).
Oublier que $n$ est toujours un entier naturel ( $n \to +\infty$ ).
Croire qu'une suite bornée est forcément convergente (ex: $u_n = (-1)^n$ est bornée mais divergente).

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n){n \geq n_0}$ a pour limite $L$ (réel) si les termes $u_n$ se rapprochent de $L$ quand $n$ devient très grand. On note $\lim{n \to +\infty} u_n = L$.

Limite infinie : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ si les termes deviennent arbitrairement grands.
Suites convergentes : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$. Sinon, elle est divergente.
Opérations : Les règles sur les limites des sommes, produits et quotients s'appliquent comme pour les fonctions (en faisant attention aux formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$).
Suites usuelles : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ (pour $k>0$) et $\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$.

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Remplacer $n$ par $+\infty$ dans les expressions rationnelles (garder les termes de plus haut degré).
Utilisation des suites de référence : Identifier les termes qui tendent vers 0.
Encadrement : Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = L$, alors $\lim u_n = L$.
Convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{n \to +\infty} (3 + \frac{2}{n}) = 3 + 0 = 3$.
Exemple 2 : $\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 5n) = \lim_{n \to +\infty} n^2(1 - \frac{5}{n}) = +\infty \times 1 = +\infty$.

Erreurs fréquentes

Confondre la limite d'une suite avec celle d'une fonction (bien que les règles soient similaires).
Oublier que $n$ est toujours un entier naturel ($n \to +\infty$).
Croire qu'une suite bornée est forcément convergente (ex: $u_n = (-1)^n$ est bornée mais divergente).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 نهاية متتالية

1/4

La limite de $\frac{1}{n^2}$ quand $n \to +\infty$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l-limite kayna wla la ?

Si tu trouves un nombre réel fixe (ex: 5, -2, 0), la suite converge.
Si tu trouves $+\infty$ ou $-\infty$ , la suite diverge vers l'infini.
Si le résultat oscille sans se fixer (comme $(-1)^n$ ), la suite n'a pas de limite.

💡 À retenir : Une suite converge si et seulement si elle possède une limite finie.

Si tu trouves un nombre réel fixe (ex: 5, -2, 0), la suite converge.
Si tu trouves $+\infty$ ou $-\infty$, la suite diverge vers l'infini.
Si le résultat oscille sans se fixer (comme $(-1)^n$), la suite n'a pas de limite.

💡 À retenir : Une suite converge si et seulement si elle possède une limite finie.

Est-ce que je peux utiliser le théorème des gendarmes pour toutes les suites ?

Non, tu ne peux l'utiliser que si tu arrives à encadrer ta suite $u_n$ par deux autres suites $v_n$ et $w_n$ qui convergent vers la même limite $L$ .

💡 À retenir : Le théorème des gendarmes est utile surtout quand il y a des sinus ou des cosinus.

Non, tu ne peux l'utiliser que si tu arrives à encadrer ta suite $u_n$ par deux autres suites $v_n$ et $w_n$ qui convergent vers la même limite $L$.

💡 À retenir : Le théorème des gendarmes est utile surtout quand il y a des sinus ou des cosinus.

Chno hiya l-far9 bin l-mouhaddada (bornée) o l-mouqariba (convergente) ?

Une suite bornée est une suite dont les valeurs ne dépassent pas un certain seuil (ex: $-M \leq u_n \leq M$ ).
Une suite convergente est une suite qui se stabilise vers une valeur précise.
Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse.

💡 À retenir : « Bornée » signifie "coincée", « convergente » signifie "se stabilise".

Une suite bornée est une suite dont les valeurs ne dépassent pas un certain seuil (ex: $-M \leq u_n \leq M$).
Une suite convergente est une suite qui se stabilise vers une valeur précise.
Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse.

💡 À retenir : « Bornée » signifie "coincée", « convergente » signifie "se stabilise".

Comment lever une indétermination du type infty - infty ?

Factorise par le terme de plus haut degré.
Si c'est une expression avec des racines, multiplie par l'expression conjuguée.

💡 À retenir : La factorisation est la méthode la plus courante au bac.

Kifach n7seb limite dyal un = frac{3n^2+1}{n^2+n} ?

Factorise le numérateur et le dénominateur par $n^2$ .
Tu obtiens $\frac{n^2(3 + 1/n^2)}{n^2(1 + 1/n)}$ .
Simplifie par $n^2$ .
Calcule la limite : $\frac{3+0}{1+0} = 3$ .

💡 À retenir : Dans une fraction rationnelle, on garde les termes de plus haut degré.

Factorise le numérateur et le dénominateur par $n^2$.
Tu obtiens $\frac{n^2(3 + 1/n^2)}{n^2(1 + 1/n)}$.
Simplifie par $n^2$.
Calcule la limite : $\frac{3+0}{1+0} = 3$.

💡 À retenir : Dans une fraction rationnelle, on garde les termes de plus haut degré.

Si une suite est croissante, est-ce qu'elle tend toujours vers +infty ?

Non, pas forcément. Si elle est majorée, elle converge vers une limite finie $L$ . Si elle n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$ .

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Non, pas forcément. Si elle est majorée, elle converge vers une limite finie $L$. Si elle n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Est-ce que la limite d'une suite dépend du premier terme u0 ?

Non, la limite concerne le comportement de la suite quand $n$ devient très grand. Le début de la suite ne change pas la limite.

💡 À retenir : La limite est une question de "long terme".

Non, la limite concerne le comportement de la suite quand $n$ devient très grand. Le début de la suite ne change pas la limite.

💡 À retenir : La limite est une question de "long terme".

Comment savoir si une suite est majorée ?

Tu peux essayer de montrer par récurrence que $u_n \leq M$ .
Tu peux étudier le signe de $u_n - M$ .
Si la suite est décroissante, $u_0$ est souvent un majorant.

💡 À retenir : Cherche une valeur que la suite ne dépasse jamais.

Tu peux essayer de montrer par récurrence que $u_n \leq M$.
Tu peux étudier le signe de $u_n - M$.
Si la suite est décroissante, $u_0$ est souvent un majorant.

💡 À retenir : Cherche une valeur que la suite ne dépasse jamais.

Est-ce que la limite de 1/n est 0 ?

Oui, car plus $n$ est grand, plus $1/n$ se rapproche de 0.

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ pour tout $k > 0$ .

Oui, car plus $n$ est grand, plus $1/n$ se rapproche de 0.

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ pour tout $k > 0$.

Est-ce que je dois toujours justifier mes limites ?

Oui, cite toujours la règle utilisée (ex: "car $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ ").

💡 À retenir : Une réponse sans justification ne vaut aucun point.

Oui, cite toujours la règle utilisée (ex: "car $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$").

💡 À retenir : Une réponse sans justification ne vaut aucun point.

Qu'est-ce qu'une suite divergente ?

C'est une suite qui n'a pas de limite finie, soit parce qu'elle tend vers $\pm \infty$ , soit parce qu'elle n'a pas de limite du tout.

💡 À retenir : Divergente = pas de limite finie.

C'est une suite qui n'a pas de limite finie, soit parce qu'elle tend vers $\pm \infty$, soit parce qu'elle n'a pas de limite du tout.

💡 À retenir : Divergente = pas de limite finie.

Est-ce que le programme inclut les suites géométriques ?

Oui, pour les limites, il faut savoir que si $|q| < 1$ , alors $\lim q^n = 0$ . (à vérifier par le professeur selon le manuel spécifique).

💡 À retenir : Si la raison est entre -1 et 1, la suite géométrique tend vers 0.

Oui, pour les limites, il faut savoir que si $|q| < 1$, alors $\lim q^n = 0$. (à vérifier par le professeur selon le manuel spécifique).

💡 À retenir : Si la raison est entre -1 et 1, la suite géométrique tend vers 0.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par 5. Que peut-on dire de sa convergence ?

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par 5. Que peut-on dire de sa convergence ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{n \to +\infty} (4n^2 - 3n + 1)$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+5}{n-1}$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{n \to +\infty} (4n^2 - 3n + 1)$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+5}{n-1}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$ . Montrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ .

Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$. Montrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

المتتالية الترجعية التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية دراسة الدوال العددية للسنة الثانية باكالوريا الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية دالة اللوغاريتم النبيري رالدالة الأسية النبيرية حساب التكامل