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Probabilités et variables aléatoires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Espace probabilisé : Un triplet $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ où $\Omega$ est l'univers, $\mathcal{P}(\Omega)$ l'ensemble des événements et $P$ une mesure de probabilité.
Variable aléatoire (V.A) : Application $X: \Omega \to \mathbb{R}$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$ .
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .
Loi Binomiale : $X \sim \mathcal{B}(n, p) \implies P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
Utiliser la formule des probabilités totales pour partitionner $\Omega$ .
Appliquer le théorème de Bayes pour inverser les probabilités conditionnelles.
Vérifier l'indépendance par $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $X \sim \mathcal{B}(3, 0.5)$ , alors $P(X=1) = C_3^1 (0.5)^1 (0.5)^2 = 3 \times 0.125 = 0.375$ .
Exemple 2 : $V(aX+b) = a^2 V(X)$ .

Erreurs fréquentes

Confondre événements indépendants et incompatibles.
Oublier que la somme des probabilités d'une loi doit valoir 1.
Erreur de calcul sur $C_n^k$ (utiliser la calculatrice avec précaution).

L'essentiel du cours

Espace probabilisé : Un triplet $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ où $\Omega$ est l'univers, $\mathcal{P}(\Omega)$ l'ensemble des événements et $P$ une mesure de probabilité.
Variable aléatoire (V.A) : Application $X: \Omega \to \mathbb{R}$.
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.
Loi Binomiale : $X \sim \mathcal{B}(n, p) \implies P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Utiliser la formule des probabilités totales pour partitionner $\Omega$.
Appliquer le théorème de Bayes pour inverser les probabilités conditionnelles.
Vérifier l'indépendance par $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $X \sim \mathcal{B}(3, 0.5)$, alors $P(X=1) = C_3^1 (0.5)^1 (0.5)^2 = 3 \times 0.125 = 0.375$.
Exemple 2 : $V(aX+b) = a^2 V(X)$.

Erreurs fréquentes

Confondre événements indépendants et incompatibles.
Oublier que la somme des probabilités d'une loi doit valoir 1.
Erreur de calcul sur $C_n^k$ (utiliser la calculatrice avec précaution).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Probabilités et variables aléatoires

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Soit $X$ une V.A. telle que $E(X)=2$ et $E(X^2)=5$ . La variance $V(X)$ est :

Soit $X$ une V.A. telle que $E(X)=2$ et $E(X^2)=5$. La variance $V(X)$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si je dois utiliser la loi binomiale ou la loi de Poisson ?

Utilise la loi binomiale si tu as un nombre fini d'essais $n$ (ex: tirer 10 fois une boule) avec un succès ou un échec.
Utilise la loi de Poisson si tu comptes le nombre d'occurrences d'un événement rare sur un intervalle de temps ou d'espace (ex: nombre d'appels par heure).

💡 À retenir : Binomiale = $n$ fixé, Poisson = fréquence moyenne $\lambda$ .

Utilise la loi binomiale si tu as un nombre fini d'essais $n$ (ex: tirer 10 fois une boule) avec un succès ou un échec.
Utilise la loi de Poisson si tu comptes le nombre d'occurrences d'un événement rare sur un intervalle de temps ou d'espace (ex: nombre d'appels par heure).

💡 À retenir : Binomiale = $n$ fixé, Poisson = fréquence moyenne $\lambda$.

Kifach n7seb l-espérance mli k-ykon 3ndi tableau dial loi de probabilité ?

Chouf l-jadwal dialk, fih l-9iyam $x_i$ o l-ihtimalat $p_i$ .
Dreb kol $x_i$ f-l-ihtimal dialha $p_i$ .
Jma3 ga3 hadouk l-hasilat li 3ndk.

💡 À retenir : $E(X) = \sum x_i \cdot p_i$ .

Chouf l-jadwal dialk, fih l-9iyam $x_i$ o l-ihtimalat $p_i$.
Dreb kol $x_i$ f-l-ihtimal dialha $p_i$.
Jma3 ga3 hadouk l-hasilat li 3ndk.

💡 À retenir : $E(X) = \sum x_i \cdot p_i$.

Est-ce que P(A cup B) = P(A) + P(B) est toujours vrai ?

Non, c'est faux en général. Cette formule n'est vraie que si $A$ et $B$ sont incompatibles (c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$ ). Sinon, il faut utiliser la formule générale : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 À retenir : Toujours soustraire l'intersection pour éviter de compter deux fois.

Non, c'est faux en général. Cette formule n'est vraie que si $A$ et $B$ sont incompatibles (c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$). Sinon, il faut utiliser la formule générale : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : Toujours soustraire l'intersection pour éviter de compter deux fois.

Kifach n-3ref wach l-ahdath mosta9ila (indépendants) wla la ?

Hseb $P(A)$ o $P(B)$ bohdhom.
Hseb $P(A \cap B)$ (l-ihtimal bach y-w93o b-jouj).
Ila l9iti $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ , rah mosta9ila.

💡 À retenir : Indépendance = multiplication des probabilités.

Hseb $P(A)$ o $P(B)$ bohdhom.
Hseb $P(A \cap B)$ (l-ihtimal bach y-w93o b-jouj).
Ila l9iti $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, rah mosta9ila.

💡 À retenir : Indépendance = multiplication des probabilités.

Quelle est la différence entre une variable aléatoire discrète et continue ?

Une V.A. discrète prend des valeurs isolées (ex: 1, 2, 3).
Une V.A. continue prend toutes les valeurs d'un intervalle (ex: $[0, 1]$ ).

💡 À retenir : Discrète = Somme ( $\sum$ ), Continue = Intégrale ( $\int$ ). (à vérifier par le professeur selon le programme de l'INSEA).

Une V.A. discrète prend des valeurs isolées (ex: 1, 2, 3).
Une V.A. continue prend toutes les valeurs d'un intervalle (ex: $[0, 1]$).

💡 À retenir : Discrète = Somme ($\sum$), Continue = Intégrale ($\int$). (à vérifier par le professeur selon le programme de l'INSEA).

Chno hiya l-far9 bin l-ihtimal l-charte (conditionnel) o l-ihtimal l-3adi ?

L-ihtimal l-3adi k-y-t-hsb 3la ga3 l-fada $\Omega$ .
L-ihtimal l-charte k-y-t-hsb mli k-y-kon 3ndna ma3louma jdida (charte), k-n-sghro l-fada $\Omega$ ghir l-dakchi li m-chroutt.

💡 À retenir : $P(A|B)$ = on se place dans le monde de $B$ .

L-ihtimal l-3adi k-y-t-hsb 3la ga3 l-fada $\Omega$.
L-ihtimal l-charte k-y-t-hsb mli k-y-kon 3ndna ma3louma jdida (charte), k-n-sghro l-fada $\Omega$ ghir l-dakchi li m-chroutt.

💡 À retenir : $P(A|B)$ = on se place dans le monde de $B$.

Comment calculer la variance rapidement ?

Utilise la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ . C'est souvent plus rapide que de calculer $\sum (x_i - E(X))^2 p_i$ .

💡 À retenir : $E(X^2)$ se calcule en sommant $x_i^2 \cdot p_i$ .

Utilise la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. C'est souvent plus rapide que de calculer $\sum (x_i - E(X))^2 p_i$.

💡 À retenir : $E(X^2)$ se calcule en sommant $x_i^2 \cdot p_i$.

Kifach n-3ref wach l-ihtimal li 3ndi s7i7 ?

Khass $P(A)$ ykon dima bin 0 o 1.
Majmou3 dial ga3 l-ihtimalat f-l-loi de probabilité khass ykon k-y-sawy 1.

💡 À retenir : Si tu trouves un nombre négatif ou > 1, tu as fait une erreur.

Khass $P(A)$ ykon dima bin 0 o 1.
Majmou3 dial ga3 l-ihtimalat f-l-loi de probabilité khass ykon k-y-sawy 1.

💡 À retenir : Si tu trouves un nombre négatif ou > 1, tu as fait une erreur.

Est-ce que l'ordre compte dans le calcul des combinaisons ?

Non, dans les combinaisons ( $C_n^k$ ), l'ordre ne compte pas. Si l'ordre compte, on utilise les arrangements ( $A_n^k$ ).

💡 À retenir : Combinaison = tirage simultané (ou sans ordre).

Non, dans les combinaisons ($C_n^k$), l'ordre ne compte pas. Si l'ordre compte, on utilise les arrangements ($A_n^k$).

💡 À retenir : Combinaison = tirage simultané (ou sans ordre).

Wach momkin n-st3ml l-loi binomiale ila kan l-ihtimal p k-y-t-ghayyar ?

La, l-loi binomiale k-t-t-st3ml ghir ila kan $p$ tabit (constant) f-ga3 l-mouhawalat. Ila kan $p$ k-y-t-ghayyar, khassk t-st3ml l-ihtimalat l-charte.

💡 À retenir : Loi binomiale = tirage avec remise (ou population très grande).

La, l-loi binomiale k-t-t-st3ml ghir ila kan $p$ tabit (constant) f-ga3 l-mouhawalat. Ila kan $p$ k-y-t-ghayyar, khassk t-st3ml l-ihtimalat l-charte.

💡 À retenir : Loi binomiale = tirage avec remise (ou population très grande).

Pourquoi on divise par n dans la moyenne ?

On ne divise pas par $n$ dans l'espérance, on multiplie par la probabilité $p_i$ . La division par $n$ est pour la moyenne arithmétique d'une série statistique.

💡 À retenir : Espérance = moyenne pondérée par les probabilités.

On ne divise pas par $n$ dans l'espérance, on multiplie par la probabilité $p_i$. La division par $n$ est pour la moyenne arithmétique d'une série statistique.

💡 À retenir : Espérance = moyenne pondérée par les probabilités.

Kifach n-hseb l-ihtimal dial "au moins un" ?

"Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$ .
C'est beaucoup plus simple de calculer l'événement contraire.

💡 À retenir : $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$ .

"Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$.
C'est beaucoup plus simple de calculer l'événement contraire.

💡 À retenir : $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement 3 boules avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$ .

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement 3 boules avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$.

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Exercice 2

Un système électronique tombe en panne avec une probabilité de 0.02. On teste 100 systèmes. Soit $X$ le nombre de systèmes en panne.

Quelle loi suit $X$ ? Justifier.
Calculer la probabilité qu'au moins un système tombe en panne.

Exercice 2

Un système électronique tombe en panne avec une probabilité de 0.02. On teste 100 systèmes. Soit $X$ le nombre de systèmes en panne.

Quelle loi suit $X$ ? Justifier.
Calculer la probabilité qu'au moins un système tombe en panne.

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Exercice 3

Dans une population, 60% des individus sont vaccinés. On choisit au hasard 5 personnes.

Calculer la probabilité qu'exactement 3 personnes soient vaccinées.
Calculer la probabilité qu'au plus 2 personnes soient vaccinées.

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