Mathématiques · 2ème Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

حساب التكامل

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le calcul intégral permet de calculer l'aire sous une courbe. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est définie par : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ Propriétés fondamentales :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$
Ordre : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$ .

Méthodes à maîtriser

Trouver une primitive : Utiliser le tableau des primitives usuelles (ex: $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ , $e^x \to e^x$ , $\frac{1}{x} \to \ln|x|$ ).
Appliquer la formule : Calculer $F(b)$ puis $F(a)$ et faire la soustraction.
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par la courbe $(C_f)$ , l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ (en unité d'aire).

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_{1}^{2} (3x^2 + \frac{1}{x}) dx$ :

Primitive de $3x^2$ est $x^3$ et de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$ .
$I = [x^3 + \ln(x)]_{1}^{2} = (2^3 + \ln(2)) - (1^3 + \ln(1))$
$I = 8 + \ln(2) - 1 - 0 = 7 + \ln(2)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier les crochets lors de l'écriture de la primitive.
Inverser les bornes : $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$ .
Oublier que $\ln(1) = 0$ .
Confusion entre primitive et dérivée.

L'essentiel du cours

Le calcul intégral permet de calculer l'aire sous une courbe. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est définie par : $$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$ Propriétés fondamentales :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$
Ordre : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$.

Méthodes à maîtriser

Trouver une primitive : Utiliser le tableau des primitives usuelles (ex: $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$, $e^x \to e^x$, $\frac{1}{x} \to \ln|x|$).
Appliquer la formule : Calculer $F(b)$ puis $F(a)$ et faire la soustraction.
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ (en unité d'aire).

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_{1}^{2} (3x^2 + \frac{1}{x}) dx$ :

Primitive de $3x^2$ est $x^3$ et de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$.
$I = [x^3 + \ln(x)]_{1}^{2} = (2^3 + \ln(2)) - (1^3 + \ln(1))$
$I = 8 + \ln(2) - 1 - 0 = 7 + \ln(2)$.

Erreurs fréquentes

Oublier les crochets lors de l'écriture de la primitive.
Inverser les bornes : $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$.
Oublier que $\ln(1) = 0$.
Confusion entre primitive et dérivée.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 حساب التكامل

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Quelle est la primitive de $f(x) = 3x^2$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'intégrale ila kant l'fonction f(x) = 0?

Si la fonction est nulle, son intégrale est toujours nulle.

La primitive de $0$ est une constante $k$ .
$\int_{a}^{b} 0 dx = [k]_{a}^{b} = k - k = 0$ .

💡 À retenir : L'intégrale d'une fonction nulle sur n'importe quel intervalle est égale à 0.

Si la fonction est nulle, son intégrale est toujours nulle.

La primitive de $0$ est une constante $k$.
$\int_{a}^{b} 0 dx = [k]_{a}^{b} = k - k = 0$.

💡 À retenir : L'intégrale d'une fonction nulle sur n'importe quel intervalle est égale à 0.

Est-ce que l'intégrale peut être négative ?

Oui, tout à fait. L'intégrale représente une valeur algébrique. Si la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx$ sera négative.

💡 À retenir : L'intégrale n'est pas toujours une aire (l'aire est toujours positive, l'intégrale non).

Oui, tout à fait. L'intégrale représente une valeur algébrique. Si la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[a, b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx$ sera négative.

💡 À retenir : L'intégrale n'est pas toujours une aire (l'aire est toujours positive, l'intégrale non).

Chno hiya l'relation de Chasles et imta kanst3mloha?

La relation de Chasles est $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$ .

On l'utilise pour découper un intervalle en deux.
Utile quand la fonction change d'expression (fonction définie par morceaux).

💡 À retenir : Elle permet de "casser" l'intégrale en un point intermédiaire $b$ .

La relation de Chasles est $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$.

On l'utilise pour découper un intervalle en deux.
Utile quand la fonction change d'expression (fonction définie par morceaux).

💡 À retenir : Elle permet de "casser" l'intégrale en un point intermédiaire $b$.

Kifach n7seb l'aire d'un domaine si la courbe est sous l'axe des abscisses ?

Si la courbe est sous l'axe des abscisses, $f(x) \leq 0$ . L'aire est alors égale à $-\int_{a}^{b} f(x) dx$ .

Calcule l'intégrale normalement.
Prends la valeur absolue du résultat final.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, donc on multiplie par $-1$ si l'intégrale est négative.

Si la courbe est sous l'axe des abscisses, $f(x) \leq 0$. L'aire est alors égale à $-\int_{a}^{b} f(x) dx$.

Calcule l'intégrale normalement.
Prends la valeur absolue du résultat final.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, donc on multiplie par $-1$ si l'intégrale est négative.

Est-ce que je dois toujours simplifier ln(e) ou ln(1) ?

Oui, c'est indispensable pour avoir une note complète.

$\ln(1) = 0$ .
$\ln(e) = 1$ .
$\ln(e^n) = n$ .

💡 À retenir : Simplifie toujours tes résultats pour qu'ils soient les plus lisibles possible.

Oui, c'est indispensable pour avoir une note complète.

$\ln(1) = 0$.
$\ln(e) = 1$.
$\ln(e^n) = n$.

💡 À retenir : Simplifie toujours tes résultats pour qu'ils soient les plus lisibles possible.

Comment savoir si j'ai bien trouvé la primitive ?

La méthode est simple : dérive ta primitive !

Si tu as trouvé $F(x)$ , calcule $F'(x)$ .
Si tu retombes exactement sur $f(x)$ , alors ton calcul est correct.

💡 À retenir : La dérivation est la preuve ultime de la justesse de ta primitive.

La méthode est simple : dérive ta primitive !

Si tu as trouvé $F(x)$, calcule $F'(x)$.
Si tu retombes exactement sur $f(x)$, alors ton calcul est correct.

💡 À retenir : La dérivation est la preuve ultime de la justesse de ta primitive.

Est-ce que int{a}^{b} f(x)g(x) dx = int{a}^{b} f(x) dx times int{a}^{b} g(x) dx ?

Non, c'est une erreur très grave. Il n'y a pas de formule pour le produit.

Tu dois développer l'expression avant d'intégrer.
Si tu ne peux pas développer, le calcul est souvent hors programme.

💡 À retenir : L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

Pourquoi on met |x| dans la primitive de 1/x ?

La fonction $\ln(x)$ n'est définie que pour $x > 0$ . En écrivant $\ln|x|$ , on permet à la primitive d'exister même pour des valeurs négatives de $x$ .

💡 À retenir : $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ .

La fonction $\ln(x)$ n'est définie que pour $x > 0$. En écrivant $\ln|x|$, on permet à la primitive d'exister même pour des valeurs négatives de $x$.

💡 À retenir : $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

Est-ce que l'ordre des bornes est important ?

Oui, très important. Si tu inverses les bornes, le signe de l'intégrale change.

$\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$ .

💡 À retenir : Respecte toujours l'ordre des bornes donné dans l'énoncé.

Oui, très important. Si tu inverses les bornes, le signe de l'intégrale change.

$\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$.

💡 À retenir : Respecte toujours l'ordre des bornes donné dans l'énoncé.

Est-ce que la constante C est obligatoire dans le calcul d'une intégrale ?

Non, dans un calcul d'intégrale définie (avec des bornes), la constante $C$ s'annule toujours.

$(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$ .

💡 À retenir : Tu peux oublier $C$ quand tu as des bornes.

Non, dans un calcul d'intégrale définie (avec des bornes), la constante $C$ s'annule toujours.

$(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$.

💡 À retenir : Tu peux oublier $C$ quand tu as des bornes.

Comment calculer l'intégrale d'une fonction exponentielle e^{ax+b} ?

La primitive de $e^{ax+b}$ est $\frac{1}{a} e^{ax+b}$ .

Identifie $a$ (le coefficient devant $x$ ).
Divise par $a$ lors de l'intégration.

💡 À retenir : Ne pas oublier de diviser par le coefficient de $x$ .

La primitive de $e^{ax+b}$ est $\frac{1}{a} e^{ax+b}$.

Identifie $a$ (le coefficient devant $x$).
Divise par $a$ lors de l'intégration.

💡 À retenir : Ne pas oublier de diviser par le coefficient de $x$.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver le résultat ?

La calculatrice peut t'aider à vérifier, mais tu dois rédiger toutes les étapes.

Écris la primitive.
Remplace les bornes.
Donne le résultat final.

💡 À retenir : Seule la méthode compte pour les points à l'examen.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (2x + e^x) dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (2x + e^x) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer l'intégrale suivante : $J = \int_{1}^{e} (\frac{3}{x} - 1) dx$ .

Exercice 2

Calculer l'intégrale suivante : $J = \int_{1}^{e} (\frac{3}{x} - 1) dx$.

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Exercice 3

Soit $f(x) = 4x^3 - 2x$ . Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $(C_f)$ , l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = 4x^3 - 2x$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$.

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