Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

Dérivation et étude des fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Interprétation géométrique : Si $f$ est dérivable en $a$ , la courbe $C_f$ admet une tangente au point $A(a, f(a))$ d'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Dérivées successives : $f^{(n)}$ est la dérivée $n$ -ième. Pour $n=2$ , $f''$ est la dérivée seconde.
Monotonie : $f$ est croissante sur $I$ ssi $f'(x) \geq 0$ (avec annulation en points isolés).
Extremums : Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f(x_0)$ est un extremum relatif.
Concavité : $C_f$ est convexe si $f'' \geq 0$ , concave si $f'' \leq 0$ . Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Méthodes à maîtriser

Étude d'une fonction : Ensemble de définition, limites aux bornes, branches infinies (asymptotes, directions asymptotiques), signe de $f'$ , tableau de variations, signe de $f''$ , tracé.
Dérivabilité à droite/gauche : Utiliser les taux d'accroissement pour étudier les points anguleux ou demi-tangentes.
Recherche d'asymptotes : $\lim_{x \to \infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 \implies y=ax+b$ est asymptote oblique.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ . En $a=1$ , $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ . Équation : $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$ .
Point d'inflexion : Soit $f(x) = x^3$ . $f'(x)=3x^2$ , $f''(x)=6x$ . $f''(x)=0$ en $x=0$ et change de signe, donc $(0,0)$ est un point d'inflexion.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est dérivable avant de calculer $f'(x)$ .
Confondre le signe de $f'$ (croissance) et le signe de $f''$ (concavité).
Ne pas étudier la position relative de la courbe par rapport aux asymptotes.

L'essentiel du cours

Dérivabilité : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Interprétation géométrique : Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe $C_f$ admet une tangente au point $A(a, f(a))$ d'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Dérivées successives : $f^{(n)}$ est la dérivée $n$-ième. Pour $n=2$, $f''$ est la dérivée seconde.
Monotonie : $f$ est croissante sur $I$ ssi $f'(x) \geq 0$ (avec annulation en points isolés).
Extremums : Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f(x_0)$ est un extremum relatif.
Concavité : $C_f$ est convexe si $f'' \geq 0$, concave si $f'' \leq 0$. Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Méthodes à maîtriser

Étude d'une fonction : Ensemble de définition, limites aux bornes, branches infinies (asymptotes, directions asymptotiques), signe de $f'$, tableau de variations, signe de $f''$, tracé.
Dérivabilité à droite/gauche : Utiliser les taux d'accroissement pour étudier les points anguleux ou demi-tangentes.
Recherche d'asymptotes : $\lim_{x \to \infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 \implies y=ax+b$ est asymptote oblique.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$. En $a=1$, $f'(x)=2x$, donc $f'(1)=2$. Équation : $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$.
Point d'inflexion : Soit $f(x) = x^3$. $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$. $f''(x)=0$ en $x=0$ et change de signe, donc $(0,0)$ est un point d'inflexion.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est dérivable avant de calculer $f'(x)$.
Confondre le signe de $f'$ (croissance) et le signe de $f''$ (concavité).
Ne pas étudier la position relative de la courbe par rapport aux asymptotes.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivation et étude des fonctions

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Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est :

Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'une fonction continue est toujours dérivable ?

Non, pas forcément. La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Prends l'exemple de $f(x) = |x|$ en $x=0$ .
La fonction est continue en 0 car $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$ .
Cependant, $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|-0}{x-0} = 1$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|-0}{x-0} = -1$ .
Les limites étant différentes, $f$ n'est pas dérivable en 0.

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Non, pas forcément. La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Prends l'exemple de $f(x) = |x|$ en $x=0$.
La fonction est continue en 0 car $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$.
Cependant, $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|-0}{x-0} = 1$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|-0}{x-0} = -1$.
Les limites étant différentes, $f$ n'est pas dérivable en 0.

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Kifach n3ref wach l'asymptote oblique kayna wla la ?

Pour savoir s'il existe une asymptote oblique en $+\infty$ :

Calcule d'abord $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$ ).
Calcule ensuite $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = b$ .
Si $a$ et $b$ sont des réels finis, alors la droite $y = ax + b$ est une asymptote oblique.

💡 À retenir : Si la limite de $f(x)/x$ est infinie ou nulle, il n'y a pas d'asymptote oblique (il peut y avoir une branche parabolique).

Pour savoir s'il existe une asymptote oblique en $+\infty$ :

Calcule d'abord $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$).
Calcule ensuite $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = b$.
Si $a$ et $b$ sont des réels finis, alors la droite $y = ax + b$ est une asymptote oblique.

💡 À retenir : Si la limite de $f(x)/x$ est infinie ou nulle, il n'y a pas d'asymptote oblique (il peut y avoir une branche parabolique).

C'est quoi la différence entre un point critique et un point d'inflexion ?

Un point critique est un point où la dérivée première $f'(x)$ s'annule. Cela correspond souvent à un extremum local.
Un point d'inflexion est un point où la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule et change de signe. Cela correspond à un changement de courbure (concave vers convexe ou inversement).

💡 À retenir : Un point peut être critique sans être un point d'inflexion, et inversement.

Un point critique est un point où la dérivée première $f'(x)$ s'annule. Cela correspond souvent à un extremum local.
Un point d'inflexion est un point où la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule et change de signe. Cela correspond à un changement de courbure (concave vers convexe ou inversement).

💡 À retenir : Un point peut être critique sans être un point d'inflexion, et inversement.

Chno hiya l'utilité dyal f''(x) f l'examen national ?

La dérivée seconde $f''(x)$ est essentielle pour deux choses :

Étudier la concavité : si $f''(x) > 0$ , la courbe est au-dessus de ses tangentes (convexe).
Déterminer les points d'inflexion : là où la courbe "tourne" et où $f''$ change de signe.

💡 À retenir : Ne calcule $f''$ que si l'énoncé le demande explicitement ou pour discuter la concavité.

La dérivée seconde $f''(x)$ est essentielle pour deux choses :

Étudier la concavité : si $f''(x) > 0$, la courbe est au-dessus de ses tangentes (convexe).
Déterminer les points d'inflexion : là où la courbe "tourne" et où $f''$ change de signe.

💡 À retenir : Ne calcule $f''$ que si l'énoncé le demande explicitement ou pour discuter la concavité.

Comment justifier qu'une fonction est dérivable sur un intervalle ?

Identifie les fonctions de base (polynômes, sinus, cosinus, etc.) qui sont dérivables sur $\mathbb{R}$ .
Utilise les théorèmes de composition : la somme, le produit, le quotient (si dénominateur non nul) et la composée de fonctions dérivables sont dérivables.
Cite simplement : "f est dérivable sur I comme somme/produit de fonctions dérivables sur I".

💡 À retenir : Sois toujours précis sur l'intervalle de dérivabilité.

Identifie les fonctions de base (polynômes, sinus, cosinus, etc.) qui sont dérivables sur $\mathbb{R}$.
Utilise les théorèmes de composition : la somme, le produit, le quotient (si dénominateur non nul) et la composée de fonctions dérivables sont dérivables.
Cite simplement : "f est dérivable sur I comme somme/produit de fonctions dérivables sur I".

💡 À retenir : Sois toujours précis sur l'intervalle de dérivabilité.

Kifach n7seb l'équation de la tangente f chi point x0 ?

C'est une formule directe à appliquer :

Calcule $f(x_0)$ .
Calcule $f'(x_0)$ .
Utilise la formule : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ .

💡 À retenir : Ne te trompe pas dans le signe de $x_0$ dans la parenthèse.

C'est une formule directe à appliquer :

Calcule $f(x_0)$.
Calcule $f'(x_0)$.
Utilise la formule : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

💡 À retenir : Ne te trompe pas dans le signe de $x_0$ dans la parenthèse.

Si f'(x) = 0 sur un intervalle, que peut-on dire de f ?

Si la dérivée est nulle sur tout un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle.

💡 À retenir : $f(x) = k$ pour tout $x \in I$ .

Si la dérivée est nulle sur tout un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle.

💡 À retenir : $f(x) = k$ pour tout $x \in I$.

Est-ce que la dérivée seconde doit toujours s'annuler pour avoir un point d'inflexion ?

Oui, pour une fonction dérivable deux fois, c'est une condition nécessaire. Mais attention : il faut aussi qu'elle change de signe. Si $f''(x) = 3x^2$ , elle s'annule en 0 mais ne change pas de signe, donc ce n'est pas un point d'inflexion.

💡 À retenir : Annulation + changement de signe = point d'inflexion.

Oui, pour une fonction dérivable deux fois, c'est une condition nécessaire. Mais attention : il faut aussi qu'elle change de signe. Si $f''(x) = 3x^2$, elle s'annule en 0 mais ne change pas de signe, donc ce n'est pas un point d'inflexion.

💡 À retenir : Annulation + changement de signe = point d'inflexion.

Comment étudier la position relative de la courbe et de son asymptote ?

Calcule la différence $d(x) = f(x) - (ax + b)$ .
Étudie le signe de $d(x)$ .
Si $d(x) > 0$ , la courbe est au-dessus de l'asymptote. Si $d(x) < 0$ , elle est en dessous.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.

Calcule la différence $d(x) = f(x) - (ax + b)$.
Étudie le signe de $d(x)$.
Si $d(x) > 0$, la courbe est au-dessus de l'asymptote. Si $d(x) < 0$, elle est en dessous.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.

Pourquoi on étudie les branches infinies ?

Pour savoir comment la courbe se comporte quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ . Cela permet de tracer la courbe avec précision aux extrémités du domaine.

💡 À retenir : C'est indispensable pour le tracé de la courbe.

Pour savoir comment la courbe se comporte quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$. Cela permet de tracer la courbe avec précision aux extrémités du domaine.

💡 À retenir : C'est indispensable pour le tracé de la courbe.

Est-ce qu'on peut avoir une asymptote verticale sans que la fonction soit définie en a ?

Oui, c'est même le cas classique. Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$ , alors la droite $x=a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : L'asymptote verticale se trouve souvent aux bornes exclues du domaine de définition.

Oui, c'est même le cas classique. Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$, alors la droite $x=a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : L'asymptote verticale se trouve souvent aux bornes exclues du domaine de définition.

Est-ce que f'(x) peut être négative sur tout le domaine ?

Oui, cela signifie simplement que la fonction est strictement décroissante sur tout son domaine de définition.

💡 À retenir : Le signe de $f'$ dicte le sens de variation.

Oui, cela signifie simplement que la fonction est strictement décroissante sur tout son domaine de définition.

💡 À retenir : Le signe de $f'$ dicte le sens de variation.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer les limites aux bornes de $D_f$ .
Étudier les variations de $f$ et dresser le tableau de variations.
Montrer que la droite $(\Delta): y = x+1$ est une asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$ et $-\infty$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$.

Déterminer $D_f$.
Calculer les limites aux bornes de $D_f$.
Étudier les variations de $f$ et dresser le tableau de variations.
Montrer que la droite $(\Delta): y = x+1$ est une asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$ et $-\infty$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = x\sqrt{x^2+1}$ .