Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Suites majorées, minorées, bornées : Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M$ .
Monotonie : Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $u_n > 0$ , on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Suites convergentes : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l$ . Toute suite croissante et majorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent vers la même limite $l$ .
Suites arithmético-géométriques : $u_{n+1} = au_n + b$ . On cherche le point fixe $l = al + b$ . La suite $v_n = u_n - l$ est géométrique.
Théorème de la convergence monotone : Si $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge.

Méthodes à maîtriser

Récurrence : Indispensable pour démontrer une propriété sur $n$ .
Utilisation du TAF : Pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ , si $f$ est dérivable, on utilise $|u_{n+1} - l| \leq k|u_n - l|$ avec $k = \sup |f'(x)|$ .
Encadrement (Gendarmes) : Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = l$ , alors $\lim u_n = l$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ est croissante. $u_{n+1} - u_n = \frac{\sqrt{u_n+2} - u_n}{1} = \frac{u_n+2 - u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n} = \frac{-(u_n-2)(u_n+1)}{\dots}$ . Si $u_n \in [0, 2]$ , alors $u_{n+1} \geq u_n$ .
Exemple 2 : Limite de $u_n = \frac{2^n + 3^n}{5^n}$ . $u_n = (\frac{2}{5})^n + (\frac{3}{5})^n$ . Comme $|2/5| < 1$ et $|3/5| < 1$ , $\lim u_n = 0 + 0 = 0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la condition $u_n > 0$ avant de diviser par $u_n$ pour étudier la monotonie.
Croire qu'une suite bornée est forcément convergente (ex: $u_n = (-1)^n$ ).
Ne pas justifier la continuité de $f$ lors du passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ .

L'essentiel du cours

Suites majorées, minorées, bornées : Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M$.
Monotonie : Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $u_n > 0$, on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Suites convergentes : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l$. Toute suite croissante et majorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent vers la même limite $l$.
Suites arithmético-géométriques : $u_{n+1} = au_n + b$. On cherche le point fixe $l = al + b$. La suite $v_n = u_n - l$ est géométrique.
Théorème de la convergence monotone : Si $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge.

Méthodes à maîtriser

Récurrence : Indispensable pour démontrer une propriété sur $n$.
Utilisation du TAF : Pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$, si $f$ est dérivable, on utilise $|u_{n+1} - l| \leq k|u_n - l|$ avec $k = \sup |f'(x)|$.
Encadrement (Gendarmes) : Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = l$, alors $\lim u_n = l$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ est croissante. $u_{n+1} - u_n = \frac{\sqrt{u_n+2} - u_n}{1} = \frac{u_n+2 - u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n} = \frac{-(u_n-2)(u_n+1)}{\dots}$. Si $u_n \in [0, 2]$, alors $u_{n+1} \geq u_n$.
Exemple 2 : Limite de $u_n = \frac{2^n + 3^n}{5^n}$. $u_n = (\frac{2}{5})^n + (\frac{3}{5})^n$. Comme $|2/5| < 1$ et $|3/5| < 1$, $\lim u_n = 0 + 0 = 0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la condition $u_n > 0$ avant de diviser par $u_n$ pour étudier la monotonie.
Croire qu'une suite bornée est forcément convergente (ex: $u_n = (-1)^n$).
Ne pas justifier la continuité de $f$ lors du passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_{n+1} = u_n^2 + 1$ . Si $u_0 = 0$ , la suite est :

Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_{n+1} = u_n^2 + 1$. Si $u_0 = 0$, la suite est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est convergente sans calculer sa limite ?

Vérifie si la suite est monotone (croissante ou décroissante).
Vérifie si elle est bornée (majorée si croissante, minorée si décroissante).
Si les deux conditions sont remplies, le théorème de la convergence monotone garantit qu'elle converge.

💡 À retenir : Une suite monotone et bornée est toujours convergente.

Kifach n7seb la limite dyal u{n+1} = f(un) ila kant f continue ?

Tu dois d'abord prouver que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est monotone et bornée).
Soit $l$ sa limite. Comme $f$ est continue, la limite $l$ vérifie l'équation $l = f(l)$ .
Résous cette équation pour trouver les valeurs possibles de $l$ .

💡 À retenir : Si $u_n \to l$ et $f$ continue, alors $f(u_n) \to f(l)$ .

Tu dois d'abord prouver que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est monotone et bornée).
Soit $l$ sa limite. Comme $f$ est continue, la limite $l$ vérifie l'équation $l = f(l)$.
Résous cette équation pour trouver les valeurs possibles de $l$.

💡 À retenir : Si $u_n \to l$ et $f$ continue, alors $f(u_n) \to f(l)$.

Est-ce qu'on peut utiliser le TAF pour les suites ?

Oui, c'est très courant pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ contenant les termes de la suite.
On utilise l'inégalité des accroissements finis : $|f(x) - f(l)| \leq k|x - l|$ où $k = \sup_{x \in I} |f'(x)|$ .
Cela permet de montrer que $|u_{n+1} - l| \leq k|u_n - l|$ .

💡 À retenir : Si $k < 1$ , la suite converge vers $l$ très rapidement.

Oui, c'est très courant pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$.

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ contenant les termes de la suite.
On utilise l'inégalité des accroissements finis : $|f(x) - f(l)| \leq k|x - l|$ où $k = \sup_{x \in I} |f'(x)|$.
Cela permet de montrer que $|u_{n+1} - l| \leq k|u_n - l|$.

💡 À retenir : Si $k < 1$, la suite converge vers $l$ très rapidement.

Chno hiya l'astuce bach n3ref wach suite arithmétique wla géométrique ?

Calcule $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est une constante indépendante de $n$ , c'est une suite arithmétique.
Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$ ). Si le résultat est une constante, c'est une suite géométrique.
Si aucun des deux, regarde si elle est arithmético-géométrique ( $u_{n+1} = au_n + b$ ).

💡 À retenir : La différence constante signifie arithmétique, le rapport constant signifie géométrique.

Calcule $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est une constante indépendante de $n$, c'est une suite arithmétique.
Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$). Si le résultat est une constante, c'est une suite géométrique.
Si aucun des deux, regarde si elle est arithmético-géométrique ($u_{n+1} = au_n + b$).

💡 À retenir : La différence constante signifie arithmétique, le rapport constant signifie géométrique.

Si un leq vn pour tout n, est-ce que lim un leq lim vn ?

Oui, si les deux limites existent.

Si $\lim u_n = l$ et $\lim v_n = l'$ , alors $l \leq l'$ .
Attention : l'inégalité stricte $u_n < v_n$ ne garantit pas $l < l'$ (on peut avoir $l = l'$ ).

💡 À retenir : Le passage à la limite conserve l'inégalité large.

Oui, si les deux limites existent.

Si $\lim u_n = l$ et $\lim v_n = l'$, alors $l \leq l'$.
Attention : l'inégalité stricte $u_n < v_n$ ne garantit pas $l < l'$ (on peut avoir $l = l'$).

💡 À retenir : Le passage à la limite conserve l'inégalité large.

3lach kanst3mlo l'encadrement f les suites ?

On l'utilise quand on ne peut pas calculer directement la limite de $u_n$ .
On cherche deux suites $v_n$ et $w_n$ qui encadrent $u_n$ ( $v_n \leq u_n \leq w_n$ ).
Si $\lim v_n = \lim w_n = l$ , alors obligatoirement $\lim u_n = l$ .

💡 À retenir : C'est le théorème des gendarmes, très utile pour les suites avec sinus ou cosinus.

On l'utilise quand on ne peut pas calculer directement la limite de $u_n$.
On cherche deux suites $v_n$ et $w_n$ qui encadrent $u_n$ ($v_n \leq u_n \leq w_n$).
Si $\lim v_n = \lim w_n = l$, alors obligatoirement $\lim u_n = l$.

💡 À retenir : C'est le théorème des gendarmes, très utile pour les suites avec sinus ou cosinus.

Comment démontrer par récurrence que un geq 0 ?

Initialisation : Vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme (ex: $u_0 \geq 0$ ).
Hérédité : Suppose que $u_n \geq 0$ est vraie, et montre que $u_{n+1} \geq 0$ en utilisant cette hypothèse.
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de mentionner l'hypothèse de récurrence.

Initialisation : Vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme (ex: $u_0 \geq 0$).
Hérédité : Suppose que $u_n \geq 0$ est vraie, et montre que $u_{n+1} \geq 0$ en utilisant cette hypothèse.
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de mentionner l'hypothèse de récurrence.

Est-ce qu'une suite qui n'est pas monotone peut converger ?

Oui, absolument.

Exemple classique : $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ .
Cette suite n'est ni croissante ni décroissante.
Pourtant, elle converge vers 0 car $|u_n| = \frac{1}{n}$ qui tend vers 0.

💡 À retenir : La monotonie est une condition suffisante pour la convergence, mais pas nécessaire.

Oui, absolument.

Exemple classique : $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$.
Cette suite n'est ni croissante ni décroissante.
Pourtant, elle converge vers 0 car $|u_n| = \frac{1}{n}$ qui tend vers 0.

💡 À retenir : La monotonie est une condition suffisante pour la convergence, mais pas nécessaire.

Kifach n7seb la limite dyal suite li fiha l'exponentielle ou le logarithme ?

Utilise les croissances comparées : $\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n)}{n^\alpha} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{e^n}{n^\alpha} = +\infty$ .
Simplifie les expressions en factorisant par le terme dominant.
Applique les propriétés usuelles des limites.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte toujours sur le polynôme, et le polynôme sur le logarithme.

Utilise les croissances comparées : $\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n)}{n^\alpha} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{e^n}{n^\alpha} = +\infty$.
Simplifie les expressions en factorisant par le terme dominant.
Applique les propriétés usuelles des limites.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte toujours sur le polynôme, et le polynôme sur le logarithme.

Si u{n+1} = f(un), est-ce que la limite est forcément f(l) ?

Oui, à deux conditions :

La suite $(u_n)$ doit être convergente vers une limite $l$ .
La fonction $f$ doit être continue au point $l$ .

💡 À retenir : Si ces conditions sont réunies, alors $l = f(l)$ est l'équation à résoudre.

Oui, à deux conditions :

La suite $(u_n)$ doit être convergente vers une limite $l$.
La fonction $f$ doit être continue au point $l$.

💡 À retenir : Si ces conditions sont réunies, alors $l = f(l)$ est l'équation à résoudre.

Qu'est-ce qu'une suite extraite ?

C'est une suite formée en ne gardant que certains termes de la suite originale, tout en conservant l'ordre.
Exemple : $v_n = u_{2n}$ (la suite des termes de rang pair).
Si une suite converge vers $l$ , alors toutes ses suites extraites convergent aussi vers $l$ .

💡 À retenir : Utile pour montrer qu'une suite diverge (si deux suites extraites ont des limites différentes).

C'est une suite formée en ne gardant que certains termes de la suite originale, tout en conservant l'ordre.
Exemple : $v_n = u_{2n}$ (la suite des termes de rang pair).
Si une suite converge vers $l$, alors toutes ses suites extraites convergent aussi vers $l$.

💡 À retenir : Utile pour montrer qu'une suite diverge (si deux suites extraites ont des limites différentes).

Comment montrer qu'une suite est divergente ?

Montrer qu'elle n'est pas bornée (elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ).
Ou montrer qu'elle admet deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes.
Ou montrer qu'elle oscille sans jamais se stabiliser.

💡 À retenir : Si une suite n'a pas de limite finie, elle est dite divergente.

Montrer qu'elle n'est pas bornée (elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$).
Ou montrer qu'elle admet deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes.
Ou montrer qu'elle oscille sans jamais se stabiliser.

💡 À retenir : Si une suite n'a pas de limite finie, elle est dite divergente.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n){n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ .

Montrer que $2 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Montrer que $|u_{n+1} - 3| \leq \frac{1}{4}|u_n - 3|$ .
En déduire la limite de $(u_n)$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$.

Montrer que $2 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Montrer que $|u_{n+1} - 3| \leq \frac{1}{4}|u_n - 3|$.
En déduire la limite de $(u_n)$.

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Exercice 3

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies par $u_0 = 1, v_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}, v_{n+1} = \sqrt{u_{n+1}v_n}$ .

Montrer que $u_n \leq v_n$ pour tout $n$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante.
Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Exercice 3

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies par $u_0 = 1, v_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}, v_{n+1} = \sqrt{u_{n+1}v_n}$.

Montrer que $u_n \leq v_n$ pour tout $n$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante.
Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

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