Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Agronomiques

Calcul intégral

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , alors l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$
Propriétés :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (cf(x) + g(x)) \, dx = c\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx$
Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx$

Valeur moyenne : La valeur moyenne $M$ d'une fonction $f$ continue sur $[a, b]$ est : $M = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
Intégration par parties (IPP) : Si $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur $[a, b]$ telles que $u'$ et $v'$ sont continues : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \, dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, dx$
Aire : L'aire $\mathcal{A}$ comprise entre la courbe de $f$ (positive) et l'axe des abscisses sur $[a, b]$ est : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

Méthodes à maîtriser

Calculer une intégrale simple : Trouver la primitive $F(x)$ , puis remplacer $x$ par la borne supérieure et soustraire la valeur de la borne inférieure.
Utiliser l'IPP : Identifier $u(x)$ (la fonction qui se simplifie en dérivant, ex: $x^n$ ) et $v'(x)$ (la fonction dont on connaît la primitive, ex: $e^x$ ou $\cos(x)$ ).
Calculer une aire entre deux courbes : Si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a, b]$ , l'aire est $\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $I = \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) \, dx$ .

On cherche une primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ .
$F(x) = x^3 + x^2$ .
$I = [x^3 + x^2]_{0}^{1} = (1^3 + 1^2) - (0^3 + 0^2) = 2$ .

Exemple 2 : Calculer $J = \int_{0}^{1} x e^x \, dx$ par IPP.

On pose $u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x \Rightarrow v(x) = e^x$ .
$J = [x e^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1 \cdot e^x \, dx$ .
$J = (1 \cdot e^1 - 0) - [e^x]_{0}^{1} = e - (e^1 - e^0) = e - e + 1 = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes : Toujours utiliser les mêmes bornes $a$ et $b$ pour les deux parties de l'IPP.
Erreur de signe : Faire attention au signe "moins" devant l'intégrale dans la formule de l'IPP.
Confondre aire et intégrale : L'intégrale peut être négative, mais une aire est toujours positive. Si $f(x) < 0$ , l'aire est $\int_{a}^{b} -f(x) \, dx$ .

L'essentiel du cours

Définition : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est : $$\int_{a}^{b} f(x) , dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$
Propriétés :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (cf(x) + g(x)) , dx = c\int_{a}^{b} f(x) , dx + \int_{a}^{b} g(x) , dx$
Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) , dx + \int_{b}^{c} f(x) , dx = \int_{a}^{c} f(x) , dx$

Valeur moyenne : La valeur moyenne $M$ d'une fonction $f$ continue sur $[a, b]$ est : $$M = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) , dx$$
Intégration par parties (IPP) : Si $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur $[a, b]$ telles que $u'$ et $v'$ sont continues : $$\int_{a}^{b} u(x)v'(x) , dx = [u(x)v(x)]{a}^{b} - \int{a}^{b} u'(x)v(x) , dx$$
Aire : L'aire $\mathcal{A}$ comprise entre la courbe de $f$ (positive) et l'axe des abscisses sur $[a, b]$ est : $$\mathcal{A} = \int_{a}^{b} f(x) , dx$$

Méthodes à maîtriser

Calculer une intégrale simple : Trouver la primitive $F(x)$, puis remplacer $x$ par la borne supérieure et soustraire la valeur de la borne inférieure.
Utiliser l'IPP : Identifier $u(x)$ (la fonction qui se simplifie en dérivant, ex: $x^n$) et $v'(x)$ (la fonction dont on connaît la primitive, ex: $e^x$ ou $\cos(x)$).
Calculer une aire entre deux courbes : Si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a, b]$, l'aire est $\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) , dx$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $I = \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) , dx$.

On cherche une primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$.
$F(x) = x^3 + x^2$.
$I = [x^3 + x^2]_{0}^{1} = (1^3 + 1^2) - (0^3 + 0^2) = 2$.

Exemple 2 : Calculer $J = \int_{0}^{1} x e^x , dx$ par IPP.

On pose $u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x \Rightarrow v(x) = e^x$.
$J = [x e^x]{0}^{1} - \int{0}^{1} 1 \cdot e^x , dx$.
$J = (1 \cdot e^1 - 0) - [e^x]_{0}^{1} = e - (e^1 - e^0) = e - e + 1 = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes : Toujours utiliser les mêmes bornes $a$ et $b$ pour les deux parties de l'IPP.
Erreur de signe : Faire attention au signe "moins" devant l'intégrale dans la formule de l'IPP.
Confondre aire et intégrale : L'intégrale peut être négative, mais une aire est toujours positive. Si $f(x) < 0$, l'aire est $\int_{a}^{b} -f(x) , dx$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral

1/4

Quelle est une primitive de $f(x) = e^{2x}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment calculer l'aire entre deux courbes f et g ?

Trouver les points d'intersection de $f$ et $g$ (ce sont les bornes $a$ et $b$ ).
Déterminer laquelle est la plus grande sur $[a, b]$ .
Calculer $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$ .

💡 À retenir : On fait toujours (la plus grande) $-$ (la plus petite).

Trouver les points d'intersection de $f$ et $g$ (ce sont les bornes $a$ et $b$).
Déterminer laquelle est la plus grande sur $[a, b]$.
Calculer $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| , dx$.

💡 À retenir : On fait toujours (la plus grande) $-$ (la plus petite).

La primitive est-elle unique ?

Non, une fonction possède une infinité de primitives. Si $F(x)$ est une primitive, alors $F(x) + C$ (où $C$ est une constante réelle) est aussi une primitive.

💡 À retenir : Pour une intégrale définie (avec bornes), la constante $C$ s'annule.

Non, une fonction possède une infinité de primitives. Si $F(x)$ est une primitive, alors $F(x) + C$ (où $C$ est une constante réelle) est aussi une primitive.

💡 À retenir : Pour une intégrale définie (avec bornes), la constante $C$ s'annule.

Est-ce que l'intégrale int{a}^{b} f(x) , dx est toujours positive ?

Non. L'intégrale est positive si la fonction est majoritairement au-dessus de l'axe des abscisses, mais elle est négative si la fonction est majoritairement en dessous.

💡 À retenir : L'intégrale est une somme algébrique, l'aire est une valeur géométrique positive.

Comment choisir u(x) et v'(x) lors d'une intégration par parties ?

Utilisez la règle "ALPES" pour choisir $u(x)$ par priorité :

Arcsin / Arccos
Logarithme ( $\ln$ )
Polynôme ( $x^2, x+1...$ )
Exponentielle ( $e^x$ )
Sinus / Cosinus

💡 À retenir : Le premier type de la liste devient votre $u(x)$ .

Utilisez la règle "ALPES" pour choisir $u(x)$ par priorité :

Arcsin / Arccos
Logarithme ($\ln$)
Polynôme ($x^2, x+1...$)
Exponentielle ($e^x$)
Sinus / Cosinus

💡 À retenir : Le premier type de la liste devient votre $u(x)$.

Quelle est la primitive de frac{1}{x} ?

La primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$ (sur l'intervalle $]0, +\infty[$ ).

💡 À retenir : C'est une formule fondamentale pour les calculs d'intégrales.

La primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$ (sur l'intervalle $]0, +\infty[$).

💡 À retenir : C'est une formule fondamentale pour les calculs d'intégrales.

Chno hiya l'primitive dyal f(x) = x^n?

La primitive de $x^n$ (avec $n \neq -1$ ) est $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

💡 À retenir : On ajoute 1 à l'exposant et on divise par ce nouvel exposant.

La primitive de $x^n$ (avec $n \neq -1$) est $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

💡 À retenir : On ajoute 1 à l'exposant et on divise par ce nouvel exposant.

Kifach n7seb l'aire bin la courbe o l'axe des abscisses?

Vérifier si la fonction est positive sur l'intervalle $[a, b]$ .
Si $f(x) \geq 0$ , l'aire est $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ .
Si $f(x) \leq 0$ , l'aire est $-\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ (ou $\int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ ).

💡 À retenir : Une aire est toujours un résultat positif.

Vérifier si la fonction est positive sur l'intervalle $[a, b]$.
Si $f(x) \geq 0$, l'aire est $\int_{a}^{b} f(x) , dx$.
Si $f(x) \leq 0$, l'aire est $-\int_{a}^{b} f(x) , dx$ (ou $\int_{a}^{b} |f(x)| , dx$).

💡 À retenir : Une aire est toujours un résultat positif.

Chno hiya l'formule dyal l'intégration par parties?

La formule est : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \, dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, dx$ .

💡 À retenir : On choisit $u(x)$ de façon à ce que sa dérivée $u'(x)$ soit plus simple.

La formule est : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) , dx = [u(x)v(x)]{a}^{b} - \int{a}^{b} u'(x)v(x) , dx$.

💡 À retenir : On choisit $u(x)$ de façon à ce que sa dérivée $u'(x)$ soit plus simple.

Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction ?

La valeur moyenne $M$ sur $[a, b]$ se calcule par la formule : $M = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ .

💡 À retenir : On divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.

La valeur moyenne $M$ sur $[a, b]$ se calcule par la formule : $M = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) , dx$.

💡 À retenir : On divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.

Que faire si la fonction n'est pas continue sur [a, b] ?

Si la fonction est discontinue en un point, on ne peut pas appliquer directement le théorème fondamental. Il faut couper l'intégrale en deux parties au point de discontinuité (si l'intégrale est impropre, cela demande une étude de limite).

💡 À retenir : La continuité est une condition suffisante pour l'existence de l'intégrale.

Est-ce que int{a}^{b} f(x) , dx = -int{b}^{a} f(x) , dx ?

Oui, c'est une propriété fondamentale. Inverser les bornes change le signe du résultat.

💡 À retenir : $\int_{a}^{b} = -\int_{b}^{a}$ .

Oui, c'est une propriété fondamentale. Inverser les bornes change le signe du résultat.

💡 À retenir : $\int_{a}^{b} = -\int_{b}^{a}$.

Comment calculer int{a}^{b} c cdot f(x) , dx où c est une constante ?

On peut sortir la constante de l'intégrale : $c \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ .

💡 À retenir : C'est la propriété de linéarité.

On peut sortir la constante de l'intégrale : $c \int_{a}^{b} f(x) , dx$.

💡 À retenir : C'est la propriété de linéarité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ par $f(x) = 4x^3 - 2x$ .

Calculer $I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx$ .
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0, 1]$ .

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ par $f(x) = 4x^3 - 2x$.

Calculer $I = \int_{0}^{1} f(x) , dx$.
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0, 1]$.

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Exercice 2

Calculer l'intégrale suivante par intégration par parties : $J = \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx$

Exercice 2

Calculer l'intégrale suivante par intégration par parties : $J = \int_{1}^{e} \ln(x) , dx$

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Exercice 3

Soit $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ .

Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ délimitée par ces deux courbes.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$.

Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ délimitée par ces deux courbes.

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