Mathématiques · Médecine, pharmacie & dentaire — 1ère année Pharmacie

Fonctions logarithmes et exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Définie sur $]0, +\infty[$ , dérivable, $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ . $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$ .
Fonction $\exp$ : Définie sur $\mathbb{R}$ , dérivable, $\exp'(x) = \exp(x)$ . $\exp(0)=1$ et $\exp(1)=e$ .
Propriétés : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln(a^r) = r \ln a$ , $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ , $(e^a)^b = e^{ab}$ .
Limites fondamentales : $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ , $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations : Isoler le terme $\ln$ ou $\exp$ puis appliquer la fonction réciproque. Attention au domaine de définition.
Étude de signe : Utiliser les valeurs critiques ( $x=1$ pour $\ln x$ , $x=0$ pour $e^x$ ).
Calcul de dérivées : Appliquer $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ et $(e^u)' = u' e^u$ .

Exemples corrigés

Équation : $\ln(x) = 2 \iff x = e^2$ .
Dérivée : $f(x) = \ln(x^2+1) \implies f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition (ex: $\ln(x^2)$ est défini sur $\mathbb{R}^*$ , pas seulement $]0, +\infty[$ ).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (c'est faux !).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Définie sur $]0, +\infty[$, dérivable, $\ln'(x) = \frac{1}{x}$. $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$.
Fonction $\exp$ : Définie sur $\mathbb{R}$, dérivable, $\exp'(x) = \exp(x)$. $\exp(0)=1$ et $\exp(1)=e$.
Propriétés : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln(a^r) = r \ln a$, $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$, $(e^a)^b = e^{ab}$.
Limites fondamentales : $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations : Isoler le terme $\ln$ ou $\exp$ puis appliquer la fonction réciproque. Attention au domaine de définition.
Étude de signe : Utiliser les valeurs critiques ($x=1$ pour $\ln x$, $x=0$ pour $e^x$).
Calcul de dérivées : Appliquer $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ et $(e^u)' = u' e^u$.

Exemples corrigés

Équation : $\ln(x) = 2 \iff x = e^2$.
Dérivée : $f(x) = \ln(x^2+1) \implies f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition (ex: $\ln(x^2)$ est défini sur $\mathbb{R}^*$, pas seulement $]0, +\infty[$).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (c'est faux !).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions logarithmes et exponentielles

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La valeur de $\ln(e^3)$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que ln(1) est toujours 0 ?

Oui, c'est une valeur de référence.

$\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$ .
C'est le point où la courbe coupe l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$ sont à connaître par cœur.

Oui, c'est une valeur de référence.

$\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$.
C'est le point où la courbe coupe l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$ sont à connaître par cœur.

Comment lever une indétermination du type infty - infty avec ln ?

Essaie de factoriser par le terme dominant.
Exemple : $\ln(x) - x = x(\frac{\ln x}{x} - 1)$ .
Utilise les limites usuelles ( $\frac{\ln x}{x} \to 0$ ).

💡 À retenir : La factorisation est souvent la clé.

Essaie de factoriser par le terme dominant.
Exemple : $\ln(x) - x = x(\frac{\ln x}{x} - 1)$.
Utilise les limites usuelles ($\frac{\ln x}{x} \to 0$).

💡 À retenir : La factorisation est souvent la clé.

Est-ce que la dérivée de e^{2x} est e^{2x} ?

Non, c'est $2e^{2x}$ .

La formule est $(e^u)' = u' e^u$ .
Ici $u = 2x$ , donc $u' = 2$ .

💡 À retenir : Toujours multiplier par la dérivée de l'exposant.

Non, c'est $2e^{2x}$.

La formule est $(e^u)' = u' e^u$.
Ici $u = 2x$, donc $u' = 2$.

💡 À retenir : Toujours multiplier par la dérivée de l'exposant.

Comment savoir si je dois utiliser la croissance comparée ?

Regarde si tu as une limite en $+\infty$ ou $-\infty$ .
Vérifie si tu as un produit ou un quotient entre une fonction logarithme/exponentielle et une fonction polynôme.
Si la limite donne une forme indéterminée ( $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \cdot \infty$ ), la croissance comparée est la solution.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte sur le polynôme, et le polynôme l'emporte sur le logarithme.

Regarde si tu as une limite en $+\infty$ ou $-\infty$.
Vérifie si tu as un produit ou un quotient entre une fonction logarithme/exponentielle et une fonction polynôme.
Si la limite donne une forme indéterminée ($\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \cdot \infty$), la croissance comparée est la solution.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte sur le polynôme, et le polynôme l'emporte sur le logarithme.

Kifach n7seb l'domaine de définition dyal ln(x^2-1) ?

La fonction $\ln(u)$ est définie si $u > 0$ .
Ici, il faut résoudre l'inéquation $x^2 - 1 > 0$ .
$x^2 - 1 > 0 \iff x^2 > 1 \iff x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ .

💡 À retenir : Toujours résoudre l'inéquation à l'intérieur du $\ln$ avant de commencer l'étude.

La fonction $\ln(u)$ est définie si $u > 0$.
Ici, il faut résoudre l'inéquation $x^2 - 1 > 0$.
$x^2 - 1 > 0 \iff x^2 > 1 \iff x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$.

💡 À retenir : Toujours résoudre l'inéquation à l'intérieur du $\ln$ avant de commencer l'étude.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) est toujours vrai ?

Non, c'est une erreur classique.

$\ln(x^2)$ est défini pour $x \neq 0$ .
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$ .
Si $x < 0$ , $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : La formule $\ln(a^n) = n\ln(a)$ n'est vraie que si $a > 0$ .

Non, c'est une erreur classique.

$\ln(x^2)$ est défini pour $x \neq 0$.
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$.
Si $x < 0$, $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : La formule $\ln(a^n) = n\ln(a)$ n'est vraie que si $a > 0$.

Chno hiya l'relation bin ln et exp ?

Ce sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
$\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
$e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$ .

💡 À retenir : Elles "s'annulent" mutuellement, c'est l'outil principal pour isoler l'inconnue $x$ .

Ce sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
$\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
$e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$.

💡 À retenir : Elles "s'annulent" mutuellement, c'est l'outil principal pour isoler l'inconnue $x$.

Comment dériver ln(x^2+x+1) ?

Utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .
Ici $u = x^2+x+1$ , donc $u' = 2x+1$ .
Le résultat est $\frac{2x+1}{x^2+x+1}$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de dériver l'intérieur du logarithme.

Utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
Ici $u = x^2+x+1$, donc $u' = 2x+1$.
Le résultat est $\frac{2x+1}{x^2+x+1}$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de dériver l'intérieur du logarithme.

Kifach n3ref wach l'fonction tzaidya aw tnaqsya ?

Calcule la dérivée $f'(x)$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ .
Si $f'(x) > 0$ , la fonction est croissante. Si $f'(x) < 0$ , elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Calcule la dérivée $f'(x)$.
Étudie le signe de $f'(x)$.
Si $f'(x) > 0$, la fonction est croissante. Si $f'(x) < 0$, elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Pourquoi lim{x to 0^+} ln(x) = -infty ?

La fonction $\ln$ est la réciproque de $e^x$ .
Quand $x$ se rapproche de 0, la valeur dont l'exponentielle est proche de 0 est un nombre très grand négatif.
C'est une limite fondamentale du cours.

💡 À retenir : $\ln(0^+)$ est toujours $-\infty$ .

La fonction $\ln$ est la réciproque de $e^x$.
Quand $x$ se rapproche de 0, la valeur dont l'exponentielle est proche de 0 est un nombre très grand négatif.
C'est une limite fondamentale du cours.

💡 À retenir : $\ln(0^+)$ est toujours $-\infty$.

Est-ce que e^x peut être négatif ?

Non, jamais.

La fonction exponentielle est strictement positive sur tout son domaine $\mathbb{R}$ .
Sa courbe est toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $e^x > 0$ pour tout $x$ .

Non, jamais.

La fonction exponentielle est strictement positive sur tout son domaine $\mathbb{R}$.
Sa courbe est toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $e^x > 0$ pour tout $x$.

Comment tracer l'asymptote oblique ?

Calcule $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$ .
Si la limite est 0, alors la droite $y = ax+b$ est asymptote.

💡 À retenir : L'asymptote est la droite vers laquelle la courbe se rapproche à l'infini.

Calcule $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$.
Si la limite est 0, alors la droite $y = ax+b$ est asymptote.

💡 À retenir : L'asymptote est la droite vers laquelle la courbe se rapproche à l'infini.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln(x)$ .

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine.
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln(x)$.

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine.
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Étudier la position relative de la courbe de $f(x) = \ln(x)$ et de la droite $y = x-1$ .

Exercice 3

Étudier la position relative de la courbe de $f(x) = \ln(x)$ et de la droite $y = x-1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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