Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B
Théorème des Accroissements Finis (TAF)
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) est un outil puissant pour encadrer des fonctions ou démontrer des inégalités.
Soit $f$ une fonction définie sur $[a, b]$ ($a < b$).
Hypothèses :
$f$ est continue sur $[a, b]$.
$f$ est dérivable sur $]a, b[$.
Conclusion : Il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que :
$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
Interprétation géométrique : Il existe une tangente à la courbe parallèle à la sécante passant par les points d'abscisses $a$ et $b$.
Méthodes à maîtriser
Démontrer une inégalité : Pour prouver $|f(x) - f(y)| \leq k|x - y|$, on applique le TAF sur l'intervalle d'extrémités $x$ et $y$ (en supposant $x < y$). On obtient $f(x) - f(y) = f'(c)(x - y)$. Si $|f'(c)| \leq k$, alors le résultat suit.
Recherche de $c$ : Résoudre l'équation $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ et vérifier que la solution appartient bien à $]a, b[$.
Exemples corrigés
Soit $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[1, 4]$.
$f$ est continue sur $[1, 4]$ et dérivable sur $]1, 4[$.
On cherche $c \in ]1, 4[$ tel que $\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{c} = \frac{3}{2} \implies c = \frac{9}{4}$.
Comme $\frac{9}{4} \in ]1, 4[$, le théorème est vérifié.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier la continuité aux bornes $a$ et $b$.
Oublier de préciser que $c$ appartient à l'intervalle ouvert $]a, b[$.
Appliquer le TAF sur un intervalle où la fonction n'est pas dérivable (ex: $f(x)=|x|$ en $0$).
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Le théorème de Rolle est un cas particulier du TAF ?
❓ Questions fréquentes
Est-ce que le TAF peut être utilisé pour prouver qu'une fonction est constante ?
Oui, c'est une conséquence directe. Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors pour tout $x, y \in I$, il existe $c$ entre eux tel que $f(x) - f(y) = f'(c)(x-y) = 0 \times (x-y) = 0$. Donc $f(x) = f(y)$.
💡 À retenir : Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante.
Est-ce que le TAF marche si la fonction n'est pas dérivable en un seul point ?
Non. Les hypothèses du TAF sont strictes : la fonction doit être dérivable sur tout l'intervalle ouvert $]a, b[$. Si la dérivabilité fait défaut en un seul point de cet intervalle, le théorème ne s'applique pas.
Vérifie toujours le domaine de dérivabilité.
Si le point de non-dérivabilité est hors de l'intervalle, c'est bon. S'il est dedans, tu ne peux pas conclure avec le TAF.
💡 À retenir : La dérivabilité sur $]a, b[$ est une condition nécessaire et non négociable.
Kifach n3ref wach nst3mel TAF wla Rolle ?
C'est simple :
Rolle est un cas particulier du TAF où $f(a) = f(b)$. Si tu dois montrer qu'il existe $c$ tel que $f'(c) = 0$, utilise Rolle.
Le TAF est plus général : il sert surtout à encadrer des variations ou démontrer des inégalités de type $|f(x) - f(y)| \leq M|x - y|$.
💡 À retenir : Rolle pour annuler la dérivée, TAF pour comparer des accroissements.
Wach c li kankherjou khasso ykoun wahed ?
Non, le théorème dit "il existe au moins un réel $c$". Il peut y en avoir plusieurs. Si tu en trouves un seul, c'est suffisant. Si tu en trouves plusieurs, vérifie juste qu'ils sont tous dans l'intervalle $]a, b[$.
💡 À retenir : L'unicité n'est pas exigée par le théorème.
Chno hiya l'utilité dyal TAF f l'examen ?
Le TAF est l'outil roi pour démontrer des inégalités. Par exemple, pour montrer que $|\sin(a) - \sin(b)| \leq |a - b|$, on applique le TAF à $f(x) = \sin(x)$. Comme $|\cos(c)| \leq 1$, l'inégalité est immédiate.
💡 À retenir : Le TAF transforme une inégalité sur les fonctions en une inégalité sur les dérivées.
Est-ce que le TAF s'applique sur un intervalle infini comme [0, +infty[ ?
Le TAF classique s'applique sur un intervalle fermé borné $[a, b]$. Pour un intervalle infini, on ne peut pas appliquer le TAF directement sur tout l'intervalle. On l'applique sur un intervalle $[a, x]$ quelconque, puis on fait tendre $x$ vers l'infini si nécessaire.
💡 À retenir : Le TAF nécessite des bornes finies $a$ et $b$.
Kifach n7seb c ila kant f(x) m3a9da bzaf ?
Souvent, on ne te demande pas de calculer $c$ explicitement, mais de prouver son existence. Si l'énoncé demande de calculer $c$, c'est que l'équation $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est résoluble. Si elle est trop complexe, relis bien la question : on te demande peut-être juste de montrer qu'il existe $c$ tel que $f'(c) = \dots$ sans le trouver.
💡 À retenir : Ne perds pas de temps à chercher $c$ si l'énoncé demande seulement "montrer qu'il existe".
Est-ce que le TAF est lié aux limites ?
Indirectement, oui. Le TAF permet de justifier le comportement d'une fonction à partir de sa dérivée. Par exemple, pour prouver la règle de L'Hôpital (à vérifier par le professeur si au programme), on utilise le TAF. Mais au niveau Bac, on l'utilise surtout pour les inégalités.
💡 À retenir : Le TAF fait le pont entre les variations (dérivée) et les valeurs de la fonction.
Si f est dérivable sur [a, b], est-ce que le TAF s'applique ?
Oui, car si elle est dérivable sur $[a, b]$, elle est nécessairement dérivable sur $]a, b[$ et continue sur $[a, b]$. Les conditions sont donc largement remplies.
💡 À retenir : La dérivabilité sur $[a, b]$ est une condition plus forte que celle requise.
Est-ce que le TAF peut m'aider à étudier la convexité ?
Le TAF aide à comprendre la pente, mais pour la convexité, on utilise la dérivée seconde $f''(x)$. Cependant, le TAF appliqué à $f'$ permet de démontrer des propriétés sur la croissance de la pente.
Oui, très souvent ! Pour montrer qu'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ converge, on utilise le TAF sur $f$ pour montrer que $|f(u_n) - f(\ell)| \leq k|u_n - \ell|$ avec $k < 1$. C'est une méthode classique pour prouver la convergence.
💡 À retenir : TAF + Inégalité des accroissements finis = outil puissant pour les suites.
Est-ce que le TAF est toujours vrai pour les fonctions complexes ?
Attention, le TAF ne s'applique pas aux fonctions à valeurs complexes (c'est-à-dire $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$). Il est valable uniquement pour les fonctions à valeurs réelles.
💡 À retenir : Le TAF est réservé aux fonctions réelles.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $f$ la fonction définie sur $[0, 1]$ par $f(x) = x^3 + 2x$.
Montrer que $f$ vérifie les conditions du TAF sur $[0, 1]$.
Déterminer la valeur de $c \in ]0, 1[$ telle que $f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}$.
Soit $f(x) = \arctan(x)$. En utilisant le TAF, montrer que pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ avec $x < y$, on a :
$$\frac{y - x}{1 + y^2} < \arctan(y) - \arctan(x) < \frac{y - x}{1 + x^2}$$
Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) est un outil puissant pour encadrer des fonctions ou démontrer des inégalités.
Soit f une fonction définie sur [a,b] (a<b).
Hypothèses :
f est continue sur [a,b].
f est dérivable sur ]a,b[.
Conclusion : Il existe au moins un réel c∈]a,b[ tel que :
f′(c)=b−af(b)−f(a)Interprétation géométrique : Il existe une tangente à la courbe parallèle à la sécante passant par les points d'abscisses a et b.
Méthodes à maîtriser
Démontrer une inégalité : Pour prouver ∣f(x)−f(y)∣≤k∣x−y∣, on applique le TAF sur l'intervalle d'extrémités x et y (en supposant x<y). On obtient f(x)−f(y)=f′(c)(x−y). Si ∣f′(c)∣≤k, alors le résultat suit.
Recherche de c : Résoudre l'équation f′(c)=b−af(b)−f(a) et vérifier que la solution appartient bien à ]a,b[.
Exemples corrigés
Soit f(x)=x sur [1,4].
f est continue sur [1,4] et dérivable sur ]1,4[.
f′(x)=2x1.
4−1f(4)−f(1)=32−1=31.
On cherche c∈]1,4[ tel que 2c1=31⟹c=23⟹c=49.
Comme 49∈]1,4[, le théorème est vérifié.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier la continuité aux bornes a et b.
Oublier de préciser que c appartient à l'intervalle ouvert]a,b[.
Appliquer le TAF sur un intervalle où la fonction n'est pas dérivable (ex: f(x)=∣x∣ en 0).
Seulement si f est dérivable
Seulement si f est continue
Oui, c'est une conséquence directe. Si f′(x)=0 pour tout x∈I, alors pour tout x,y∈I, il existe c entre eux tel que f(x)−f(y)=f′(c)(x−y)=0×(x−y)=0. Donc f(x)=f(y).
💡 À retenir : Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante.
Non. Les hypothèses du TAF sont strictes : la fonction doit être dérivable sur tout l'intervalle ouvert ]a,b[. Si la dérivabilité fait défaut en un seul point de cet intervalle, le théorème ne s'applique pas.
Vérifie toujours le domaine de dérivabilité.
Si le point de non-dérivabilité est hors de l'intervalle, c'est bon. S'il est dedans, tu ne peux pas conclure avec le TAF.
💡 À retenir : La dérivabilité sur ]a,b[ est une condition nécessaire et non négociable.
C'est simple :
Rolle est un cas particulier du TAF où f(a)=f(b). Si tu dois montrer qu'il existe c tel que f′(c)=0, utilise Rolle.
Le TAF est plus général : il sert surtout à encadrer des variations ou démontrer des inégalités de type ∣f(x)−f(y)∣≤M∣x−y∣.
💡 À retenir : Rolle pour annuler la dérivée, TAF pour comparer des accroissements.
Non, le théorème dit "il existe au moins un réel c". Il peut y en avoir plusieurs. Si tu en trouves un seul, c'est suffisant. Si tu en trouves plusieurs, vérifie juste qu'ils sont tous dans l'intervalle ]a,b[.
💡 À retenir : L'unicité n'est pas exigée par le théorème.
Le TAF est l'outil roi pour démontrer des inégalités. Par exemple, pour montrer que ∣sin(a)−sin(b)∣≤∣a−b∣, on applique le TAF à f(x)=sin(x). Comme ∣cos(c)∣≤1, l'inégalité est immédiate.
💡 À retenir : Le TAF transforme une inégalité sur les fonctions en une inégalité sur les dérivées.
Le TAF classique s'applique sur un intervalle fermé borné [a,b]. Pour un intervalle infini, on ne peut pas appliquer le TAF directement sur tout l'intervalle. On l'applique sur un intervalle [a,x] quelconque, puis on fait tendre x vers l'infini si nécessaire.
💡 À retenir : Le TAF nécessite des bornes finies a et b.
Souvent, on ne te demande pas de calculer c explicitement, mais de prouver son existence. Si l'énoncé demande de calculer c, c'est que l'équation f′(c)=b−af(b)−f(a) est résoluble. Si elle est trop complexe, relis bien la question : on te demande peut-être juste de montrer qu'il existe c tel que f′(c)=… sans le trouver.
💡 À retenir : Ne perds pas de temps à chercher c si l'énoncé demande seulement "montrer qu'il existe".
Oui, car si elle est dérivable sur [a,b], elle est nécessairement dérivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b]. Les conditions sont donc largement remplies.
💡 À retenir : La dérivabilité sur [a,b] est une condition plus forte que celle requise.
Le TAF aide à comprendre la pente, mais pour la convexité, on utilise la dérivée seconde f′′(x). Cependant, le TAF appliqué à f′ permet de démontrer des propriétés sur la croissance de la pente.
Oui, très souvent ! Pour montrer qu'une suite un+1=f(un) converge, on utilise le TAF sur f pour montrer que ∣f(un)−f(ℓ)∣≤k∣un−ℓ∣ avec k<1. C'est une méthode classique pour prouver la convergence.
💡 À retenir : TAF + Inégalité des accroissements finis = outil puissant pour les suites.
Attention, le TAF ne s'applique pas aux fonctions à valeurs complexes (c'est-à-dire f:R→C). Il est valable uniquement pour les fonctions à valeurs réelles.
💡 À retenir : Le TAF est réservé aux fonctions réelles.
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x)=x3+2x.
Montrer que f vérifie les conditions du TAF sur [0,1].
Déterminer la valeur de c∈]0,1[ telle que f′(c)=1−0f(1)−f(0).
Exercice 2
Soit f(x)=arctan(x). En utilisant le TAF, montrer que pour tous x,y∈R avec x<y, on a :
1+y2y−x<arctan(y)−arctan(x)<1+x2y−x
Exercice 3
Soit f une fonction dérivable sur [a,b] telle que f(a)=a et f(b)=b. Montrer qu'il existe c∈]a,b[ tel que f′(c)=1.