Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — INSEA

Espaces préhilbertiens réels

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un espace préhilbertien réel $E$ est un espace vectoriel réel muni d'une forme bilinéaire symétrique définie positive notée $\langle \cdot, \cdot \rangle$ .

Norme : $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ .
Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$ .
Orthogonalité : $x \perp y \iff \langle x, y \rangle = 0$ .
Base orthonormée (BON) : $(e_1, \dots, e_n)$ telle que $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$ .

Méthodes à maîtriser

Vérifier un produit scalaire : Vérifier la bilinéarité, la symétrie et le caractère défini positif.
Gram-Schmidt : Transformer une base $(v_1, \dots, v_n)$ en une BON $(e_1, \dots, e_n)$ .
Projection orthogonale : Calculer $p_F(x) = \sum_{i=1}^k \langle x, e_i \rangle e_i$ pour une BON $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ .

Exemples corrigés

Calcul de norme : Dans $\mathbb{R}^2$ avec $\langle x, y \rangle = x_1y_1 + 2x_2y_2$ , $\|(1, 1)\| = \sqrt{1^2 + 2(1)^2} = \sqrt{3}$ .
Orthogonalisation : Pour $v_1=(1,1), v_2=(1,0)$ , on pose $e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}$ , puis $u_2 = v_2 - \langle v_2, e_1 \rangle e_1$ et $e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la condition "définie positive" lors de la vérification d'un produit scalaire.
Confondre l'orthogonal d'un sous-espace avec le complémentaire.
Appliquer Gram-Schmidt sans normaliser les vecteurs à chaque étape.

L'essentiel du cours

Un espace préhilbertien réel $E$ est un espace vectoriel réel muni d'une forme bilinéaire symétrique définie positive notée $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Norme : $|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.
Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \leq |x| \cdot |y|$.
Orthogonalité : $x \perp y \iff \langle x, y \rangle = 0$.
Base orthonormée (BON) : $(e_1, \dots, e_n)$ telle que $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$.

Méthodes à maîtriser

Vérifier un produit scalaire : Vérifier la bilinéarité, la symétrie et le caractère défini positif.
Gram-Schmidt : Transformer une base $(v_1, \dots, v_n)$ en une BON $(e_1, \dots, e_n)$.
Projection orthogonale : Calculer $p_F(x) = \sum_{i=1}^k \langle x, e_i \rangle e_i$ pour une BON $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$.

Exemples corrigés

Calcul de norme : Dans $\mathbb{R}^2$ avec $\langle x, y \rangle = x_1y_1 + 2x_2y_2$, $|(1, 1)| = \sqrt{1^2 + 2(1)^2} = \sqrt{3}$.
Orthogonalisation : Pour $v_1=(1,1), v_2=(1,0)$, on pose $e_1 = \frac{v_1}{|v_1|}$, puis $u_2 = v_2 - \langle v_2, e_1 \rangle e_1$ et $e_2 = \frac{u_2}{|u_2|}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition "définie positive" lors de la vérification d'un produit scalaire.
Confondre l'orthogonal d'un sous-espace avec le complémentaire.
Appliquer Gram-Schmidt sans normaliser les vecteurs à chaque étape.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Espaces préhilbertiens réels

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Dans $\mathbb{R}^n$ , le produit scalaire canonique est défini par :

Dans $\mathbb{R}^n$, le produit scalaire canonique est défini par :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un espace préhilbertien ?

C'est un espace vectoriel réel muni d'une application appelée produit scalaire, qui associe à chaque couple de vecteurs un réel, tout en respectant trois propriétés : bilinéarité, symétrie et caractère défini positif.

💡 À retenir : Le produit scalaire permet de définir des notions géométriques (angles, distances) dans des espaces abstraits.

Kifach n7seb l-projection orthogonale d'un vecteur 3la un sous-espace ?

Khass t-koun 3ndek base orthonormée $(e_1, \dots, e_k)$ dyal dak l-sous-espace $F$ .
L-projection $p_F(x)$ hiya l-somme dyal $\langle x, e_i \rangle e_i$ pour $i$ de 1 à $k$ .

💡 À retenir : Sans base orthonormée, il faut d'abord utiliser Gram-Schmidt.

Khass t-koun 3ndek base orthonormée $(e_1, \dots, e_k)$ dyal dak l-sous-espace $F$.
L-projection $p_F(x)$ hiya l-somme dyal $\langle x, e_i \rangle e_i$ pour $i$ de 1 à $k$.

💡 À retenir : Sans base orthonormée, il faut d'abord utiliser Gram-Schmidt.

Est-ce que toute base peut être orthonormée ?

Oui, dans un espace préhilbertien de dimension finie, on peut toujours construire une base orthonormée à partir d'une base quelconque en utilisant le procédé de Gram-Schmidt.

💡 À retenir : Le procédé de Gram-Schmidt est l'outil fondamental pour passer d'une base quelconque à une base orthonormée.

Chno hiya l-farq bin espace préhilbertien et espace euclidien ?

Un espace euclidien est simplement un espace préhilbertien de dimension finie. Le terme "euclidien" est souvent utilisé pour souligner la dimension finie.

💡 À retenir : En filière ingénieur, on travaille presque toujours en dimension finie, donc les deux termes sont souvent interchangeables.

Kifach n-vérifier bli wahed l-application hiya produit scalaire ?

Il faut vérifier quatre points :

Symétrie : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ .
Linéarité par rapport à la première variable.
Positivité : $\langle x, x \rangle \geq 0$ .
Caractère défini : $\langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0$ .

💡 À retenir : Si l'une de ces conditions échoue, ce n'est pas un produit scalaire.

Il faut vérifier quatre points :

Symétrie : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$.
Linéarité par rapport à la première variable.
Positivité : $\langle x, x \rangle \geq 0$.
Caractère défini : $\langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0$.

💡 À retenir : Si l'une de ces conditions échoue, ce n'est pas un produit scalaire.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est-elle toujours vraie ?

Oui, elle est vraie pour tous les vecteurs $x$ et $y$ dans n'importe quel espace préhilbertien. Elle est fondamentale pour définir la notion d'angle.

💡 À retenir : $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$ .

Oui, elle est vraie pour tous les vecteurs $x$ et $y$ dans n'importe quel espace préhilbertien. Elle est fondamentale pour définir la notion d'angle.

💡 À retenir : $|\langle x, y \rangle| \leq |x| \cdot |y|$.

Est-ce que l'orthogonal d'un sous-espace est un sous-espace vectoriel ?

Oui, l'orthogonal $F^\perp = \{x \in E / \forall y \in F, \langle x, y \rangle = 0\}$ est toujours un sous-espace vectoriel de $E$ .

💡 À retenir : C'est une propriété stable par combinaison linéaire.

Oui, l'orthogonal $F^\perp = {x \in E / \forall y \in F, \langle x, y \rangle = 0}$ est toujours un sous-espace vectoriel de $E$.

💡 À retenir : C'est une propriété stable par combinaison linéaire.

Comment calculer la distance entre un vecteur et un sous-espace ?

La distance $d(x, F)$ est égale à la norme du vecteur $x - p_F(x)$ , où $p_F(x)$ est la projection orthogonale de $x$ sur $F$ .

💡 À retenir : La projection orthogonale est le point du sous-espace le plus proche du vecteur.

La distance $d(x, F)$ est égale à la norme du vecteur $x - p_F(x)$, où $p_F(x)$ est la projection orthogonale de $x$ sur $F$.

💡 À retenir : La projection orthogonale est le point du sous-espace le plus proche du vecteur.

Wach l-produit scalaire kay-t-bdel ila bdelna la base ?

Non, la définition du produit scalaire est intrinsèque à l'espace. Cependant, sa matrice représentative change selon la base choisie.

💡 À retenir : Dans une base orthonormée, la matrice du produit scalaire est la matrice identité.

Qu'est-ce qu'un endomorphisme symétrique ?

C'est un endomorphisme $f$ tel que pour tous $x, y \in E$ , on a $\langle f(x), y \rangle = \langle x, f(y) \rangle$ .

💡 À retenir : Ces endomorphismes sont très importants car ils sont toujours diagonalisables dans une base orthonormée.

C'est un endomorphisme $f$ tel que pour tous $x, y \in E$, on a $\langle f(x), y \rangle = \langle x, f(y) \rangle$.

💡 À retenir : Ces endomorphismes sont très importants car ils sont toujours diagonalisables dans une base orthonormée.

Est-ce que deux vecteurs orthogonaux sont toujours linéairement indépendants ?

Si les vecteurs sont non nuls, oui. Si l'un des vecteurs est le vecteur nul, ils ne sont pas linéairement indépendants.

💡 À retenir : Une famille de vecteurs non nuls orthogonaux deux à deux est toujours libre.

Pourquoi on utilise Gram-Schmidt ?

Pour simplifier les calculs dans les espaces préhilbertiens. Travailler dans une base orthonormée rend le calcul des coordonnées et des projections beaucoup plus facile.

💡 À retenir : La base orthonormée est le "confort" du mathématicien.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique. Soit $F = \text{vect}(u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1, 1, 0)$ et $u_2 = (1, 0, 1)$ .

Appliquer le procédé de Gram-Schmidt pour trouver une base orthonormée $(e_1, e_2)$ de $F$ .
Déterminer la projection orthogonale du vecteur $v = (1, 2, 3)$ sur $F$ .

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique. Soit $F = \text{vect}(u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1, 1, 0)$ et $u_2 = (1, 0, 1)$.

Appliquer le procédé de Gram-Schmidt pour trouver une base orthonormée $(e_1, e_2)$ de $F$.
Déterminer la projection orthogonale du vecteur $v = (1, 2, 3)$ sur $F$.

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Exercice 2

Soit $E = \mathbb{R}_2[X]$ muni du produit scalaire $\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t) dt$ .

Calculer la norme du polynôme $P(X) = X$ .
Montrer que la famille $(1, 2t-1)$ est orthogonale.

Exercice 2

Soit $E = \mathbb{R}_2[X]$ muni du produit scalaire $\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t) dt$.

Calculer la norme du polynôme $P(X) = X$.
Montrer que la famille $(1, 2t-1)$ est orthogonale.

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Exercice 3

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ . Montrer que si $\lambda \neq \mu$ sont deux valeurs propres distinctes, alors les sous-espaces propres associés sont orthogonaux.

Exercice 3

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$. Montrer que si $\lambda \neq \mu$ sont deux valeurs propres distinctes, alors les sous-espaces propres associés sont orthogonaux.

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