Mathématiques · Médecine, pharmacie & dentaire — 1ère année Pharmacie

Éléments d'algèbre linéaire (Matrices et systèmes)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une matrice $A$ de dimension $(n, p)$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.
Le produit $A \times B$ n'est possible que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ .
Le déterminant d'une matrice $2 \times 2$ , $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , est $\det(A) = ad - bc$ .
Une matrice est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ . L'inverse est $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul du produit matriciel : ligne par colonne.
Calcul du déterminant $2 \times 2$ et $3 \times 3$ (règle de Sarrus).
Résolution d'un système $AX=B$ par la méthode de Cramer ou par l'inverse $X = A^{-1}B$ .

Exemples corrigés

Produit : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times3 + 2\times4 \\ 0\times3 + 1\times4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
Inverse : Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $\det(A) = 4 - 6 = -2$ . Donc $A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A \times B$ et $B \times A$ (le produit matriciel n'est pas commutatif).
Oublier de vérifier si $\det(A) \neq 0$ avant de chercher l'inverse.
Erreur de signe lors du calcul du déterminant.

L'essentiel du cours

Une matrice $A$ de dimension $(n, p)$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.
Le produit $A \times B$ n'est possible que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$.
Le déterminant d'une matrice $2 \times 2$, $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$, est $\det(A) = ad - bc$.
Une matrice est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. L'inverse est $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul du produit matriciel : ligne par colonne.
Calcul du déterminant $2 \times 2$ et $3 \times 3$ (règle de Sarrus).
Résolution d'un système $AX=B$ par la méthode de Cramer ou par l'inverse $X = A^{-1}B$.

Exemples corrigés

Produit : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times3 + 2\times4 \ 0\times3 + 1\times4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \ 4 \end{pmatrix}$.
Inverse : Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\det(A) = 4 - 6 = -2$. Donc $A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A \times B$ et $B \times A$ (le produit matriciel n'est pas commutatif).
Oublier de vérifier si $\det(A) \neq 0$ avant de chercher l'inverse.
Erreur de signe lors du calcul du déterminant.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Éléments d'algèbre linéaire (Matrices et systèmes)

1/4

Le déterminant de $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ est :

Le déterminant de $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le produit de deux matrices est toujours possible ?

Non, le produit $A \times B$ est défini uniquement si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours les dimensions avant de calculer.

Non, le produit $A \times B$ est défini uniquement si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$.

💡 À retenir : Vérifie toujours les dimensions avant de calculer.

Kifach n7seb l'inverse dyal matrice 3x3 ?

Calcule le déterminant.
Calcule la matrice des cofacteurs.
Transpose cette matrice pour obtenir la comatrice.
Multiplie par $1/\det(A)$ .

💡 À retenir : Si $\det(A) = 0$ , l'inverse n'existe pas.

Calcule le déterminant.
Calcule la matrice des cofacteurs.
Transpose cette matrice pour obtenir la comatrice.
Multiplie par $1/\det(A)$.

💡 À retenir : Si $\det(A) = 0$, l'inverse n'existe pas.

Est-ce que A times B = B times A est toujours vrai ?

Non, en général, le produit matriciel n'est pas commutatif. $A \times B$ peut être différent de $B \times A$ , voire l'un peut exister et l'autre non.

💡 À retenir : L'ordre des matrices est crucial.

Non, en général, le produit matriciel n'est pas commutatif. $A \times B$ peut être différent de $B \times A$, voire l'un peut exister et l'autre non.

💡 À retenir : L'ordre des matrices est crucial.

Chno hiya l'matrice identité ?

C'est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs. Elle joue le rôle de "1" dans la multiplication matricielle ( $A \times I = A$ ).

💡 À retenir : $I_n$ est l'élément neutre pour la multiplication.

C'est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs. Elle joue le rôle de "1" dans la multiplication matricielle ($A \times I = A$).

💡 À retenir : $I_n$ est l'élément neutre pour la multiplication.

Comment savoir si un système a une solution unique ?

Un système $AX=B$ a une solution unique si la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire si $\det(A) \neq 0$ .

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ solution unique.

Un système $AX=B$ a une solution unique si la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire si $\det(A) \neq 0$.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ solution unique.

Kifach nkhdem b tari9at Cramer ?

Calcule le déterminant principal $D$ .
Remplace la colonne des variables par les constantes pour trouver $D_x, D_y, D_z$ .
Les solutions sont $x = D_x/D$ , $y = D_y/D$ , etc.

💡 À retenir : Cette méthode ne marche que si $D \neq 0$ .

Calcule le déterminant principal $D$.
Remplace la colonne des variables par les constantes pour trouver $D_x, D_y, D_z$.
Les solutions sont $x = D_x/D$, $y = D_y/D$, etc.

💡 À retenir : Cette méthode ne marche que si $D \neq 0$.

Est-ce que toutes les matrices ont un déterminant ?

Non, seules les matrices carrées (nombre de lignes = nombre de colonnes) possèdent un déterminant.

💡 À retenir : Pas de déterminant pour les matrices rectangulaires.

Que faire si le déterminant est nul ?

Si $\det(A) = 0$ , la matrice n'est pas inversible. Le système associé n'a soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

💡 À retenir : $\det(A) = 0$ signifie "matrice singulière".

Si $\det(A) = 0$, la matrice n'est pas inversible. Le système associé n'a soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

💡 À retenir : $\det(A) = 0$ signifie "matrice singulière".

Est-ce que (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 ?

Non, car $AB \neq BA$ . La formule correcte est $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ .

💡 À retenir : Ne jamais utiliser les identités remarquables classiques sans précaution.

Non, car $AB \neq BA$. La formule correcte est $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$.

💡 À retenir : Ne jamais utiliser les identités remarquables classiques sans précaution.

Comment calculer le déterminant d'une matrice 3x3 ?

On utilise la règle de Sarrus ou le développement par rapport à une ligne ou une colonne.

💡 À retenir : Choisis la ligne avec le plus de zéros pour simplifier.

Est-ce que la transposée d'une matrice change son déterminant ?

Non, $\det(A^T) = \det(A)$ . Le déterminant reste identique.

💡 À retenir : Propriété utile pour simplifier certains calculs.

Non, $\det(A^T) = \det(A)$. Le déterminant reste identique.

💡 À retenir : Propriété utile pour simplifier certains calculs.

Est-ce que le produit de deux matrices inversibles est inversible ?

Oui, si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $A \times B$ est inversible et $(A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}$ .

💡 À retenir : Attention à l'inversion de l'ordre des matrices.

Oui, si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $A \times B$ est inversible et $(A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}$.

💡 À retenir : Attention à l'inversion de l'ordre des matrices.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Calculer $\det(A)$ .
Déterminer $A^{-1}$ .
Résoudre le système : $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$ .

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculer $\det(A)$.
Déterminer $A^{-1}$.
Résoudre le système : $\begin{cases} 2x + y = 5 \ x + y = 3 \end{cases}$.

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Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Calculer $\det(A)$ .
La matrice $A$ est-elle inversible ? Justifier.

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculer $\det(A)$.
La matrice $A$ est-elle inversible ? Justifier.

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Exercice 3

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $A \times B$ et $B \times A$ . Conclure.

Exercice 3

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer $A \times B$ et $B \times A$. Conclure.

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