Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Agronomiques

Nombres complexes (Partie 2)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Interprétation géométrique

Soient $A(z_A)$ et $B(z_B)$ deux points du plan complexe :

La distance $AB = |z_B - z_A|$ .
L'angle $(\vec{u}, \vec{AB}) = \arg(z_B - z_A) \pmod{2\pi}$ , où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de l'axe des réels.
L'angle $(\vec{AB}, \vec{CD}) = \arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \pmod{2\pi}$ .

2. Transformations du plan

Soit $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M(z)$ par une transformation $f$ :

Translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$ : $z' = z + b$
Homothétie de centre $\Omega(z_\Omega)$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}$ : $z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega)$
Rotation de centre $\Omega(z_\Omega)$ et d'angle $\theta \in \mathbb{R}$ : $z' - z_\Omega = e^{i\theta}(z - z_\Omega)$

Méthodes à maîtriser

Nature d'un triangle : Pour prouver qu'un triangle $ABC$ est équilatéral, on calcule le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et on vérifie s'il est égal à $e^{i\frac{\pi}{3}}$ ou $e^{-i\frac{\pi}{3}}$ .
Identifier une transformation : À partir de l'écriture $z' = az + b$ $z^{'} = a z + b$ :
- Si $a = 1$ : c'est une translation de vecteur d'affixe $b$ .
- Si $a \neq 1$ $a \neq = 1$ : on cherche le point fixe $\Omega$ $Ω$ tel que $z_\Omega = az_\Omega + b$ $z_{Ω} = a z_{Ω} + b$ .
  - Si $|a| = 1$ : c'est une rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\arg(a)$ .
  - Si $a \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}$ : c'est une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $a$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer la distance entre $A(2+i)$ et $B(5-3i)$ .

On calcule la différence des affixes : $z_B - z_A = (5-3i) - (2+i) = 3 - 4i$ .
On calcule le module : $AB = |3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

Exemple 2 : Soit la transformation $z' = i z + 1$ . Quelle est sa nature ?

Ici $a = i$ . Comme $|i| = 1$ et $i \neq 1$ , c'est une rotation.
Cherchons le centre $\Omega(z_\Omega)$ : $z_\Omega = i z_\Omega + 1 \implies z_\Omega(1-i) = 1 \implies z_\Omega = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{2}$ .
La transformation est une rotation de centre $\Omega(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)$ et d'angle $\arg(i) = \frac{\pi}{2}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $\arg(z_B - z_A)$ avec $\arg(z_B) - \arg(z_A)$ .
Oublier de vérifier si le rapport $a$ est réel pour une homothétie.
Se tromper dans le calcul du point fixe $\Omega$ (oublier de soustraire $az_\Omega$ pour isoler $z_\Omega$ ).

L'essentiel du cours

1. Interprétation géométrique

Soient $A(z_A)$ et $B(z_B)$ deux points du plan complexe :

La distance $AB = |z_B - z_A|$.
L'angle $(\vec{u}, \vec{AB}) = \arg(z_B - z_A) \pmod{2\pi}$, où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de l'axe des réels.
L'angle $(\vec{AB}, \vec{CD}) = \arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \pmod{2\pi}$.

2. Transformations du plan

Soit $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M(z)$ par une transformation $f$ :

Translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$ : $$z' = z + b$$
Homothétie de centre $\Omega(z_\Omega)$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^* \setminus {1}$ : $$z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega)$$
Rotation de centre $\Omega(z_\Omega)$ et d'angle $\theta \in \mathbb{R}$ : $$z' - z_\Omega = e^{i\theta}(z - z_\Omega)$$

Méthodes à maîtriser

Nature d'un triangle : Pour prouver qu'un triangle $ABC$ est équilatéral, on calcule le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et on vérifie s'il est égal à $e^{i\frac{\pi}{3}}$ ou $e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
Identifier une transformation : À partir de l'écriture $z' = az + b$ :
- Si $a = 1$ : c'est une translation de vecteur d'affixe $b$.
- Si $a \neq 1$ : on cherche le point fixe $\Omega$ tel que $z_\Omega = az_\Omega + b$.
  - Si $|a| = 1$ : c'est une rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\arg(a)$.
  - Si $a \in \mathbb{R}^* \setminus {1}$ : c'est une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $a$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer la distance entre $A(2+i)$ et $B(5-3i)$.

On calcule la différence des affixes : $z_B - z_A = (5-3i) - (2+i) = 3 - 4i$.
On calcule le module : $AB = |3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Exemple 2 : Soit la transformation $z' = i z + 1$. Quelle est sa nature ?

Ici $a = i$. Comme $|i| = 1$ et $i \neq 1$, c'est une rotation.
Cherchons le centre $\Omega(z_\Omega)$ : $z_\Omega = i z_\Omega + 1 \implies z_\Omega(1-i) = 1 \implies z_\Omega = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{2}$.
La transformation est une rotation de centre $\Omega(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)$ et d'angle $\arg(i) = \frac{\pi}{2}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $\arg(z_B - z_A)$ avec $\arg(z_B) - \arg(z_A)$.
Oublier de vérifier si le rapport $a$ est réel pour une homothétie.
Se tromper dans le calcul du point fixe $\Omega$ (oublier de soustraire $az_\Omega$ pour isoler $z_\Omega$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Nombres complexes (Partie 2)

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Quelle est l'affixe du centre d'une translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$ ?

Quelle est l'affixe du centre d'une translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l'distance bin jouj points A et B f l'plan complexe?

La distance $AB$ est égale au module de la différence de leurs affixes.

Calcule $z_B - z_A$ .
Calcule le module $|z_B - z_A| = \sqrt{\text{Re}(z_B-z_A)^2 + \text{Im}(z_B-z_A)^2}$ .

💡 À retenir : $AB = |z_B - z_A|$ .

La distance $AB$ est égale au module de la différence de leurs affixes.

Calcule $z_B - z_A$.
Calcule le module $|z_B - z_A| = \sqrt{\text{Re}(z_B-z_A)^2 + \text{Im}(z_B-z_A)^2}$.

💡 À retenir : $AB = |z_B - z_A|$.

Kifach n3ref wach hadik transformation rotation awla homothétie?

Regarde le coefficient $a$ dans $z' = az + b$ :

Si $|a| = 1$ (et $a \neq 1$ ), c'est une rotation.
Si $a$ est un nombre réel (et $a \neq 1$ ), c'est une homothétie.

💡 À retenir : Rotation $\implies |a|=1$ ; Homothétie $\implies a \in \mathbb{R}$ .

Regarde le coefficient $a$ dans $z' = az + b$ :

Si $|a| = 1$ (et $a \neq 1$), c'est une rotation.
Si $a$ est un nombre réel (et $a \neq 1$), c'est une homothétie.

💡 À retenir : Rotation $\implies |a|=1$ ; Homothétie $\implies a \in \mathbb{R}$.

Chno l'farq bin z et bar{z} f l'géométrie?

Le point $M(z)$ et son conjugué $\bar{M}(\bar{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe des réels (l'axe des abscisses).

💡 À retenir : Symétrie par rapport à l'axe des réels.

Le point $M(z)$ et son conjugué $\bar{M}(\bar{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe des réels (l'axe des abscisses).

💡 À retenir : Symétrie par rapport à l'axe des réels.

Comment calculer l'angle (vec{AB}, vec{AC}) ?

L'angle est égal à l'argument du rapport des affixes : $\text{Angle} = \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$

💡 À retenir : Toujours faire $\frac{\text{affixe du vecteur final}}{\text{affixe du vecteur initial}}$ .

L'angle est égal à l'argument du rapport des affixes : $$\text{Angle} = \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$$

💡 À retenir : Toujours faire $\frac{\text{affixe du vecteur final}}{\text{affixe du vecteur initial}}$.

Est-ce qu'une translation peut avoir un centre ?

Non, une translation n'a pas de point fixe (sauf si le vecteur est nul). Elle déplace tous les points de la même manière.

💡 À retenir : Translation $\implies z' = z + b$ .

Non, une translation n'a pas de point fixe (sauf si le vecteur est nul). Elle déplace tous les points de la même manière.

💡 À retenir : Translation $\implies z' = z + b$.

Comment trouver le centre d'une rotation ?

Le centre $\Omega$ est le point invariant, c'est-à-dire le point qui ne bouge pas :

Résoudre l'équation $z = az + b$ .
La solution $z_\Omega$ est l'affixe du centre.

💡 À retenir : Résoudre $z = f(z)$ .

Le centre $\Omega$ est le point invariant, c'est-à-dire le point qui ne bouge pas :

Résoudre l'équation $z = az + b$.
La solution $z_\Omega$ est l'affixe du centre.

💡 À retenir : Résoudre $z = f(z)$.

Si |zB - zA| = |zC - zA|, qu'est-ce que cela signifie ?

Cela signifie que les distances $AB$ et $AC$ sont égales. Les points $B$ et $C$ sont sur le même cercle de centre $A$ .

💡 À retenir : Module = Distance.

Cela signifie que les distances $AB$ et $AC$ sont égales. Les points $B$ et $C$ sont sur le même cercle de centre $A$.

💡 À retenir : Module = Distance.

Quelle est l'affixe du milieu d'un segment [AB] ?

L'affixe du milieu $I$ est la moyenne des affixes de $A$ et $B$ : $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$

💡 À retenir : Moyenne arithmétique.

L'affixe du milieu $I$ est la moyenne des affixes de $A$ et $B$ : $$z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$$

💡 À retenir : Moyenne arithmétique.

Comment prouver que 4 points sont alignés ?

On calcule le rapport $\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ . Si ce rapport est un nombre réel, alors les points $A, B, D$ sont alignés.

💡 À retenir : Rapport réel $\implies$ alignement.

On calcule le rapport $\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$. Si ce rapport est un nombre réel, alors les points $A, B, D$ sont alignés.

💡 À retenir : Rapport réel $\implies$ alignement.

Comment prouver que 4 points sont cocycliques (sur un cercle) ?

On calcule le rapport $\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A} \div \frac{z_D - z_C}{z_B - z_C}$ (ou une méthode similaire avec les angles). Si l'argument du rapport est $0$ ou $\pi$ , ils sont alignés. Si l'argument est autre, on utilise les propriétés des angles inscrits. (à vérifier par le professeur pour la rigueur exacte du niveau agronomie).

💡 À retenir : Utiliser les angles inscrits.

On calcule le rapport $\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A} \div \frac{z_D - z_C}{z_B - z_C}$ (ou une méthode similaire avec les angles). Si l'argument du rapport est $0$ ou $\pi$, ils sont alignés. Si l'argument est autre, on utilise les propriétés des angles inscrits. (à vérifier par le professeur pour la rigueur exacte du niveau agronomie).

💡 À retenir : Utiliser les angles inscrits.

Si z' = z + 2i, c'est quoi la transformation ?

C'est une translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $2i$ . Le mouvement est vertical vers le haut.

💡 À retenir : $z' = z + b \implies$ Translation.

C'est une translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $2i$. Le mouvement est vertical vers le haut.

💡 À retenir : $z' = z + b \implies$ Translation.

Si z' = 3z, c'est quoi la transformation ?

C'est une homothétie de centre l'origine $O(0)$ et de rapport $k=3$ .

💡 À retenir : $z' = kz \implies$ Homothétie de centre $O$ .

C'est une homothétie de centre l'origine $O(0)$ et de rapport $k=3$.

💡 À retenir : $z' = kz \implies$ Homothétie de centre $O$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 1$ , $z_B = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_C = 2 + i\sqrt{3}$ .

Calculer les distances $AB, BC$ et $AC$ .
Déterminer la nature du triangle $ABC$ .
Soit $D$ le point d'affixe $z_D = 2$ . Montrer que $ABCD$ est un rectangle.

Exercice 1

Soient les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 1$, $z_B = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_C = 2 + i\sqrt{3}$.

Calculer les distances $AB, BC$ et $AC$.
Déterminer la nature du triangle $ABC$.
Soit $D$ le point d'affixe $z_D = 2$. Montrer que $ABCD$ est un rectangle.

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Exercice 2

On considère la transformation $f$ qui à tout point $M(z)$ associe le point $M'(z')$ tel que : $z' = (1+i)z + 2$

Montrer que $f$ n'est pas une rotation ni une homothétie simple.
Déterminer l'affixe du point fixe $\Omega$ de cette transformation.
En déduire la nature de la transformation $f$ .

Exercice 2

On considère la transformation $f$ qui à tout point $M(z)$ associe le point $M'(z')$ tel que : $$z' = (1+i)z + 2$$

Montrer que $f$ n'est pas une rotation ni une homothétie simple.
Déterminer l'affixe du point fixe $\Omega$ de cette transformation.
En déduire la nature de la transformation $f$.

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Exercice 3

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes $z_A = -1$ et $z_B = 1$ .

Soit $C$ le point d'affixe $z_C = i$ . Calculer $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .
En déduire la nature du triangle $ABC$ .
Soit $C'$ le point d'affixe $z_{C'} = -i$ . Calculer $\frac{z_{C'} - z_A}{z_B - z_A}$ .
Quelle est la relation géométrique entre les triangles $ABC$ et $ABC'$ ?

Exercice 3

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes $z_A = -1$ et $z_B = 1$.

Soit $C$ le point d'affixe $z_C = i$. Calculer $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
En déduire la nature du triangle $ABC$.
Soit $C'$ le point d'affixe $z_{C'} = -i$. Calculer $\frac{z_{C'} - z_A}{z_B - z_A}$.
Quelle est la relation géométrique entre les triangles $ABC$ et $ABC'$ ?

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