Mathématiques · 2ème Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans le cadre de votre programme, l'étude des probabilités se limite aux expériences aléatoires à issues finies.

Univers ( $\Omega$ ) : L'ensemble de toutes les issues possibles.
Événement ( $A$ ) : Une partie de $\Omega$ .
Probabilité d'un événement $P(A)$ : Si tous les événements élémentaires sont équiprobables, alors : $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$
Propriétés :
- $0 \leq P(A) \leq 1$ .
- $P(\Omega) = 1$ et $P(\emptyset) = 0$ .
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ (où $\bar{A}$ est l'événement contraire).
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les outils du chapitre précédent (Tirages avec/sans remise, arrangements, combinaisons $C_n^k$ ).
Calcul de l'événement contraire : Très utile quand la question contient "au moins un".
Lecture d'énoncé : Identifier si le tirage est simultané (combinaisons) ou successif avec/sans remise.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire une boule. $P(\text{Rouge}) = \frac{3}{5} = 0,6$ .
Exemple 2 : Tirage simultané de 2 boules parmi 5. $\text{card}(\Omega) = C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.
Confondre "tirage simultané" (ordre ne compte pas, $C_n^k$ ) et "tirage successif avec remise" (ordre compte, $n^k$ ).
Oublier de simplifier les fractions dans le résultat final.

L'essentiel du cours

Dans le cadre de votre programme, l'étude des probabilités se limite aux expériences aléatoires à issues finies.

Univers ($\Omega$) : L'ensemble de toutes les issues possibles.
Événement ($A$) : Une partie de $\Omega$.
Probabilité d'un événement $P(A)$ : Si tous les événements élémentaires sont équiprobables, alors : $$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$
Propriétés :
- $0 \leq P(A) \leq 1$.
- $P(\Omega) = 1$ et $P(\emptyset) = 0$.
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ (où $\bar{A}$ est l'événement contraire).
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les outils du chapitre précédent (Tirages avec/sans remise, arrangements, combinaisons $C_n^k$).
Calcul de l'événement contraire : Très utile quand la question contient "au moins un".
Lecture d'énoncé : Identifier si le tirage est simultané (combinaisons) ou successif avec/sans remise.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire une boule. $P(\text{Rouge}) = \frac{3}{5} = 0,6$.
Exemple 2 : Tirage simultané de 2 boules parmi 5. $\text{card}(\Omega) = C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.

Erreurs fréquentes

Oublier que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.
Confondre "tirage simultané" (ordre ne compte pas, $C_n^k$) et "tirage successif avec remise" (ordre compte, $n^k$).
Oublier de simplifier les fractions dans le résultat final.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

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Quelle est la valeur de $C_3^1$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre tirage simultané et successif ?

Simultané : Tu prends plusieurs objets en même temps. L'ordre n'a pas d'importance. On utilise les combinaisons $C_n^k$ .
Successif : Tu prends les objets un par un. Si c'est "avec remise", tu remets la boule avant de tirer la suivante. Si c'est "sans remise", tu ne la remets pas.

💡 À retenir : Simultané = $C_n^k$ . Successif sans remise = Arrangements. Successif avec remise = Puissances.

Simultané : Tu prends plusieurs objets en même temps. L'ordre n'a pas d'importance. On utilise les combinaisons $C_n^k$.
Successif : Tu prends les objets un par un. Si c'est "avec remise", tu remets la boule avant de tirer la suivante. Si c'est "sans remise", tu ne la remets pas.

💡 À retenir : Simultané = $C_n^k$. Successif sans remise = Arrangements. Successif avec remise = Puissances.

kifach n7seb Cn^k b l'calculatrice ?

Tape le nombre $n$ (le total).
Appuie sur la touche "nCr" (souvent au-dessus de la touche division ou multiplication).
Tape le nombre $k$ (le nombre d'objets choisis).
Appuie sur "=".

💡 À retenir : $C_n^k$ est toujours un nombre entier positif.

Tape le nombre $n$ (le total).
Appuie sur la touche "nCr" (souvent au-dessus de la touche division ou multiplication).
Tape le nombre $k$ (le nombre d'objets choisis).
Appuie sur "=".

💡 À retenir : $C_n^k$ est toujours un nombre entier positif.

Est-ce que la probabilité peut être supérieure à 1 ?

Non, jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves un résultat comme 1,5 ou -0,2, c'est que tu as fait une erreur de calcul.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves un résultat comme 1,5 ou -0,2, c'est que tu as fait une erreur de calcul.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

chkoun li kankhedmo biha f l'examen, An^k wla Cn^k ?

Ça dépend de l'énoncé :

Si on te dit "tirage simultané", utilise toujours $C_n^k$ .
Si on te dit "tirage successif sans remise", tu peux utiliser $A_n^k$ ou $C_n^k$ .
La plupart des exercices de bac Lettres utilisent les combinaisons $C_n^k$ .

💡 À retenir : En cas de doute, la combinaison $C_n^k$ est l'outil le plus courant.

Ça dépend de l'énoncé :

Si on te dit "tirage simultané", utilise toujours $C_n^k$.
Si on te dit "tirage successif sans remise", tu peux utiliser $A_n^k$ ou $C_n^k$.
La plupart des exercices de bac Lettres utilisent les combinaisons $C_n^k$.

💡 À retenir : En cas de doute, la combinaison $C_n^k$ est l'outil le plus courant.

C'est quoi un événement contraire ?

L'événement contraire de $A$ , noté $\bar{A}$ , est l'événement qui se réalise si $A$ ne se réalise pas. Par exemple, si $A$ est "tirer une boule rouge", $\bar{A}$ est "ne pas tirer une boule rouge".

💡 À retenir : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, est l'événement qui se réalise si $A$ ne se réalise pas. Par exemple, si $A$ est "tirer une boule rouge", $\bar{A}$ est "ne pas tirer une boule rouge".

💡 À retenir : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

kifach n3ref bli l'evenement howa "au moins une" ?

Quand l'énoncé dit "au moins une", cela signifie "une ou plus". C'est souvent plus simple de calculer l'événement contraire : "aucune".

Calcule $P(\text{aucune})$ .
Fais $1 - P(\text{aucune})$ .

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$ .

Quand l'énoncé dit "au moins une", cela signifie "une ou plus". C'est souvent plus simple de calculer l'événement contraire : "aucune".

Calcule $P(\text{aucune})$.
Fais $1 - P(\text{aucune})$.

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on considère que toutes les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. C'est pour cela qu'on utilise $C_n^k$ .

💡 À retenir : Simultané = Pas d'ordre = Combinaisons.

Non, dans un tirage simultané, on considère que toutes les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. C'est pour cela qu'on utilise $C_n^k$.

💡 À retenir : Simultané = Pas d'ordre = Combinaisons.

Comment calculer le nombre de cas possibles Omega ?

C'est le nombre total de façons de tirer les objets, sans tenir compte des couleurs ou des numéros.

Identifie le nombre total d'objets.
Identifie le nombre d'objets tirés.
Applique la formule $C_n^k$ .

💡 À retenir : $\Omega$ est le dénominateur de ta fraction de probabilité.

C'est le nombre total de façons de tirer les objets, sans tenir compte des couleurs ou des numéros.

Identifie le nombre total d'objets.
Identifie le nombre d'objets tirés.
Applique la formule $C_n^k$.

💡 À retenir : $\Omega$ est le dénominateur de ta fraction de probabilité.

Si j'ai 3 boules rouges et 2 noires, pourquoi P(text{Rouge}) = 3/5 ?

Parce que tu as 3 cas favorables (les 3 boules rouges) sur un total de 5 boules possibles (3 rouges + 2 noires).

💡 À retenir : $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas totaux}}$ .

Parce que tu as 3 cas favorables (les 3 boules rouges) sur un total de 5 boules possibles (3 rouges + 2 noires).

💡 À retenir : $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas totaux}}$.

Est-ce que je dois simplifier les fractions ?

Oui, toujours. Un professeur préfère voir $1/2$ plutôt que $50/100$ . Cela montre que tu maîtrises tes calculs.

💡 À retenir : Simplifie toujours tes fractions au maximum.

Oui, toujours. Un professeur préfère voir $1/2$ plutôt que $50/100$. Cela montre que tu maîtrises tes calculs.

💡 À retenir : Simplifie toujours tes fractions au maximum.

C'est quoi l'événement impossible ?

C'est un événement qui ne peut jamais se produire. Sa probabilité est égale à 0. Par exemple, tirer une boule verte dans une urne qui ne contient que des rouges et des noires.

💡 À retenir : $P(\emptyset) = 0$ .

C'est un événement qui ne peut jamais se produire. Sa probabilité est égale à 0. Par exemple, tirer une boule verte dans une urne qui ne contient que des rouges et des noires.

💡 À retenir : $P(\emptyset) = 0$.

Est-ce que les formules de probabilités changent si on change le nombre de boules ?

Non, les formules restent les mêmes. Ce qui change, ce sont les valeurs de $n$ (total) et $k$ (tirage) que tu remplaces dans $C_n^k$ .

💡 À retenir : La méthode est universelle, seuls les chiffres changent.

Non, les formules restent les mêmes. Ce qui change, ce sont les valeurs de $n$ (total) et $k$ (tirage) que tu remplaces dans $C_n^k$.

💡 À retenir : La méthode est universelle, seuls les chiffres changent.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire 2 boules successivement sans remise.

Calculer le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité de tirer 2 boules de même couleur.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une urne contient 10 jetons : 7 marqués "1" et 3 marqués "2". On tire 2 jetons simultanément.

Calculer la probabilité d'avoir au moins un jeton marqué "2".

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Une urne contient 6 boules : 4 blanches et 2 noires. On tire simultanément 2 boules au hasard.

Calculer le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité de tirer 2 boules blanches.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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