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Calcul intégral et équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Primitives : Soit $f$ une fonction continue sur $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .
Intégrale : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Équations différentielles linéaires du 1er ordre : $y' + ay = b(x)$ . La solution générale est $y(x) = Ce^{-ax} + y_p(x)$ , où $y_p$ est une solution particulière.
Équations du 2nd ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = 0$ . On utilise l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ . Choisir $u$ selon la règle LIATE (Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Exponentielle).
Changement de variable : Poser $u = \varphi(x)$ , donc $du = \varphi'(x)dx$ . Ne pas oublier de changer les bornes.
Résolution d'éq. diff. : Identifier l'équation homogène, trouver la solution particulière, puis appliquer la condition initiale.

Exemples corrigés

Calculer $\int_0^1 x e^x dx$ : On pose $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$ . $\int_0^1 x e^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$ .
Éq. diff. $y' + 2y = 0$ : La solution est $y(x) = Ce^{-2x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la primitive de $e^{ax}$ qui est $\frac{1}{a}e^{ax}$ avec $e^{ax}$ lui-même.

L'essentiel du cours

Primitives : Soit $f$ une fonction continue sur $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Intégrale : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Équations différentielles linéaires du 1er ordre : $y' + ay = b(x)$. La solution générale est $y(x) = Ce^{-ax} + y_p(x)$, où $y_p$ est une solution particulière.
Équations du 2nd ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = 0$. On utilise l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$.

Méthodes à maîtriser

Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$. Choisir $u$ selon la règle LIATE (Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Exponentielle).
Changement de variable : Poser $u = \varphi(x)$, donc $du = \varphi'(x)dx$. Ne pas oublier de changer les bornes.
Résolution d'éq. diff. : Identifier l'équation homogène, trouver la solution particulière, puis appliquer la condition initiale.

Exemples corrigés

Calculer $\int_0^1 x e^x dx$ : On pose $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$. $\int_0^1 x e^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.
Éq. diff. $y' + 2y = 0$ : La solution est $y(x) = Ce^{-2x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la primitive de $e^{ax}$ qui est $\frac{1}{a}e^{ax}$ avec $e^{ax}$ lui-même.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Calcul intégral et équations différentielles

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La primitive de $f(x) = \frac{1}{x+1}$ sur $]-1, +\infty[$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref chkoun li nakhod u ou chkoun li nakhod v' f l'intégration par parties ?

Utilise la règle mnémotechnique LIATE : Logarithme, Inverse (arc tan), Algébrique (polynôme), Trigo (sin, cos), Exponentielle.
La fonction qui apparaît en premier dans cette liste est celle que tu choisis comme $u(x)$ .
L'autre fonction sera automatiquement $v'(x)$ .

💡 À retenir : L'ordre LIATE permet de simplifier la fonction lors de la dérivation de $u$ .

Utilise la règle mnémotechnique LIATE : Logarithme, Inverse (arc tan), Algébrique (polynôme), Trigo (sin, cos), Exponentielle.
La fonction qui apparaît en premier dans cette liste est celle que tu choisis comme $u(x)$.
L'autre fonction sera automatiquement $v'(x)$.

💡 À retenir : L'ordre LIATE permet de simplifier la fonction lors de la dérivation de $u$.

Est-ce que l'intégrale d'un produit est le produit des intégrales ?

Non, absolument pas. $\int f(x)g(x) dx \neq (\int f(x) dx) \times (\int g(x) dx)$ .

💡 À retenir : Pour intégrer un produit, utilise l'intégration par parties ou cherche une forme $u'u^n$ .

Non, absolument pas. $\int f(x)g(x) dx \neq (\int f(x) dx) \times (\int g(x) dx)$.

💡 À retenir : Pour intégrer un produit, utilise l'intégration par parties ou cherche une forme $u'u^n$.

Kifach n7seb l'intégrale ila kan 3ndi valeur absolue f l'fonction ?

Étudie le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.
Utilise la relation de Chasles pour découper l'intégrale aux points où l'expression s'annule.
Enlève la valeur absolue sur chaque intervalle en tenant compte du signe (ajoute un signe moins si c'est négatif).

💡 À retenir : La valeur absolue doit toujours être éliminée avant de chercher la primitive.

Quelle est la différence entre une solution particulière et la solution générale ?

La solution générale contient une constante $C$ (ou $A, B$ ) et représente une famille de courbes.
La solution particulière est obtenue en fixant la valeur de $C$ grâce à une condition initiale donnée (ex: $y(0)=1$ ).

💡 À retenir : Sans condition initiale, on ne peut pas trouver la solution particulière.

La solution générale contient une constante $C$ (ou $A, B$) et représente une famille de courbes.
La solution particulière est obtenue en fixant la valeur de $C$ grâce à une condition initiale donnée (ex: $y(0)=1$).

💡 À retenir : Sans condition initiale, on ne peut pas trouver la solution particulière.

Comment résoudre y'' + y' - 2y = 0 ?

Écris l'équation caractéristique : $r^2 + r - 2 = 0$ .
Calcule le discriminant $\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 9$ .
Trouve les racines : $r_1 = 1$ et $r_2 = -2$ .
La solution générale est $y(x) = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x} = Ae^x + Be^{-2x}$ .

💡 À retenir : Si $\Delta > 0$ , la forme est toujours $Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}$ .

Écris l'équation caractéristique : $r^2 + r - 2 = 0$.
Calcule le discriminant $\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 9$.
Trouve les racines : $r_1 = 1$ et $r_2 = -2$.
La solution générale est $y(x) = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x} = Ae^x + Be^{-2x}$.

💡 À retenir : Si $\Delta > 0$, la forme est toujours $Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}$.

Chno hiya l'relation bin l'intégrale ou l'primitive ?

L'intégrale est la valeur numérique obtenue en calculant la différence entre les valeurs d'une primitive aux bornes de l'intervalle.

💡 À retenir : $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ .

L'intégrale est la valeur numérique obtenue en calculant la différence entre les valeurs d'une primitive aux bornes de l'intervalle.

💡 À retenir : $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.

Peut-on intégrer une fonction qui n'est pas continue ?

Le programme se limite aux fonctions continues par morceaux. Si la fonction a des points de discontinuité, on découpe l'intégrale en utilisant Chasles.

💡 À retenir : La continuité est la condition suffisante pour l'existence d'une primitive.

Comment choisir le changement de variable ?

Cherche une partie de l'expression dont la dérivée est présente ailleurs dans l'intégrale.
Pose $u = \text{cette partie}$ .
Calcule $du$ et remplace tout dans l'intégrale.

💡 À retenir : Le but est de transformer l'intégrale en une forme plus simple, souvent une intégrale usuelle.

Cherche une partie de l'expression dont la dérivée est présente ailleurs dans l'intégrale.
Pose $u = \text{cette partie}$.
Calcule $du$ et remplace tout dans l'intégrale.

💡 À retenir : Le but est de transformer l'intégrale en une forme plus simple, souvent une intégrale usuelle.

Pourquoi on ajoute + C quand on cherche une primitive ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle. Il existe une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le $+ C$ dans un calcul de primitive indéfinie.

Parce que la dérivée d'une constante est nulle. Il existe une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le $+ C$ dans un calcul de primitive indéfinie.

Comment savoir si une équation différentielle est linéaire ?

Elle est linéaire si $y$ et ses dérivées apparaissent à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles.

💡 À retenir : $y' + y^2 = 0$ n'est pas linéaire, mais $y' + xy = 0$ l'est.

Elle est linéaire si $y$ et ses dérivées apparaissent à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles.

💡 À retenir : $y' + y^2 = 0$ n'est pas linéaire, mais $y' + xy = 0$ l'est.

Est-ce que l'ordre de l'équation différentielle change la méthode ?

Oui. Le 1er ordre se résout avec une primitive ou une formule, le 2nd ordre nécessite une équation caractéristique.

💡 À retenir : Identifie toujours l'ordre avant de commencer.

Est-ce que l'aire est toujours égale à l'intégrale ?

L'intégrale peut être négative, alors qu'une aire est toujours positive. Si $f(x) < 0$ , l'aire est $-\int f(x) dx$ .

💡 À retenir : L'aire est $\int_a^b |f(x)| dx$ .

L'intégrale peut être négative, alors qu'une aire est toujours positive. Si $f(x) < 0$, l'aire est $-\int f(x) dx$.

💡 À retenir : L'aire est $\int_a^b |f(x)| dx$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x e^{-x}$ .

Calculer $I = \int_0^1 x e^{-x} dx$ en utilisant l'intégration par parties.
Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' + y = e^{-x}$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x e^{-x}$.

Calculer $I = \int_0^1 x e^{-x} dx$ en utilisant l'intégration par parties.
Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' + y = e^{-x}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer l'intégrale $J = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$ en utilisant le changement de variable $u = \cos(x)$ .

Exercice 2

Calculer l'intégrale $J = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$ en utilisant le changement de variable $u = \cos(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Résoudre l'équation différentielle $y'' - 3y' + 2y = 0$ avec les conditions $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ .

Exercice 3

Résoudre l'équation différentielle $y'' - 3y' + 2y = 0$ avec les conditions $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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