Mathématiques · 2ème Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

دراسة الدوال العددية للسنة الثانية باكالوريا

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ , l'étude d'une fonction consiste à :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Limites aux bornes de $D_f$ : Calculer les limites en $+\infty$ , $-\infty$ ou aux bornes finies.
Dérivée $f'(x)$ : Déterminer le signe de la dérivée pour connaître les variations.
Tableau de variations : Synthèse des variations (croissante si $f'(x) \geq 0$ , décroissante si $f'(x) \leq 0$ ).
Représentation graphique $(C_f)$ : Tracer les asymptotes et les points particuliers (intersections avec les axes).

Méthodes à maîtriser

Calcul de la dérivée : Utiliser les formules usuelles : $(ax+b)'=a$ , $(x^n)'=nx^{n-1}$ , $(uv)'=u'v+uv'$ .
Signe de $f'(x)$ : Si $f'(x)$ est un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ , utiliser le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Asymptotes :
- Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$ , alors $y=b$ est une asymptote horizontale.
- Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ , alors $x=a$ est une asymptote verticale.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

$D_f = \mathbb{R}$ .
$f'(x) = 2x - 4$ .
$2x - 4 = 0 \iff x = 2$ .
$f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Se tromper dans le signe de la dérivée (ne pas oublier de résoudre $f'(x)=0$ ).
Confondre la limite en $+\infty$ et la valeur de la fonction en un point.

L'essentiel du cours

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, l'étude d'une fonction consiste à :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Limites aux bornes de $D_f$ : Calculer les limites en $+\infty$, $-\infty$ ou aux bornes finies.
Dérivée $f'(x)$ : Déterminer le signe de la dérivée pour connaître les variations.
Tableau de variations : Synthèse des variations (croissante si $f'(x) \geq 0$, décroissante si $f'(x) \leq 0$).
Représentation graphique $(C_f)$ : Tracer les asymptotes et les points particuliers (intersections avec les axes).

Méthodes à maîtriser

Calcul de la dérivée : Utiliser les formules usuelles : $(ax+b)'=a$, $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(uv)'=u'v+uv'$.
Signe de $f'(x)$ : Si $f'(x)$ est un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$, utiliser le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
Asymptotes :
- Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$, alors $y=b$ est une asymptote horizontale.
- Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, alors $x=a$ est une asymptote verticale.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

$D_f = \mathbb{R}$.
$f'(x) = 2x - 4$.
$2x - 4 = 0 \iff x = 2$.
$f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Se tromper dans le signe de la dérivée (ne pas oublier de résoudre $f'(x)=0$).
Confondre la limite en $+\infty$ et la valeur de la fonction en un point.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Quel est le domaine de définition de $f(x) = \frac{1}{x-5}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est croissante ou décroissante ?

Calcule la dérivée $f'(x)$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ $f^{'} (x)$ :
- Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante.
- Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.

Calcule la dérivée $f'(x)$.
Étudie le signe de $f'(x)$ :
- Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante.
- Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.

Kifach n7seb domaine de définition dyal chi fonction?

Si c'est un polynôme (ex: $x^2+3x$ ), $D_f = \mathbb{R}$ .
Si c'est une fraction (ex: $\frac{1}{x-2}$ ), il faut que le dénominateur soit différent de 0 ( $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$ ).
Si c'est une racine carrée (ex: $\sqrt{x-1}$ ), il faut que l'intérieur soit positif ( $x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$ ).

💡 À retenir : Le dénominateur ne doit jamais être nul et l'intérieur d'une racine doit être positif.

Si c'est un polynôme (ex: $x^2+3x$), $D_f = \mathbb{R}$.
Si c'est une fraction (ex: $\frac{1}{x-2}$), il faut que le dénominateur soit différent de 0 ($x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$).
Si c'est une racine carrée (ex: $\sqrt{x-1}$), il faut que l'intérieur soit positif ($x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$).

💡 À retenir : Le dénominateur ne doit jamais être nul et l'intérieur d'une racine doit être positif.

C'est quoi une asymptote horizontale ?

Une asymptote horizontale est une droite d'équation $y = L$ vers laquelle la courbe se rapproche quand $x$ devient très grand ( $+\infty$ ) ou très petit ( $-\infty$ ).

Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Si tu trouves un nombre réel $L$ , alors la droite $y=L$ est une asymptote horizontale.

💡 À retenir : Si la limite à l'infini est un nombre, c'est une asymptote horizontale.

Une asymptote horizontale est une droite d'équation $y = L$ vers laquelle la courbe se rapproche quand $x$ devient très grand ($+\infty$) ou très petit ($-\infty$).

Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Si tu trouves un nombre réel $L$, alors la droite $y=L$ est une asymptote horizontale.

💡 À retenir : Si la limite à l'infini est un nombre, c'est une asymptote horizontale.

Chno hiya l'asymptote verticale?

C'est une droite verticale d'équation $x = a$ qui "coupe" le domaine de définition.

Cherche les valeurs interdites (là où le dénominateur s'annule).
Calcule la limite quand $x$ tend vers cette valeur $a$ .
Si tu trouves $\pm \infty$ , alors $x=a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Une limite infinie en un point fini donne une asymptote verticale.

C'est une droite verticale d'équation $x = a$ qui "coupe" le domaine de définition.

Cherche les valeurs interdites (là où le dénominateur s'annule).
Calcule la limite quand $x$ tend vers cette valeur $a$.
Si tu trouves $\pm \infty$, alors $x=a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Une limite infinie en un point fini donne une asymptote verticale.

Est-ce que je dois toujours calculer la dérivée seconde ?

Non, dans le programme de 2ème Bac Lettres, l'étude de la dérivée seconde (concavité/points d'inflexion) n'est pas exigée. Contente-toi de la dérivée première pour les variations.

💡 À retenir : La dérivée première suffit pour dresser le tableau de variations.

Kifach nrssem l'asymptote f l'examen?

Trace la droite en pointillés (par exemple $y=2$ est une ligne horizontale passant par 2 sur l'axe des ordonnées).
Fais en sorte que ta courbe se rapproche de cette ligne sans jamais forcément la traverser (selon le cas).

💡 À retenir : L'asymptote est un guide pour le tracé de la courbe.

Trace la droite en pointillés (par exemple $y=2$ est une ligne horizontale passant par 2 sur l'axe des ordonnées).
Fais en sorte que ta courbe se rapproche de cette ligne sans jamais forcément la traverser (selon le cas).

💡 À retenir : L'asymptote est un guide pour le tracé de la courbe.

Comment calculer l'intersection avec l'axe des abscisses ?

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$ . Les solutions sont les points où la courbe coupe l'axe des $x$ .

💡 À retenir : Résoudre $f(x)=0$ donne les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les solutions sont les points où la courbe coupe l'axe des $x$.

💡 À retenir : Résoudre $f(x)=0$ donne les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour le tableau de variations ?

Tu peux l'utiliser pour vérifier tes calculs, mais tu dois obligatoirement rédiger les étapes de calcul de la dérivée et le signe sur ta copie.

💡 À retenir : Seule la méthode détaillée est notée à l'examen.

Si f'(x) est toujours positive, comment est la courbe ?

Si $f'(x) > 0$ sur tout le domaine, alors la fonction est strictement croissante sur tout son domaine. La courbe "monte" de gauche à droite.

💡 À retenir : Dérivée positive = fonction croissante.

Si $f'(x) > 0$ sur tout le domaine, alors la fonction est strictement croissante sur tout son domaine. La courbe "monte" de gauche à droite.

💡 À retenir : Dérivée positive = fonction croissante.

Qu'est-ce qu'un extremum ?

C'est un point où la fonction change de sens (un sommet ou un creux).

Il se trouve là où $f'(x) = 0$ et change de signe.
Calcule $f(x_0)$ pour avoir l'ordonnée du point.

💡 À retenir : Un extremum est un point où la dérivée s'annule en changeant de signe.

C'est un point où la fonction change de sens (un sommet ou un creux).

Il se trouve là où $f'(x) = 0$ et change de signe.
Calcule $f(x_0)$ pour avoir l'ordonnée du point.

💡 À retenir : Un extremum est un point où la dérivée s'annule en changeant de signe.

Comment savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'asymptote ?

Il faut étudier le signe de la différence $f(x) - y_{asymptote}$ .

Si $f(x) - y > 0$ , la courbe est au-dessus.
Si $f(x) - y < 0$ , la courbe est en dessous.

💡 À retenir : Le signe de la différence indique la position relative.

Il faut étudier le signe de la différence $f(x) - y_{asymptote}$.

Si $f(x) - y > 0$, la courbe est au-dessus.
Si $f(x) - y < 0$, la courbe est en dessous.

💡 À retenir : Le signe de la différence indique la position relative.

Est-ce que le domaine de définition est toujours mathbb{R} ?

Non, seulement pour les fonctions polynômes. Pour les fractions rationnelles, il faut exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.

💡 À retenir : Vérifie toujours le dénominateur avant de commencer.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 2x - 3$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 2x - 3$.

Déterminer $D_f$.
Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer les limites aux bornes de $D_f$ .
En déduire les asymptotes.

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$.

Déterminer $D_f$.
Calculer les limites aux bornes de $D_f$.
En déduire les asymptotes.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Étudier la fonction $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ .

Calculer les limites en $\pm \infty$ .
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Exercice 3

Étudier la fonction $f(x) = -x^2 + 4x - 3$.

Calculer les limites en $\pm \infty$.
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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