Physique · Écoles d'ingénieurs — INPT

Propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux conducteurs

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans un milieu conducteur ohmique de conductivité $\gamma$ , les équations de Maxwell imposent : $\vec{j} = \gamma \vec{E}$ L'équation de propagation pour le champ électrique $\vec{E}$ devient : $\Delta \vec{E} - \mu \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$ Pour une onde plane harmonique, on définit le vecteur d'onde complexe $\underline{k}$ tel que $\underline{k}^2 = \mu \epsilon \omega^2 + i \mu \gamma \omega$ . La profondeur de pénétration (ou épaisseur de peau) est $\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu \gamma \omega}}$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer si le milieu est un bon conducteur ( $\gamma \gg \epsilon \omega$ ) ou un mauvais conducteur.
Calculer le vecteur d'onde complexe $\underline{k} = \beta - i \alpha$ .
Utiliser la relation $\delta = 1/\alpha$ pour les bons conducteurs.
Appliquer les conditions aux limites pour le passage entre deux milieux.

Exemples corrigés

Exemple : Soit un métal avec $\gamma = 5,8 \cdot 10^7 \, \text{S/m}$ . À $f = 1 \, \text{MHz}$ , calculer $\delta$ . Solution : $\delta = \sqrt{\frac{2}{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5,8 \cdot 10^7 \cdot 2\pi \cdot 10^6}} \approx 6,6 \cdot 10^{-5} \, \text{m} = 66 \, \mu\text{m}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la partie imaginaire du vecteur d'onde.
Confondre la vitesse de phase dans le vide avec celle dans le milieu conducteur.
Négliger le terme de conduction devant le terme de déplacement sans vérifier le rapport $\frac{\gamma}{\epsilon \omega}$ .

L'essentiel du cours

Dans un milieu conducteur ohmique de conductivité $\gamma$, les équations de Maxwell imposent : $\vec{j} = \gamma \vec{E}$ L'équation de propagation pour le champ électrique $\vec{E}$ devient : $\Delta \vec{E} - \mu \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$ Pour une onde plane harmonique, on définit le vecteur d'onde complexe $\underline{k}$ tel que $\underline{k}^2 = \mu \epsilon \omega^2 + i \mu \gamma \omega$. La profondeur de pénétration (ou épaisseur de peau) est $\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu \gamma \omega}}$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer si le milieu est un bon conducteur ($\gamma \gg \epsilon \omega$) ou un mauvais conducteur.
Calculer le vecteur d'onde complexe $\underline{k} = \beta - i \alpha$.
Utiliser la relation $\delta = 1/\alpha$ pour les bons conducteurs.
Appliquer les conditions aux limites pour le passage entre deux milieux.

Exemples corrigés

Exemple : Soit un métal avec $\gamma = 5,8 \cdot 10^7 , \text{S/m}$. À $f = 1 , \text{MHz}$, calculer $\delta$. Solution : $\delta = \sqrt{\frac{2}{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5,8 \cdot 10^7 \cdot 2\pi \cdot 10^6}} \approx 6,6 \cdot 10^{-5} , \text{m} = 66 , \mu\text{m}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la partie imaginaire du vecteur d'onde.
Confondre la vitesse de phase dans le vide avec celle dans le milieu conducteur.
Négliger le terme de conduction devant le terme de déplacement sans vérifier le rapport $\frac{\gamma}{\epsilon \omega}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux conducteurs

1/4

La profondeur de pénétration $\delta$ est inversement proportionnelle à :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'onde reste plane dans un conducteur ?

Oui, si l'onde incidente est plane, les surfaces d'onde restent des plans, mais l'amplitude n'est plus uniforme sur le plan d'onde (elle dépend de la profondeur).

💡 À retenir : On parle d'onde plane évanescente ou atténuée.

Quelle est l'unité de la conductivité gamma ?

L'unité est le Siemens par mètre (S/m).

💡 À retenir : $1 \, \text{S/m} = 1 \, \Omega^{-1} \cdot \text{m}^{-1}$ .

L'unité est le Siemens par mètre (S/m).

💡 À retenir : $1 , \text{S/m} = 1 , \Omega^{-1} \cdot \text{m}^{-1}$.

Le champ magnétique est-il en phase avec le champ électrique ?

Non, dans un milieu conducteur, il existe un déphasage de $\pi/4$ (45°) entre $\vec{E}$ et $\vec{B}$ .

💡 À retenir : Le milieu conducteur introduit un retard de phase dû à la dissipation.

Non, dans un milieu conducteur, il existe un déphasage de $\pi/4$ (45°) entre $\vec{E}$ et $\vec{B}$.

💡 À retenir : Le milieu conducteur introduit un retard de phase dû à la dissipation.

Peut-on utiliser la relation c = 1/sqrt{mu epsilon} dans un conducteur ?

Non, cette relation n'est valable que dans le vide ou un diélectrique parfait. Dans un conducteur, la vitesse est modifiée par la conductivité.

💡 À retenir : La vitesse de phase est beaucoup plus faible que $c$ .

Non, cette relation n'est valable que dans le vide ou un diélectrique parfait. Dans un conducteur, la vitesse est modifiée par la conductivité.

💡 À retenir : La vitesse de phase est beaucoup plus faible que $c$.

L'effet de peau est-il important pour le courant continu ?

Non, l'effet de peau est un phénomène lié à la variation temporelle du champ ( $\omega \neq 0$ ). En courant continu ( $\omega = 0$ ), le courant est uniforme.

💡 À retenir : L'effet de peau n'existe que pour les régimes variables.

Non, l'effet de peau est un phénomène lié à la variation temporelle du champ ($\omega \neq 0$). En courant continu ($\omega = 0$), le courant est uniforme.

💡 À retenir : L'effet de peau n'existe que pour les régimes variables.

Quelle est la différence physique entre un milieu diélectrique et un milieu conducteur pour une onde EM ?

Dans un diélectrique, l'onde se propage sans atténuation notable.
Dans un conducteur, les charges libres provoquent des courants de conduction ( $\vec{j} = \gamma \vec{E}$ ), ce qui dissipe l'énergie par effet Joule.

💡 À retenir : Le milieu conducteur "absorbe" l'onde, transformant l'énergie EM en chaleur.

Dans un diélectrique, l'onde se propage sans atténuation notable.
Dans un conducteur, les charges libres provoquent des courants de conduction ($\vec{j} = \gamma \vec{E}$), ce qui dissipe l'énergie par effet Joule.

💡 À retenir : Le milieu conducteur "absorbe" l'onde, transformant l'énergie EM en chaleur.

Kifach n7seb l'profondeur de pénétration ila kan l'milieu bon conducteur ?

Vérifie d'abord que $\gamma \gg \epsilon \omega$ .
Utilise la formule simplifiée : $\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu \gamma \omega}}$ .
N'oublie pas que $\omega = 2\pi f$ .

💡 À retenir : Plus la fréquence est élevée, plus l'onde pénètre peu dans le métal.

Vérifie d'abord que $\gamma \gg \epsilon \omega$.
Utilise la formule simplifiée : $\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu \gamma \omega}}$.
N'oublie pas que $\omega = 2\pi f$.

💡 À retenir : Plus la fréquence est élevée, plus l'onde pénètre peu dans le métal.

Est-ce que la vitesse de phase dépend de la fréquence dans un milieu conducteur ?

Oui, contrairement au vide, le milieu conducteur est dispersif. La relation de dispersion lie $\omega$ et $k$ de manière non linéaire, donc $v_\phi = \omega / \text{Re}(k)$ dépend de $\omega$ .

💡 À retenir : Le milieu conducteur est toujours dispersif.

Oui, contrairement au vide, le milieu conducteur est dispersif. La relation de dispersion lie $\omega$ et $k$ de manière non linéaire, donc $v_\phi = \omega / \text{Re}(k)$ dépend de $\omega$.

💡 À retenir : Le milieu conducteur est toujours dispersif.

Chno hiya l'relation bin l'champ électrique et l'champ magnétique f'l'milieu conducteur ?

On utilise l'équation de Maxwell-Faraday : $\vec{\nabla} \wedge \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ . En notation complexe, cela donne $\underline{\vec{k}} \wedge \underline{\vec{E}} = \omega \underline{\vec{B}}$ .

💡 À retenir : Il y a un déphasage entre $\vec{E}$ et $\vec{B}$ dans un conducteur.

On utilise l'équation de Maxwell-Faraday : $\vec{\nabla} \wedge \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$. En notation complexe, cela donne $\underline{\vec{k}} \wedge \underline{\vec{E}} = \omega \underline{\vec{B}}$.

💡 À retenir : Il y a un déphasage entre $\vec{E}$ et $\vec{B}$ dans un conducteur.

Pourquoi dit-on que le champ s'annule à l'intérieur d'un conducteur parfait ?

Un conducteur parfait a une conductivité $\gamma \to \infty$ . La profondeur de pénétration $\delta$ tend vers 0, donc l'onde ne peut pas pénétrer.

💡 À retenir : $\delta \to 0$ signifie réflexion totale à la surface.

Un conducteur parfait a une conductivité $\gamma \to \infty$. La profondeur de pénétration $\delta$ tend vers 0, donc l'onde ne peut pas pénétrer.

💡 À retenir : $\delta \to 0$ signifie réflexion totale à la surface.

Kifach n3ref wach l'milieu conducteur ou la non ?

Il faut calculer le rapport $\frac{\gamma}{\epsilon \omega}$ . Si ce rapport est très grand devant 1, c'est un bon conducteur.

💡 À retenir : La nature du milieu dépend de la fréquence de l'onde.

Il faut calculer le rapport $\frac{\gamma}{\epsilon \omega}$. Si ce rapport est très grand devant 1, c'est un bon conducteur.

💡 À retenir : La nature du milieu dépend de la fréquence de l'onde.

L'atténuation dépend-elle de la distance parcourue ?

Oui, l'amplitude du champ décroît exponentiellement selon le facteur $e^{-\alpha z}$ , où $\alpha = 1/\delta$ .

💡 À retenir : L'atténuation est exponentielle, pas linéaire.

Oui, l'amplitude du champ décroît exponentiellement selon le facteur $e^{-\alpha z}$, où $\alpha = 1/\delta$.

💡 À retenir : L'atténuation est exponentielle, pas linéaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une onde plane électromagnétique de fréquence $f = 100 \, \text{MHz}$ se propage dans le cuivre ( $\gamma = 5,8 \cdot 10^7 \, \text{S/m}$ , $\mu = \mu_0$ ). Calculer la profondeur de pénétration $\delta$ .

Exercice 1

Une onde plane électromagnétique de fréquence $f = 100 , \text{MHz}$ se propage dans le cuivre ($\gamma = 5,8 \cdot 10^7 , \text{S/m}$, $\mu = \mu_0$). Calculer la profondeur de pénétration $\delta$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Montrer que pour un bon conducteur, le rapport des amplitudes des champs magnétique et électrique est $B_0/E_0 = \sqrt{\mu \gamma / \omega}$ .

Exercice 2

Montrer que pour un bon conducteur, le rapport des amplitudes des champs magnétique et électrique est $B_0/E_0 = \sqrt{\mu \gamma / \omega}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un conducteur a une conductivité $\gamma = 10^6 \, \text{S/m}$ . À quelle fréquence la profondeur de pénétration est-elle de 1 mm ?

Exercice 3

Un conducteur a une conductivité $\gamma = 10^6 , \text{S/m}$. À quelle fréquence la profondeur de pénétration est-elle de 1 mm ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Physique pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Physique

Électrostatique Électrocinétique en régime permanent Magnétostatique Induction électromagnétique Équations de Maxwell Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide Lignes de transmission Guides d'ondes Optique ondulatoire Introduction à la physique quantique Physique des semi-conducteurs