Mathématiques · 2ème Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

دالة اللوغاريتم النبيري

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la primitive de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ s'annulant en $1$ .

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b > 0$ $a, b > 0$ :
- $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln(a^r) = r \ln(a)$ (avec $r \in \mathbb{Q}$ )
- $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ et $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
- $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
Dérivée : La fonction $\ln(x)$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ . Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive, alors $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre des équations : Utiliser $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A, B > 0$ ).
Résoudre des inéquations : Utiliser $\ln(A) \geq \ln(B) \iff A \geq B$ (avec $A, B > 0$ ).
Étude de signe : $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$ .
Calcul de dérivée : Identifier la forme $\ln(u(x))$ pour appliquer la formule $\frac{u'}{u}$ .

Exemples corrigés

Équation : Résoudre $\ln(x) = 2$ . On a $x = e^2$ .
Dérivée : Soit $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ . Alors $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition : $\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$ .
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier de vérifier si les solutions trouvées appartiennent à l'intervalle de définition.

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la primitive de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ s'annulant en $1$.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b > 0$ :
- $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln(a^r) = r \ln(a)$ (avec $r \in \mathbb{Q}$)
- $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ et $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
- $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
Dérivée : La fonction $\ln(x)$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$. Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive, alors $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre des équations : Utiliser $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A, B > 0$).
Résoudre des inéquations : Utiliser $\ln(A) \geq \ln(B) \iff A \geq B$ (avec $A, B > 0$).
Étude de signe : $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$.
Calcul de dérivée : Identifier la forme $\ln(u(x))$ pour appliquer la formule $\frac{u'}{u}$.

Exemples corrigés

Équation : Résoudre $\ln(x) = 2$. On a $x = e^2$.
Dérivée : Soit $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Alors $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition : $\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier de vérifier si les solutions trouvées appartiennent à l'intervalle de définition.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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1/4

Quelle est la valeur de $\ln(e^2) + \ln(1)$ ?

❓ Questions fréquentes

1. Est-ce que ln(x^2) est toujours égal à 2ln(x) ?

Non, pas toujours. La formule $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ n'est vraie que si $x > 0$ . Si $x < 0$ , $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ existe, mais $2\ln(x)$ n'existe pas. La forme générale est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ .

💡 À retenir : Vérifiez toujours le domaine de définition avant d'appliquer les formules.

Non, pas toujours. La formule $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ n'est vraie que si $x > 0$. Si $x < 0$, $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ existe, mais $2\ln(x)$ n'existe pas. La forme générale est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

💡 À retenir : Vérifiez toujours le domaine de définition avant d'appliquer les formules.

2. Kifach n7seb l'ensemble de définition dial ln(x^2 - 3x + 2) ?

Pour que $\ln(u(x))$ existe, il faut que $u(x) > 0$ .

On résout $x^2 - 3x + 2 = 0$ . Les racines sont $1$ et $2$ .
On fait un tableau de signe pour le trinôme.
Le signe est positif sur $]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$ .

💡 À retenir : L'intérieur du $\ln$ doit être strictement positif.

Pour que $\ln(u(x))$ existe, il faut que $u(x) > 0$.

On résout $x^2 - 3x + 2 = 0$. Les racines sont $1$ et $2$.
On fait un tableau de signe pour le trinôme.
Le signe est positif sur $]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$.

💡 À retenir : L'intérieur du $\ln$ doit être strictement positif.

3. Pourquoi ln(1) est égal à 0 ?

Par définition, $\ln(x)$ est la primitive de $1/x$ qui s'annule en $1$ . C'est une valeur de référence comme $10^0 = 1$ pour les puissances.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ est la base de tous les calculs logarithmiques.

Par définition, $\ln(x)$ est la primitive de $1/x$ qui s'annule en $1$. C'est une valeur de référence comme $10^0 = 1$ pour les puissances.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ est la base de tous les calculs logarithmiques.

4. Wach ln(x) katkon dima positive ?

Non. $\ln(x)$ est négative sur $]0, 1[$ , nulle en $1$ , et positive sur $]1, +\infty[$ .

💡 À retenir : Le signe de $\ln(x)$ dépend de la position de $x$ par rapport à $1$ .

Non. $\ln(x)$ est négative sur $]0, 1[$, nulle en $1$, et positive sur $]1, +\infty[$.

💡 À retenir : Le signe de $\ln(x)$ dépend de la position de $x$ par rapport à $1$.

5. Comment dériver ln(3x + 5) ?

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .

Ici $u(x) = 3x + 5$ .
$u'(x) = 3$ .
Donc la dérivée est $\frac{3}{3x+5}$ .

💡 À retenir : Identifiez bien $u(x)$ et calculez sa dérivée séparément.

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Ici $u(x) = 3x + 5$.
$u'(x) = 3$.
Donc la dérivée est $\frac{3}{3x+5}$.

💡 À retenir : Identifiez bien $u(x)$ et calculez sa dérivée séparément.

6. Kifach n7el l'inéquation ln(x) leq 0 ?

On sait que $\ln(1) = 0$ .
L'inéquation devient $\ln(x) \leq \ln(1)$ .
Comme la fonction $\ln$ est croissante, on a $x \leq 1$ .
Avec la condition $x > 0$ , la solution est $S = ]0, 1]$ .

💡 À retenir : La croissance de $\ln$ permet de conserver l'ordre.

On sait que $\ln(1) = 0$.
L'inéquation devient $\ln(x) \leq \ln(1)$.
Comme la fonction $\ln$ est croissante, on a $x \leq 1$.
Avec la condition $x > 0$, la solution est $S = ]0, 1]$.

💡 À retenir : La croissance de $\ln$ permet de conserver l'ordre.

7. Est-ce que ln(x+y) = ln(x) times ln(y) ?

Absolument pas. Il n'existe aucune formule simple pour $\ln(x+y)$ . Les propriétés ne concernent que le produit, le quotient et la puissance.

💡 À retenir : Ne créez pas de fausses formules, restez sur les propriétés du cours.

Absolument pas. Il n'existe aucune formule simple pour $\ln(x+y)$. Les propriétés ne concernent que le produit, le quotient et la puissance.

💡 À retenir : Ne créez pas de fausses formules, restez sur les propriétés du cours.

8. Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0 ?

Quand $x$ se rapproche de $0$ par la droite, $\ln(x)$ devient de plus en plus petit, donc la limite est $-\infty$ .

💡 À retenir : La courbe de $\ln$ possède une asymptote verticale d'équation $x=0$ .

Quand $x$ se rapproche de $0$ par la droite, $\ln(x)$ devient de plus en plus petit, donc la limite est $-\infty$.

💡 À retenir : La courbe de $\ln$ possède une asymptote verticale d'équation $x=0$.

9. Comment simplifier ln(e^5) ?

La fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont réciproques. Donc $\ln(e^x) = x$ . Ici, $\ln(e^5) = 5$ .

💡 À retenir : $\ln(e^a) = a$ pour tout réel $a$ .

La fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont réciproques. Donc $\ln(e^x) = x$. Ici, $\ln(e^5) = 5$.

💡 À retenir : $\ln(e^a) = a$ pour tout réel $a$.

10. Est-ce que ln(x) est définie pour x=0 ?

Non, la fonction $\ln$ n'est pas définie en $0$ . Elle est définie sur $]0, +\infty[$ .

💡 À retenir : Le domaine de définition est strictement positif.

Non, la fonction $\ln$ n'est pas définie en $0$. Elle est définie sur $]0, +\infty[$.

💡 À retenir : Le domaine de définition est strictement positif.

11. Comment calculer ln(8) en fonction de ln(2) ?

On écrit $8$ sous forme de puissance : $8 = 2^3$ .
On utilise la propriété $\ln(a^r) = r\ln(a)$ .
$\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$ .

💡 À retenir : Décomposez toujours les nombres en facteurs premiers.

On écrit $8$ sous forme de puissance : $8 = 2^3$.
On utilise la propriété $\ln(a^r) = r\ln(a)$.
$\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$.

💡 À retenir : Décomposez toujours les nombres en facteurs premiers.

12. Est-ce que la dérivée de ln(x) est 1/x ?

Oui, c'est la règle fondamentale. Pour tout $x > 0$ , $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ .

💡 À retenir : C'est la dérivée la plus importante du chapitre.

Oui, c'est la règle fondamentale. Pour tout $x > 0$, $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

💡 À retenir : C'est la dérivée la plus importante du chapitre.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = \ln(x^2 - 4)$ . Déterminer le domaine de définition $D_f$ et calculer $f'(x)$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = \ln(x^2 - 4)$. Déterminer le domaine de définition $D_f$ et calculer $f'(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $]0, +\infty[$ l'équation suivante : $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ .

Exercice 2

Résoudre dans $]0, +\infty[$ l'équation suivante : $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Étudier le signe de $g(x) = \ln(x) - 1$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 3

Étudier le signe de $g(x) = \ln(x) - 1$ sur $]0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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