Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Agronomiques

Fonctions logarithmiques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est définie sur $]0, +\infty[$ . C'est l'unique fonction de $\mathbb{R}^+$ telle que $\ln(1) = 0$ et $(\ln)' = \frac{1}{x}$ .

1. Propriétés algébriques : Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln(a^n) = n \ln(a)$ (pour $n \in \mathbb{Z}$ )
$\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)$

2. Limites de référence :

$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ (Asymptote verticale $x=0$ )
$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
$\lim_{x \to 1} \ln(x) = 0$

3. Croissances comparées :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
Plus généralement : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ (pour $n > 0$ ).

4. Dérivation :

Si $f(x) = \ln(x)$ , alors $f'(x) = \frac{1}{x}$ .
Si $f(x) = \ln(u(x))$ avec $u(x) > 0$ et $u$ dérivable, alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer le domaine de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ pour une fonction $\ln(u(x))$ .
Calculer des limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ .
Étudier les variations : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Résoudre $\ln(x) = a$ : Utiliser l'équivalence $\ln(x) = a \iff x = e^a$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer la limite $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$ . Corrigé : D'après le cours sur les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$ . Ici $n=2$ , donc la limite est $0$ .

Exemple 2 : Dériver $f(x) = \ln(3x^2 + 1)$ . Corrigé : On pose $u(x) = 3x^2 + 1$ . On a $u'(x) = 6x$ . D'après la formule $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ , on obtient $f'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 1}$ .

Erreurs fréquentes

Erreur de domaine : Oublier que $\ln(x)$ n'est pas défini pour $x \leq 0$ .
Erreur de calcul : Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ . Attention : $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$ .
Erreur de dérivée : Écrire que la dérivée de $\ln(u)$ est $\frac{1}{u'}$ . La bonne formule est $\frac{u'}{u}$ .

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0, +\infty[$. C'est l'unique fonction de $\mathbb{R}^+$ telle que $\ln(1) = 0$ et $(\ln)' = \frac{1}{x}$.

1. Propriétés algébriques : Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln(a^n) = n \ln(a)$ (pour $n \in \mathbb{Z}$)
$\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)$

2. Limites de référence :

$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ (Asymptote verticale $x=0$)
$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
$\lim_{x \to 1} \ln(x) = 0$

3. Croissances comparées :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
Plus généralement : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ (pour $n > 0$).

4. Dérivation :

Si $f(x) = \ln(x)$, alors $f'(x) = \frac{1}{x}$.
Si $f(x) = \ln(u(x))$ avec $u(x) > 0$ et $u$ dérivable, alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer le domaine de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ pour une fonction $\ln(u(x))$.
Calculer des limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$.
Étudier les variations : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Résoudre $\ln(x) = a$ : Utiliser l'équivalence $\ln(x) = a \iff x = e^a$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer la limite $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$. Corrigé : D'après le cours sur les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$. Ici $n=2$, donc la limite est $0$.

Exemple 2 : Dériver $f(x) = \ln(3x^2 + 1)$. Corrigé : On pose $u(x) = 3x^2 + 1$. On a $u'(x) = 6x$. D'après la formule $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$, on obtient $f'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 1}$.

Erreurs fréquentes

Erreur de domaine : Oublier que $\ln(x)$ n'est pas défini pour $x \leq 0$.
Erreur de calcul : Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$. Attention : $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$.
Erreur de dérivée : Écrire que la dérivée de $\ln(u)$ est $\frac{1}{u'}$. La bonne formule est $\frac{u'}{u}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions logarithmiques

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Quel est le domaine de définition de $f(x) = \ln(x^2)$ ?

❓ Questions fréquentes

Quelle est la limite de frac{ln(x)}{x} en +infty ?

D'après les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ .

💡 À retenir : La puissance de $x$ l'emporte toujours sur le $\ln(x)$ à l'infini.

D'après les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

💡 À retenir : La puissance de $x$ l'emporte toujours sur le $\ln(x)$ à l'infini.

Quel est le domaine de définition de f(x) = ln(x-5) ?

On doit avoir $x-5 > 0$ , ce qui donne $x > 5$ . Le domaine est $D_f = ]5, +\infty[$ .

💡 À retenir : L'argument à l'intérieur du $\ln$ doit toujours être strictement positif.

On doit avoir $x-5 > 0$, ce qui donne $x > 5$. Le domaine est $D_f = ]5, +\infty[$.

💡 À retenir : L'argument à l'intérieur du $\ln$ doit toujours être strictement positif.

Combien vaut ln(1) et ln(e) ?

$\ln(1) = 0$
$\ln(e) = 1$

💡 À retenir : Ce sont les deux valeurs de base à connaître par cœur.

$\ln(1) = 0$
$\ln(e) = 1$

💡 À retenir : Ce sont les deux valeurs de base à connaître par cœur.

"Chno hiya l-domaine dyal ln(2x+4)?"

On résout $2x + 4 > 0$ : $2x > -4 \implies x > -2$ . Le domaine est $D_f = ]-2, +\infty[$ .

💡 À retenir : Résous toujours l'inéquation $u(x) > 0$ .

On résout $2x + 4 > 0$ : $2x > -4 \implies x > -2$. Le domaine est $D_f = ]-2, +\infty[$.

💡 À retenir : Résous toujours l'inéquation $u(x) > 0$.

Comment simplifier ln(a^3) ?

On utilise la propriété $\ln(a^n) = n \ln(a)$ . Donc $\ln(a^3) = 3 \ln(a)$ .

💡 À retenir : L'exposant "descend" devant le logarithme.

On utilise la propriété $\ln(a^n) = n \ln(a)$. Donc $\ln(a^3) = 3 \ln(a)$.

💡 À retenir : L'exposant "descend" devant le logarithme.

"Kifach n7seb ln(e^4)?"

On utilise la propriété $\ln(e^x) = x$ . Donc $\ln(e^4) = 4$ .

💡 À retenir : $\ln$ et l'exponentielle sont des fonctions réciproques, elles s'annulent.

On utilise la propriété $\ln(e^x) = x$. Donc $\ln(e^4) = 4$.

💡 À retenir : $\ln$ et l'exponentielle sont des fonctions réciproques, elles s'annulent.

Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0^+ ?

$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ . Cela signifie que l'axe des ordonnées ( $x=0$ ) est une asymptote verticale.

💡 À retenir : $\ln$ "tombe" vers l'infini négatif près de zéro.

$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$. Cela signifie que l'axe des ordonnées ($x=0$) est une asymptote verticale.

💡 À retenir : $\ln$ "tombe" vers l'infini négatif près de zéro.

Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x^2 + 3) ?

Identifier $u(x) = x^2 + 3$ .
Calculer $u'(x) = 2x$ .
Appliquer $\frac{u'}{u}$ : $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 3}$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais de mettre la dérivée du contenu au numérateur.

Identifier $u(x) = x^2 + 3$.
Calculer $u'(x) = 2x$.
Appliquer $\frac{u'}{u}$ : $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 3}$.

💡 À retenir : N'oublie jamais de mettre la dérivée du contenu au numérateur.

Résoudre l'équation ln(x) = 2.

$\ln(x) = 2 \iff x = e^2$ . La solution est $x = e^2$ (qui est bien $>0$ ).

💡 À retenir : Pour éliminer le $\ln$ , on utilise la fonction exponentielle.

$\ln(x) = 2 \iff x = e^2$. La solution est $x = e^2$ (qui est bien $>0$).

💡 À retenir : Pour éliminer le $\ln$, on utilise la fonction exponentielle.

"Chno hiya l-limite dyal ln(x) f +infty?"

$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ . La fonction $\ln$ croît vers l'infini, mais très lentement.

💡 À retenir : $\ln(x)$ n'a pas d'asymptote horizontale en $+\infty$ .

$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$. La fonction $\ln$ croît vers l'infini, mais très lentement.

💡 À retenir : $\ln(x)$ n'a pas d'asymptote horizontale en $+\infty$.

Est-ce que ln(x) est toujours positif ?

Non.

Si $0 < x < 1$ , alors $\ln(x) < 0$ (négatif).
Si $x = 1$ , alors $\ln(x) = 0$ .
Si $x > 1$ , alors $\ln(x) > 0$ (positif).

💡 À retenir : Le signe dépend de la position de $x$ par rapport à 1.

Non.

Si $0 < x < 1$, alors $\ln(x) < 0$ (négatif).
Si $x = 1$, alors $\ln(x) = 0$.
Si $x > 1$, alors $\ln(x) > 0$ (positif).

💡 À retenir : Le signe dépend de la position de $x$ par rapport à 1.

Simplifier lnleft(frac{1}{x}right) pour x 0.

$\ln\left(\frac{1}{x}\right) = \ln(1) - \ln(x) = 0 - \ln(x) = -\ln(x)$ .

💡 À retenir : L'inverse d'un nombre change le signe de son logarithme.

$\ln\left(\frac{1}{x}\right) = \ln(1) - \ln(x) = 0 - \ln(x) = -\ln(x)$.

💡 À retenir : L'inverse d'un nombre change le signe de son logarithme.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \ln(x) + 2$ .

Calculer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$ .
Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \ln(x) + 2$.

Calculer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit $g(x) = x - \ln(x)$ définie sur $]0, +\infty[$ .

Déterminer les limites de $g$ aux bornes de son domaine.
Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
En déduire le tableau de variations de $g$ .
Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit $g(x) = x - \ln(x)$ définie sur $]0, +\infty[$.

Déterminer les limites de $g$ aux bornes de son domaine.
Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
En déduire le tableau de variations de $g$.
Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Soit $h(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ définie sur $]0, +\infty[$ .

Calculer $\lim_{x \to 0^+} h(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ .
Calculer $h'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $h$ .
Déterminer le maximum de la fonction $h$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Soit $h(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ définie sur $]0, +\infty[$.

Calculer $\lim_{x \to 0^+} h(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} h(x)$.
Calculer $h'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $h$.
Déterminer le maximum de la fonction $h$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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