📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
- Intégrale double : Soit $f$ une fonction continue sur un domaine $D \subset \mathbb{R}^2$. L'intégrale double est définie par $\iint_D f(x,y) dx dy$. Si $D = [a,b] \times [c,d]$, alors $\iint_D f(x,y) dx dy = \int_a^b (\int_c^d f(x,y) dy) dx$.
- Changement de variables : Pour un changement $(x,y) = \phi(u,v)$, on a $dx dy = |J(u,v)| du dv$, où $J$ est le déterminant de la matrice Jacobienne.
- Coordonnées polaires : $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta \implies dx dy = r dr d\theta$.
- Intégrale curviligne : Soit $\gamma$ une courbe paramétrée par $t \in [a,b]$. $\int_\gamma f ds = \int_a^b f(\gamma(t)) |\gamma'(t)| dt$.
Méthodes à maîtriser
- Découpage du domaine : Identifier les bornes d'intégration en projetant le domaine sur les axes.
- Passage en polaires : Indispensable si le domaine contient des disques ou des secteurs angulaires.
- Calcul de circulation : Paramétrer la courbe $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ et calculer $\int_a^b \vec{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt$.
Exemples corrigés
- Exemple 1 : Calculer $\iint_D x dx dy$ avec $D = [0,1] \times [0,2]$. $\int_0^1 x (\int_0^2 dy) dx = \int_0^1 2x dx = [x^2]_0^1 = 1$.
- Exemple 2 : $\int_\gamma x dy$ avec $\gamma$ segment de $(0,0)$ à $(1,1)$. $x=t, y=t, t \in [0,1]$. $dy = dt$. $\int_0^1 t dt = 1/2$.
Erreurs fréquentes
- Oublier le Jacobien ($r$) lors du passage en polaires.
- Inverser l'ordre des bornes d'intégration.
- Confondre l'intégrale de la forme différentielle $\int Pdx + Qdy$ avec l'intégrale de la fonction $f ds$.