Non, la fonction ln n'est pas définie en 0. 1. La courbe de ln(x) possède une asymptote verticale d'équation x=0 (l'axe des ordonnées). 2. Quand x se rapproche de 0 par la droite, ln(x) tend vers -infty. 💡 À retenir : ln(0) n'existe pas, on parle seulement de limite en 0^+.

Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

Fonctions logarithmiques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$ .
Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ et $r \in \mathbb{Q}$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(a^r) = r\ln(a)$ ; $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ .
Limites usuelles : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ ; $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$ ; $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ ( $n>0$ ).
Dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ pour $u(x) > 0$ .

Méthodes à maîtriser

Domaine de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ pour définir $\ln(u(x))$ .
Étude de signe : Utiliser $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$ .
Résolution d'équations/inéquations : Passer par l'équivalence $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A, B > 0$ ).
Croissances comparées : Indispensable pour lever les indéterminations aux bornes du domaine.

Exemples corrigés

Calcul de limite : $\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - x)$ . On factorise par $x$ : $x(\frac{\ln(x)}{x} - 1)$ . Comme $\lim \frac{\ln(x)}{x} = 0$ , la limite est $-\infty$ .
Dérivée : Soit $f(x) = \ln(x^2+1)$ . $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier de préciser le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Oublier la valeur absolue dans la primitive de $1/x$ : $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ .

L'essentiel du cours

Définition : La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$.
Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ et $r \in \mathbb{Q}$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(a^r) = r\ln(a)$ ; $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$.
Limites usuelles : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ ; $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$ ; $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ ($n>0$).
Dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ pour $u(x) > 0$.

Méthodes à maîtriser

Domaine de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ pour définir $\ln(u(x))$.
Étude de signe : Utiliser $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$.
Résolution d'équations/inéquations : Passer par l'équivalence $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A, B > 0$).
Croissances comparées : Indispensable pour lever les indéterminations aux bornes du domaine.

Exemples corrigés

Calcul de limite : $\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - x)$. On factorise par $x$ : $x(\frac{\ln(x)}{x} - 1)$. Comme $\lim \frac{\ln(x)}{x} = 0$, la limite est $-\infty$.
Dérivée : Soit $f(x) = \ln(x^2+1)$. $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier de préciser le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Oublier la valeur absolue dans la primitive de $1/x$ : $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions logarithmiques

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x) = \ln(x^2-1)$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si je dois utiliser ln(a) + ln(b) ou ln(a times b) ?

Regarde ton expression : si tu as un produit à l'intérieur du logarithme, utilise la somme.
Si tu as une somme de deux logarithmes, utilise le produit pour simplifier.
C'est surtout utile pour résoudre des équations : $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ devient $\ln(x(x-1)) = \ln(2)$ .

💡 À retenir : Le logarithme transforme les produits en sommes, c'est sa force principale.

Regarde ton expression : si tu as un produit à l'intérieur du logarithme, utilise la somme.
Si tu as une somme de deux logarithmes, utilise le produit pour simplifier.
C'est surtout utile pour résoudre des équations : $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ devient $\ln(x(x-1)) = \ln(2)$.

💡 À retenir : Le logarithme transforme les produits en sommes, c'est sa force principale.

kifach n7seb domaine de définition dyal ln(x^2-3x+2) ?

Il faut que ce qui est à l'intérieur du $\ln$ soit strictement positif.
Résous l'inéquation $x^2 - 3x + 2 > 0$ .
Cherche les racines du trinôme : $1$ et $2$ .
Le signe est positif à l'extérieur des racines. Donc $D_f = ]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$ .

💡 À retenir : L'argument du $\ln$ doit toujours être $> 0$ .

Il faut que ce qui est à l'intérieur du $\ln$ soit strictement positif.
Résous l'inéquation $x^2 - 3x + 2 > 0$.
Cherche les racines du trinôme : $1$ et $2$.
Le signe est positif à l'extérieur des racines. Donc $D_f = ]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$.

💡 À retenir : L'argument du $\ln$ doit toujours être $> 0$.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) est toujours vrai ?

Non, c'est une erreur classique.

$\ln(x^2)$ est défini pour $x \neq 0$ .
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$ .
La formule correcte est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais la valeur absolue quand tu sors une puissance paire.

Non, c'est une erreur classique.

$\ln(x^2)$ est défini pour $x \neq 0$.
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$.
La formule correcte est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : N'oublie jamais la valeur absolue quand tu sors une puissance paire.

wach ln(0) kayn ?

Non, la fonction $\ln$ n'est pas définie en $0$ .

La courbe de $\ln(x)$ possède une asymptote verticale d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées).
Quand $x$ se rapproche de $0$ par la droite, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ .

💡 À retenir : $\ln(0)$ n'existe pas, on parle seulement de limite en $0^+$ .

Non, la fonction $\ln$ n'est pas définie en $0$.

La courbe de $\ln(x)$ possède une asymptote verticale d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées).
Quand $x$ se rapproche de $0$ par la droite, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$.

💡 À retenir : $\ln(0)$ n'existe pas, on parle seulement de limite en $0^+$.

Comment lever une indétermination avec ln en +infty ?

Si tu as une forme $\frac{\infty}{\infty}$ , utilise les croissances comparées : $\frac{\ln(x)}{x^n} \to 0$ .
Si tu as une forme $\infty - \infty$ , factorise par le terme dominant (souvent $x$ ou $x^n$ ).
Exemple : $\ln(x) - x = x(\frac{\ln(x)}{x} - 1) \to +\infty(0-1) = -\infty$ .

💡 À retenir : Les puissances de $x$ l'emportent toujours sur $\ln(x)$ en $+\infty$ .

Si tu as une forme $\frac{\infty}{\infty}$, utilise les croissances comparées : $\frac{\ln(x)}{x^n} \to 0$.
Si tu as une forme $\infty - \infty$, factorise par le terme dominant (souvent $x$ ou $x^n$).
Exemple : $\ln(x) - x = x(\frac{\ln(x)}{x} - 1) \to +\infty(0-1) = -\infty$.

💡 À retenir : Les puissances de $x$ l'emportent toujours sur $\ln(x)$ en $+\infty$.

kifach n7seb la dérivée dyal ln(ln(x)) ?

Utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .
Ici $u = \ln(x)$ , donc $u' = \frac{1}{x}$ .
La dérivée est $\frac{1/x}{\ln(x)} = \frac{1}{x\ln(x)}$ .

💡 À retenir : Applique la formule de composition de dérivée étape par étape.

Utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
Ici $u = \ln(x)$, donc $u' = \frac{1}{x}$.
La dérivée est $\frac{1/x}{\ln(x)} = \frac{1}{x\ln(x)}$.

💡 À retenir : Applique la formule de composition de dérivée étape par étape.

Est-ce que ln(e^x) = x tout le temps ?

Oui, pour tout réel $x$ . La fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$ ).

Oui, pour tout réel $x$. La fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$).

3lach f les limites kanst3mlo frac{ln(x)}{x} bzaf ?

Parce que c'est une limite de référence au programme.
Elle permet de démontrer que $\ln$ croît très lentement vers $+\infty$ .
Elle aide à lever les indéterminations dans les fonctions composées.

💡 À retenir : Apprends par cœur les limites de croissances comparées, elles tombent à chaque examen.

Parce que c'est une limite de référence au programme.
Elle permet de démontrer que $\ln$ croît très lentement vers $+\infty$.
Elle aide à lever les indéterminations dans les fonctions composées.

💡 À retenir : Apprends par cœur les limites de croissances comparées, elles tombent à chaque examen.

Comment étudier le signe de f(x) = x - ln(x) ?

Calcule la dérivée $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ : elle s'annule en $1$ .
$f(1) = 1 - 0 = 1$ .
Comme le minimum est $1$ , alors $f(x) \geq 1 > 0$ pour tout $x > 0$ .

💡 À retenir : L'étude de fonction est l'outil ultime pour déterminer le signe d'une expression complexe.

Calcule la dérivée $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.
Étudie le signe de $f'(x)$ : elle s'annule en $1$.
$f(1) = 1 - 0 = 1$.
Comme le minimum est $1$, alors $f(x) \geq 1 > 0$ pour tout $x > 0$.

💡 À retenir : L'étude de fonction est l'outil ultime pour déterminer le signe d'une expression complexe.

Est-ce que ln(x^3) = 3ln(x) ?

Oui, car $x^3 > 0$ implique $x > 0$ . Dans ce cas précis, la valeur absolue n'est pas nécessaire car le domaine de définition impose $x>0$ .

💡 À retenir : Si $x>0$ , alors $\ln(x^n) = n\ln(x)$ est toujours vrai.

Oui, car $x^3 > 0$ implique $x > 0$. Dans ce cas précis, la valeur absolue n'est pas nécessaire car le domaine de définition impose $x>0$.

💡 À retenir : Si $x>0$, alors $\ln(x^n) = n\ln(x)$ est toujours vrai.

kifach n7seb lim{x to 0^+} x^2 ln(x) ?

C'est une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$ .
Pose $X = 1/x$ . Quand $x \to 0^+$ , $X \to +\infty$ .
$x^2 \ln(x) = \frac{1}{X^2} \ln(1/X) = -\frac{\ln(X)}{X^2}$ .
D'après les croissances comparées, cela tend vers $0$ .

💡 À retenir : $x^n \ln(x) \to 0$ quand $x \to 0^+$ pour tout $n > 0$ .

C'est une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$.
Pose $X = 1/x$. Quand $x \to 0^+$, $X \to +\infty$.
$x^2 \ln(x) = \frac{1}{X^2} \ln(1/X) = -\frac{\ln(X)}{X^2}$.
D'après les croissances comparées, cela tend vers $0$.

💡 À retenir : $x^n \ln(x) \to 0$ quand $x \to 0^+$ pour tout $n > 0$.

Est-ce que je peux utiliser le TAF sur une fonction avec ln ?

Oui, si la fonction est continue et dérivable sur l'intervalle donné.

Vérifie les conditions de continuité et dérivabilité.
Applique $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$ .
C'est souvent utilisé pour encadrer des expressions avec $\ln$ .

💡 À retenir : Le TAF est un outil puissant pour les inégalités.

Oui, si la fonction est continue et dérivable sur l'intervalle donné.

Vérifie les conditions de continuité et dérivabilité.
Applique $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$.
C'est souvent utilisé pour encadrer des expressions avec $\ln$.

💡 À retenir : Le TAF est un outil puissant pour les inégalités.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ .

Étudier les variations de $f$ .
En déduire que pour tout $x > 0$ , $\ln(x) \leq \frac{x}{e}$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$.

Étudier les variations de $f$.
En déduire que pour tout $x > 0$, $\ln(x) \leq \frac{x}{e}$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x+1) + \ln(x+2) = \ln(6)$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x+1) + \ln(x+2) = \ln(6)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x^2)}{x-1}$ .

Exercice 3

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x^2)}{x-1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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