Physique · Écoles d'ingénieurs — INPT

Lignes de transmission

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une ligne de transmission est un système de deux conducteurs permettant de guider une onde électromagnétique. On utilise le modèle des paramètres répartis ( $R, L, G, C$ ). Pour une ligne sans pertes ( $R=0, G=0$ ), les équations des télégraphistes donnent :

Équation d'onde : $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - LC \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0$
Vitesse de propagation : $v = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
Impédance caractéristique : $Z_c = \sqrt{\frac{L}{C}}$
Coefficient de réflexion : $\Gamma = \frac{Z_L - Z_c}{Z_L + Z_c}$

Méthodes à maîtriser

Calculer $Z_c$ et $v$ à partir des paramètres linéiques $L$ et $C$ .
Déterminer le coefficient de réflexion $\Gamma$ pour une charge $Z_L$ donnée.
Calculer le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS ou SWR) : $TOS = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}$ .
Vérifier la condition d'adaptation : $Z_L = Z_c \implies \Gamma = 0$ .

Exemples corrigés

Exemple : Ligne avec $L=200 \, \text{nH/m}$ et $C=80 \, \text{pF/m}$ . $Z_c = \sqrt{\frac{200 \times 10^{-9}}{80 \times 10^{-12}}} = \sqrt{2500} = 50 \, \Omega$ . $v = \frac{1}{\sqrt{200 \times 10^{-9} \times 80 \times 10^{-12}}} = 2,5 \times 10^8 \, \text{m/s}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre l'impédance de charge $Z_L$ avec l'impédance caractéristique $Z_c$ .
Oublier les unités (ex: ne pas convertir les nH ou pF).
Penser que le TOS peut être inférieur à 1 (il est toujours $\geq 1$ ).

L'essentiel du cours

Une ligne de transmission est un système de deux conducteurs permettant de guider une onde électromagnétique. On utilise le modèle des paramètres répartis ($R, L, G, C$). Pour une ligne sans pertes ($R=0, G=0$), les équations des télégraphistes donnent :

Équation d'onde : $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - LC \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0$
Vitesse de propagation : $v = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
Impédance caractéristique : $Z_c = \sqrt{\frac{L}{C}}$
Coefficient de réflexion : $\Gamma = \frac{Z_L - Z_c}{Z_L + Z_c}$

Méthodes à maîtriser

Calculer $Z_c$ et $v$ à partir des paramètres linéiques $L$ et $C$.
Déterminer le coefficient de réflexion $\Gamma$ pour une charge $Z_L$ donnée.
Calculer le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS ou SWR) : $TOS = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}$.
Vérifier la condition d'adaptation : $Z_L = Z_c \implies \Gamma = 0$.

Exemples corrigés

Exemple : Ligne avec $L=200 , \text{nH/m}$ et $C=80 , \text{pF/m}$. $Z_c = \sqrt{\frac{200 \times 10^{-9}}{80 \times 10^{-12}}} = \sqrt{2500} = 50 , \Omega$. $v = \frac{1}{\sqrt{200 \times 10^{-9} \times 80 \times 10^{-12}}} = 2,5 \times 10^8 , \text{m/s}$.

Erreurs fréquentes

Confondre l'impédance de charge $Z_L$ avec l'impédance caractéristique $Z_c$.
Oublier les unités (ex: ne pas convertir les nH ou pF).
Penser que le TOS peut être inférieur à 1 (il est toujours $\geq 1$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Lignes de transmission

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Une ligne est terminée par un circuit ouvert ( $Z_L \to \infty$ ). Le coefficient $\Gamma$ vaut :

Une ligne est terminée par un circuit ouvert ($Z_L \to \infty$). Le coefficient $\Gamma$ vaut :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un régime permanent sinusoïdal ?

C'est le régime où toutes les tensions et courants varient de manière sinusoïdale à la même fréquence.

💡 À retenir : On utilise alors la notation complexe.

Comment varie la tension le long d'une ligne adaptée ?

La tension garde la même amplitude, seule sa phase varie linéairement avec la distance $x$ .

💡 À retenir : Pas d'ondes stationnaires sur une ligne adaptée.

La tension garde la même amplitude, seule sa phase varie linéairement avec la distance $x$.

💡 À retenir : Pas d'ondes stationnaires sur une ligne adaptée.

Que se passe-t-il si la ligne est court-circuitée ?

$Z_L = 0$ , donc $\Gamma = \frac{-Z_c}{Z_c} = -1$ . Toute l'onde est réfléchie en opposition de phase.

💡 À retenir : Le TOS devient infini.

$Z_L = 0$, donc $\Gamma = \frac{-Z_c}{Z_c} = -1$. Toute l'onde est réfléchie en opposition de phase.

💡 À retenir : Le TOS devient infini.

Quelle est l'unité du TOS ?

Le TOS (Taux d'Ondes Stationnaires) est une grandeur sans dimension.

💡 À retenir : Il est souvent exprimé en dB dans les applications radio.

Kifach n7seb l'impédance caractéristique ila 3tani ghir l'géométrie dial l'ligne ?

Khsek t3ref l'type dial l'ligne (coaxiale, bifilaire).
Tsta3mel l'formules dial $L$ et $C$ linéiques li kaysawiw l'géométrie (ex: $C = \frac{2\pi\epsilon}{\ln(b/a)}$ pour un câble coaxial).
Tطبق $Z_c = \sqrt{L/C}$ .

💡 À retenir : $Z_c$ dépend uniquement de la géométrie et du milieu (diélectrique), pas de la longueur.

Khsek t3ref l'type dial l'ligne (coaxiale, bifilaire).
Tsta3mel l'formules dial $L$ et $C$ linéiques li kaysawiw l'géométrie (ex: $C = \frac{2\pi\epsilon}{\ln(b/a)}$ pour un câble coaxial).
Tطبق $Z_c = \sqrt{L/C}$.

💡 À retenir : $Z_c$ dépend uniquement de la géométrie et du milieu (diélectrique), pas de la longueur.

Chno hiya l'far9 bin l'onde incidente o l'onde réfléchie ?

L'onde incidente part du générateur vers la charge.
L'onde réfléchie apparaît si $Z_L \neq Z_c$ et repart de la charge vers le générateur.

💡 À retenir : Si $Z_L = Z_c$ , il n'y a pas d'onde réfléchie.

L'onde incidente part du générateur vers la charge.
L'onde réfléchie apparaît si $Z_L \neq Z_c$ et repart de la charge vers le générateur.

💡 À retenir : Si $Z_L = Z_c$, il n'y a pas d'onde réfléchie.

Wach l'ligne katmchi b soro3at d'daw ?

Non, la vitesse $v = 1/\sqrt{LC}$ est toujours inférieure ou égale à $c$ (vitesse de la lumière dans le vide).
Elle dépend de la permittivité $\epsilon$ et de la perméabilité $\mu$ du milieu isolant.

💡 À retenir : $v = c / \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ .

Non, la vitesse $v = 1/\sqrt{LC}$ est toujours inférieure ou égale à $c$ (vitesse de la lumière dans le vide).
Elle dépend de la permittivité $\epsilon$ et de la perméabilité $\mu$ du milieu isolant.

💡 À retenir : $v = c / \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$.

Qu'est-ce qu'une ligne sans pertes ?

Une ligne est dite sans pertes si la résistance linéique $R$ et la conductance de fuite $G$ sont négligeables ( $R \approx 0$ et $G \approx 0$ ).

💡 À retenir : Dans ce cas, l'atténuation est nulle.

Une ligne est dite sans pertes si la résistance linéique $R$ et la conductance de fuite $G$ sont négligeables ($R \approx 0$ et $G \approx 0$).

💡 À retenir : Dans ce cas, l'atténuation est nulle.

Comment calculer le coefficient de réflexion ?

On utilise la formule $\Gamma = \frac{Z_L - Z_c}{Z_L + Z_c}$ où $Z_L$ est l'impédance de charge et $Z_c$ l'impédance caractéristique.

💡 À retenir : $\Gamma$ est un nombre complexe en général.

On utilise la formule $\Gamma = \frac{Z_L - Z_c}{Z_L + Z_c}$ où $Z_L$ est l'impédance de charge et $Z_c$ l'impédance caractéristique.

💡 À retenir : $\Gamma$ est un nombre complexe en général.

Pourquoi adapte-t-on une ligne ?

Pour éviter les réflexions qui peuvent endommager le générateur ou réduire la puissance transmise à la charge.

💡 À retenir : L'adaptation maximale se produit quand $Z_L = Z_c$ .

Pour éviter les réflexions qui peuvent endommager le générateur ou réduire la puissance transmise à la charge.

💡 À retenir : L'adaptation maximale se produit quand $Z_L = Z_c$.

Quelle est la relation entre le TOS et Gamma ?

$TOS = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}$ .

💡 À retenir : Si $TOS = 1$ , la ligne est parfaitement adaptée.

$TOS = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}$.

💡 À retenir : Si $TOS = 1$, la ligne est parfaitement adaptée.

L'impédance caractéristique dépend-elle de la longueur de la ligne ?

Non, $Z_c = \sqrt{L/C}$ ne dépend que des paramètres linéiques $L$ et $C$ , qui sont constants pour une géométrie donnée.

💡 À retenir : La longueur influence la phase, pas $Z_c$ .

Non, $Z_c = \sqrt{L/C}$ ne dépend que des paramètres linéiques $L$ et $C$, qui sont constants pour une géométrie donnée.

💡 À retenir : La longueur influence la phase, pas $Z_c$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une ligne coaxiale a pour paramètres linéiques $L = 250 \, \text{nH/m}$ et $C = 100 \, \text{pF/m}$ .

Déterminer $Z_c$ .
La ligne est alimentée par une source de fréquence $f = 100 \, \text{MHz}$ . Calculer la longueur d'onde $\lambda$ sur la ligne.

Exercice 1

Une ligne coaxiale a pour paramètres linéiques $L = 250 , \text{nH/m}$ et $C = 100 , \text{pF/m}$.

Déterminer $Z_c$.
La ligne est alimentée par une source de fréquence $f = 100 , \text{MHz}$. Calculer la longueur d'onde $\lambda$ sur la ligne.

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Exercice 2

Une ligne de transmission est terminée par une charge $Z_L = 25 \, \Omega$ et possède une impédance $Z_c = 50 \, \Omega$ .

Calculer $\Gamma$ .
Interpréter le signe de $\Gamma$ .

Exercice 2

Une ligne de transmission est terminée par une charge $Z_L = 25 , \Omega$ et possède une impédance $Z_c = 50 , \Omega$.

Calculer $\Gamma$.
Interpréter le signe de $\Gamma$.

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Exercice 3

Une ligne de transmission sans pertes a une impédance caractéristique $Z_c = 75 \, \Omega$ . Elle est terminée par une charge $Z_L = 150 \, \Omega$ .

Calculer le coefficient de réflexion $\Gamma$ .
Calculer le TOS.

Exercice 3

Une ligne de transmission sans pertes a une impédance caractéristique $Z_c = 75 , \Omega$. Elle est terminée par une charge $Z_L = 150 , \Omega$.

Calculer le coefficient de réflexion $\Gamma$.
Calculer le TOS.

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