Mathématiques · Médecine, pharmacie & dentaire — 1ère année Pharmacie

Calcul intégral et primitives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Primitive : Soit $f$ une fonction continue sur $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ .
Intégrale : Si $F$ est une primitive de $f$ , alors $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$ .
Chasles : $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles.
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ .
Changement de variable : Poser $t = \phi(x)$ , donc $dt = \phi'(x)dx$ . Ne pas oublier de changer les bornes.

Exemples corrigés

Primitive : La primitive de $f(x) = 2x + e^x$ est $F(x) = x^2 + e^x + C$ .
Intégrale : $\int_0^1 x e^x dx$ . On pose $u=x, v'=e^x \Rightarrow u'=1, v=e^x$ . $\int_0^1 x e^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ pour les primitives.
Inverser les bornes lors du calcul de $F(b) - F(a)$ .
Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.

L'essentiel du cours

Primitive : Soit $f$ une fonction continue sur $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$.
Intégrale : Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$.
Chasles : $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles.
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$.
Changement de variable : Poser $t = \phi(x)$, donc $dt = \phi'(x)dx$. Ne pas oublier de changer les bornes.

Exemples corrigés

Primitive : La primitive de $f(x) = 2x + e^x$ est $F(x) = x^2 + e^x + C$.
Intégrale : $\int_0^1 x e^x dx$. On pose $u=x, v'=e^x \Rightarrow u'=1, v=e^x$. $\int_0^1 x e^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ pour les primitives.
Inverser les bornes lors du calcul de $F(b) - F(a)$.
Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral et primitives

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La primitive de $f(x) = \cos(x) + 2x$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref chkoun hiya u o chkoun hiya v' f-intégration par parties ?

On utilise souvent la règle "LIATE" (Logarithmique, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle).
La fonction qui apparaît en premier dans cet ordre est choisie comme $u(x)$ pour qu'elle devienne plus simple après dérivation.
Le reste est $v'(x)$ , qu'on doit savoir intégrer facilement.

💡 À retenir : Le choix de $u$ doit simplifier l'expression après dérivation.

On utilise souvent la règle "LIATE" (Logarithmique, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle).
La fonction qui apparaît en premier dans cet ordre est choisie comme $u(x)$ pour qu'elle devienne plus simple après dérivation.
Le reste est $v'(x)$, qu'on doit savoir intégrer facilement.

💡 À retenir : Le choix de $u$ doit simplifier l'expression après dérivation.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction positive est toujours positive ?

Oui, si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ .

💡 À retenir : L'intégrale représente une aire algébrique, elle est positive si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

Oui, si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$.

💡 À retenir : L'intégrale représente une aire algébrique, elle est positive si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

Chno hiya l-farq bin primitive o integral ?

La primitive est une fonction $F(x)$ telle que $F'(x) = f(x)$ .
L'intégrale est un nombre réel qui représente une valeur calculée entre deux bornes.

💡 À retenir : L'intégrale est le résultat de la différence entre les valeurs d'une primitive.

La primitive est une fonction $F(x)$ telle que $F'(x) = f(x)$.
L'intégrale est un nombre réel qui représente une valeur calculée entre deux bornes.

💡 À retenir : L'intégrale est le résultat de la différence entre les valeurs d'une primitive.

Comment calculer l'aire délimitée par deux courbes ?

On calcule l'intégrale de la différence des deux fonctions : $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ .
Il faut d'abord étudier le signe de $f(x) - g(x)$ sur $[a, b]$ .

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, donc on intègre la valeur absolue.

On calcule l'intégrale de la différence des deux fonctions : $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.
Il faut d'abord étudier le signe de $f(x) - g(x)$ sur $[a, b]$.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, donc on intègre la valeur absolue.

Kifach n3ref ila khassni ndir changement de variable ?

Quand tu vois une fonction composée $f(g(x))$ multipliée par la dérivée $g'(x)$ .
Si l'expression semble complexe et qu'une substitution permet de simplifier la forme.

💡 À retenir : Si tu vois $g'(x) \cdot f(g(x))$ , pose $t = g(x)$ .

Quand tu vois une fonction composée $f(g(x))$ multipliée par la dérivée $g'(x)$.
Si l'expression semble complexe et qu'une substitution permet de simplifier la forme.

💡 À retenir : Si tu vois $g'(x) \cdot f(g(x))$, pose $t = g(x)$.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx times inta^b g(x) dx ?

Non, c'est une erreur classique. La multiplication ne respecte pas la linéarité de l'intégrale.

💡 À retenir : L'intégrale d'un produit n'est jamais le produit des intégrales.

Comment choisir les bornes après un changement de variable t = phi(x) ?

Si $x = a$ , alors $t = \phi(a)$ .
Si $x = b$ , alors $t = \phi(b)$ .

💡 À retenir : Les nouvelles bornes doivent correspondre aux valeurs de $t$ .

Si $x = a$, alors $t = \phi(a)$.
Si $x = b$, alors $t = \phi(b)$.

💡 À retenir : Les nouvelles bornes doivent correspondre aux valeurs de $t$.

Quelle est la primitive de 1/x ?

La primitive de $1/x$ sur $]0, +\infty[$ est $\ln(x) + C$ . Sur $]-\infty, 0[$ , c'est $\ln(-x) + C$ .

💡 À retenir : La forme générale est $\ln(|x|) + C$ .

La primitive de $1/x$ sur $]0, +\infty[$ est $\ln(x) + C$. Sur $]-\infty, 0[$, c'est $\ln(-x) + C$.

💡 À retenir : La forme générale est $\ln(|x|) + C$.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver une primitive ?

Non, la calculatrice ne donne que des valeurs numériques d'intégrales définies. Tu dois savoir calculer les primitives manuellement.

💡 À retenir : La maîtrise du calcul algébrique est indispensable.

Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction ?

La formule est : $V_m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des valeurs de la fonction sur l'intervalle.

La formule est : $V_m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des valeurs de la fonction sur l'intervalle.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction impaire sur [-a, a] est nulle ?

Oui, car les aires de part et d'autre de l'axe des ordonnées s'annulent.

💡 À retenir : Si $f$ est impaire, $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ .

Oui, car les aires de part et d'autre de l'axe des ordonnées s'annulent.

💡 À retenir : Si $f$ est impaire, $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$.

Pourquoi on ajoute toujours C ?

Parce qu'il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée, qui ne diffèrent que par une constante.

💡 À retenir : La dérivée d'une constante est nulle, donc $F(x) + C$ est aussi une primitive.

Parce qu'il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée, qui ne diffèrent que par une constante.

💡 À retenir : La dérivée d'une constante est nulle, donc $F(x) + C$ est aussi une primitive.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (2x + 3)e^x dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (2x + 3)e^x dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+x}$ . Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ , puis calculer $\int_1^2 f(x) dx$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+x}$. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$, puis calculer $\int_1^2 f(x) dx$.

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Exercice 3

Calculer $J = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$ en utilisant $\sin^3(x) = \sin(x)(1-\cos^2(x))$ .

Exercice 3

Calculer $J = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$ en utilisant $\sin^3(x) = \sin(x)(1-\cos^2(x))$.

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