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Transformées de Fourier et de Laplace

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Transformée de Fourier (TF) : Pour une fonction $f(t)$ , $\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$ . Elle analyse le contenu fréquentiel.
Transformée de Laplace (TL) : Pour une fonction causale $f(t)$ , $F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt$ avec $s = \sigma + i\omega$ .
Propriétés clés : Linéarité, dérivation ( $\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$ ), et théorème de convolution : $\mathcal{L}\{f*g\} = F(s)G(s)$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Utiliser les intégrales pour les fonctions simples (échelon, exponentielle).
Utilisation des tables : Savoir lire les tables de transformées usuelles pour gagner du temps.
Décomposition en éléments simples : Indispensable pour calculer la transformée inverse de Laplace.
Résolution d'EDO : Transformer l'équation, isoler $Y(s)$ , puis faire l'inverse.

Exemples corrigés

TL de $f(t) = e^{-at}u(t)$ : $F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-at}e^{-st}dt = \int_{0}^{+\infty} e^{-(s+a)t}dt = \frac{1}{s+a}$ .
TF de la dérivée : $\mathcal{F}\{f'(t)\} = i\omega \hat{f}(\omega)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la condition de causalité ( $t \ge 0$ ) pour Laplace.
Confondre la variable $s$ (Laplace) et $\omega$ (Fourier).
Mauvaise gestion des conditions initiales dans les équations différentielles.

L'essentiel du cours

Transformée de Fourier (TF) : Pour une fonction $f(t)$, $\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$. Elle analyse le contenu fréquentiel.
Transformée de Laplace (TL) : Pour une fonction causale $f(t)$, $F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt$ avec $s = \sigma + i\omega$.
Propriétés clés : Linéarité, dérivation ($\mathcal{L}{f'(t)} = sF(s) - f(0)$), et théorème de convolution : $\mathcal{L}{f*g} = F(s)G(s)$.

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Utiliser les intégrales pour les fonctions simples (échelon, exponentielle).
Utilisation des tables : Savoir lire les tables de transformées usuelles pour gagner du temps.
Décomposition en éléments simples : Indispensable pour calculer la transformée inverse de Laplace.
Résolution d'EDO : Transformer l'équation, isoler $Y(s)$, puis faire l'inverse.

Exemples corrigés

TL de $f(t) = e^{-at}u(t)$ : $F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-at}e^{-st}dt = \int_{0}^{+\infty} e^{-(s+a)t}dt = \frac{1}{s+a}$.
TF de la dérivée : $\mathcal{F}{f'(t)} = i\omega \hat{f}(\omega)$.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition de causalité ($t \ge 0$) pour Laplace.
Confondre la variable $s$ (Laplace) et $\omega$ (Fourier).
Mauvaise gestion des conditions initiales dans les équations différentielles.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Transformées de Fourier et de Laplace

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La transformée de Laplace de $f(t) = 1$ (échelon unité) est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la transformée de Laplace est linéaire ?

Oui, absolument. $\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\}$ . C'est ce qui permet de traiter les équations différentielles linéairement.

💡 À retenir : La linéarité est la base de toute l'analyse par transformées.

Oui, absolument. $\mathcal{L}{a f(t) + b g(t)} = a \mathcal{L}{f(t)} + b \mathcal{L}{g(t)}$. C'est ce qui permet de traiter les équations différentielles linéairement.

💡 À retenir : La linéarité est la base de toute l'analyse par transformées.

Kifach n7seb la transformée de Laplace d'une dérivée seconde ?

Pour calculer $\mathcal{L}\{f''(t)\}$ , on utilise la propriété de dérivation successive :

On applique la formule : $\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$ .
Il est crucial de connaître les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$ données par l'énoncé.

💡 À retenir : La transformée de la dérivée d'ordre $n$ fait intervenir les conditions initiales jusqu'à l'ordre $n-1$ .

Pour calculer $\mathcal{L}{f''(t)}$, on utilise la propriété de dérivation successive :

On applique la formule : $\mathcal{L}{f''(t)} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$.
Il est crucial de connaître les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$ données par l'énoncé.

💡 À retenir : La transformée de la dérivée d'ordre $n$ fait intervenir les conditions initiales jusqu'à l'ordre $n-1$.

Est-ce que la transformée de Fourier existe pour toutes les fonctions ?

Non, la fonction doit être absolument intégrable sur $\mathbb{R}$ , c'est-à-dire $\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| dt < +\infty$ . Si cette condition n'est pas remplie, la transformée au sens classique n'existe pas.

💡 À retenir : La condition d'intégrabilité est nécessaire pour la convergence de l'intégrale de Fourier.

Non, la fonction doit être absolument intégrable sur $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| dt < +\infty$. Si cette condition n'est pas remplie, la transformée au sens classique n'existe pas.

💡 À retenir : La condition d'intégrabilité est nécessaire pour la convergence de l'intégrale de Fourier.

Chno hiya l'far9 bin Laplace o Fourier ?

Fourier est utilisée pour l'analyse spectrale des signaux (fréquences).
Laplace est plus générale et sert surtout à résoudre des équations différentielles avec des conditions initiales.
Laplace utilise une variable complexe $s$ , tandis que Fourier utilise une fréquence réelle $\omega$ .

💡 À retenir : Laplace est l'outil privilégié pour la régulation et les systèmes dynamiques.

Fourier est utilisée pour l'analyse spectrale des signaux (fréquences).
Laplace est plus générale et sert surtout à résoudre des équations différentielles avec des conditions initiales.
Laplace utilise une variable complexe $s$, tandis que Fourier utilise une fréquence réelle $\omega$.

💡 À retenir : Laplace est l'outil privilégié pour la régulation et les systèmes dynamiques.

Comment choisir entre Fourier et Laplace pour un exercice ?

Si l'énoncé demande de résoudre une équation différentielle avec des conditions initiales, utilisez Laplace. Si l'énoncé parle de spectre, de filtrage ou de réponse en fréquence, utilisez Fourier.

💡 À retenir : Laplace pour le temporel (EDO), Fourier pour le fréquentiel (Analyse).

Kifach nkhdem b'la convolution f'l'examen ?

La convolution $f*g$ est difficile à calculer dans le domaine temporel. Il vaut mieux passer dans le domaine de Laplace : $\mathcal{L}\{f*g\} = F(s) \cdot G(s)$ . Calculez le produit, puis faites la transformée inverse.

💡 À retenir : La convolution devient une simple multiplication après transformation.

La convolution $fg$ est difficile à calculer dans le domaine temporel. Il vaut mieux passer dans le domaine de Laplace : $\mathcal{L}{fg} = F(s) \cdot G(s)$. Calculez le produit, puis faites la transformée inverse.

💡 À retenir : La convolution devient une simple multiplication après transformation.

Pourquoi les pôles doivent être à gauche dans le plan complexe ?

Pour qu'un système soit stable, sa réponse impulsionnelle doit tendre vers 0 quand $t \to +\infty$ . Cela n'arrive que si la partie réelle des pôles est strictement négative.

💡 À retenir : Stabilité = Partie réelle des pôles < 0.

Pour qu'un système soit stable, sa réponse impulsionnelle doit tendre vers 0 quand $t \to +\infty$. Cela n'arrive que si la partie réelle des pôles est strictement négative.

💡 À retenir : Stabilité = Partie réelle des pôles < 0.

Comment trouver la transformée inverse si j'ai un polynôme au dénominateur ?

Utilisez la décomposition en éléments simples. Écrivez la fraction sous la forme $\frac{A}{s-p_1} + \frac{B}{s-p_2} + \dots$ et utilisez les transformées usuelles.

💡 À retenir : La décomposition en éléments simples est l'étape clé de l'inversion.

Utilisez la décomposition en éléments simples. Écrivez la fraction sous la forme $\frac{A}{s-p_1} + \frac{B}{s-p_2} + \dots$ et utilisez les transformées usuelles.

💡 À retenir : La décomposition en éléments simples est l'étape clé de l'inversion.

Qu'est-ce qu'un signal causal ?

C'est un signal qui est nul pour tout $t < 0$ . C'est la condition d'existence de la transformée de Laplace unilatérale.

💡 À retenir : Causalité = $f(t) = 0$ pour $t < 0$ .

C'est un signal qui est nul pour tout $t < 0$. C'est la condition d'existence de la transformée de Laplace unilatérale.

💡 À retenir : Causalité = $f(t) = 0$ pour $t < 0$.

Est-ce que la transformée de Fourier d'une constante existe ?

Au sens des fonctions classiques, non, car elle n'est pas intégrable. On utilise alors les distributions (Dirac).

💡 À retenir : La TF d'une constante est une impulsion de Dirac.

Comment gérer le retard dans Laplace ?

Si vous avez $f(t-a)u(t-a)$ , sa transformée est $e^{-as} F(s)$ . C'est le théorème du retard.

💡 À retenir : Un retard temporel devient une exponentielle dans le domaine de Laplace.

Si vous avez $f(t-a)u(t-a)$, sa transformée est $e^{-as} F(s)$. C'est le théorème du retard.

💡 À retenir : Un retard temporel devient une exponentielle dans le domaine de Laplace.

Est-ce que le programme 2025 demande de calculer des intégrales complexes ?

Non, le programme se concentre sur l'utilisation des tables et les propriétés algébriques des transformées.

💡 À retenir : Restez sur les propriétés opérationnelles.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante par la transformée de Laplace : $y'(t) + 3y(t) = e^{-2t}u(t)$ avec $y(0) = 1$ .

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante par la transformée de Laplace : $y'(t) + 3y(t) = e^{-2t}u(t)$ avec $y(0) = 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la transformée de Fourier de $f(t) = e^{-a|t|}$ avec $a > 0$ .

Exercice 2

Calculer la transformée de Fourier de $f(t) = e^{-a|t|}$ avec $a > 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $F(s) = \frac{1}{s^2+3s+2}$ . Trouver $f(t)$ par décomposition en éléments simples.

Exercice 3

Soit $F(s) = \frac{1}{s^2+3s+2}$. Trouver $f(t)$ par décomposition en éléments simples.

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