Calcul des probabilités

1. Analyser l'énoncé pour identifier les étapes de l'expérience (ex: premier tirage, puis deuxième tirage).
2. Dessiner les branches du premier niveau (les premières possibilités).
3. Écrire les probabilités sur chaque branche (la somme des probabilités partant d'un même point doit toujours être égale à 1).

💡 À retenir : L'arbre est une carte routière : chaque chemin est un produit de probabilités.

Si les événements sont incompatibles, cela signifie qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps, donc $P(A \cap B) = 0$. La formule devient simplement : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

💡 À retenir : Incompatible = Intersection nulle.

• $P(A \cap B)$ est la probabilité que $A$ ET $B$ se produisent en même temps dans l'univers total.
• $P(A|B)$ est la probabilité que $A$ se produise SACHANT QUE $B$ est déjà réalisé (on réduit l'univers à $B$). $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

💡 À retenir : Le symbole $|$ signifie "sachant que".

Si on cherche la probabilité de "ne pas avoir $A$", on utilise : $$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$ C'est très utile pour les questions de type "au moins un".

💡 À retenir : $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

Il faut vérifier si l'égalité suivante est vraie : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$ Si l'égalité est respectée, ils sont indépendants. Sinon, ils sont dépendants.

💡 À retenir : L'indépendance est une propriété mathématique, pas une intuition.

C'est un ensemble d'événements $B_1, B_2, \dots, B_n$ qui respectent deux conditions :

1. Ils ne se chevauchent pas ($B_i \cap B_j = \emptyset$).
2. Leur union forme tout l'univers ($\cup B_i = \Omega$). C'est ce qu'on utilise pour la formule des probabilités totales.

💡 À retenir : Une partition découpe l'univers en morceaux sans laisser de vide et sans doublons.

1. Lister toutes les valeurs possibles $x_i$ de la variable $X$.
2. Trouver la probabilité $P(X=x_i)$ pour chaque valeur.
3. Faire la somme des produits : $E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)$.

💡 À retenir : L'espérance est la moyenne pondérée des résultats.

La variance $V(X)$ mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance, mais son unité est le carré de l'unité de $X$. L'écart-type $\sigma(X)$ est simplement la racine carrée de la variance ($\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$), ce qui permet de revenir à la même unité que $X$.

💡 À retenir : $\sigma(X)$ est plus facile à interpréter que $V(X)$.

On l'utilise quand :

1. On répète $n$ fois la même expérience.
2. Chaque épreuve n'a que deux issues (Succès/Échec).
3. Les épreuves sont indépendantes.
4. La probabilité de succès $p$ est constante.

💡 À retenir : Cherchez les mots "répétition", "indépendant" et "succès/échec".

On utilise la formule des combinaisons : $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Où $n!$ (factorielle $n$) est $n \times (n-1) \times \dots \times 1$.

💡 À retenir : $\binom{n}{k}$ est le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$.

Oui, si et seulement si $A$ et $B$ sont incompatibles ($P(A \cap B) = 0$). Si $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles, alors $P(A \cup B) = 0,3 + 0,4 - P(A \cap B)$, ce qui sera strictement inférieur à $0,7$.

💡 À retenir : $P(A \cup B) \le P(A) + P(B)$.

Cela signifie "la probabilité que l'événement $B$ se réalise, sachant que l'événement $A$ est déjà réalisé". On restreint l'univers de calcul à l'événement $A$.

💡 À retenir : La lettre en indice est la condition (ce que l'on sait déjà).