Probabilités et statistiques appliquées à l'ingénierie

1. L'espérance $E(X)$ est une valeur théorique propre à la loi de probabilité d'une variable aléatoire.
2. La moyenne empirique $\bar{x}$ est une valeur calculée à partir d'un échantillon fini de données observées.
3. La moyenne empirique est un estimateur de l'espérance.

💡 À retenir : L'espérance est la "vraie" valeur théorique, la moyenne est son approximation par les données.

1. Si $n \geq 30$, on utilise l'écart-type de l'échantillon $s$ comme approximation de $\sigma$.
2. On remplace $\sigma$ par $s$ dans la formule classique.
3. Si $n < 30$, on doit utiliser la loi de Student au lieu de la loi normale.

💡 À retenir : Pour $n \geq 30$, on utilise $s$ et la loi normale, sinon c'est la loi de Student.

1. Il permet de valider la conformité d'un composant ou d'un processus.
2. On vérifie si une modification a réellement amélioré la performance (ex: résistance d'un matériau).
3. Il aide à décider si une différence observée est significative ou due au hasard.

💡 À retenir : Le test d'hypothèse est un outil de prise de décision basé sur des preuves statistiques.

1. Cela provient de la loi des grands nombres et du théorème central limite.
2. La variance de la moyenne d'un échantillon est $\sigma^2/n$.
3. L'erreur standard est donc $\sigma/\sqrt{n}$, ce qui réduit l'incertitude quand $n$ augmente.

💡 À retenir : Plus l'échantillon est grand, plus l'estimation est précise, d'où la division par $\sqrt{n}$.

1. Loi binomiale : variables discrètes, nombre d'essais $n$ fixé, deux issues (succès/échec).
2. Loi normale : variables continues, souvent utilisée pour des mesures physiques ou des erreurs.
3. Si $n$ est grand et $p$ proche de 0.5, la loi binomiale peut être approchée par la loi normale.

💡 À retenir : Discret = Binomiale, Continu = Normale.

1. C'est la probabilité de rejeter l'hypothèse nulle $H_0$ alors qu'elle est vraie (erreur de première espèce).
2. Généralement fixé à 5% ($\alpha = 0.05$).
3. Plus $\alpha$ est petit, plus le test est "sévère".

💡 À retenir : $\alpha$ est le risque d'erreur que l'ingénieur accepte de prendre.

1. Non, par définition mathématique $V(X) = E[(X - E(X))^2]$.
2. Comme c'est une espérance d'un carré, elle est toujours positive ou nulle.
3. Si vous trouvez un résultat négatif, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : La variance mesure une dispersion au carré, donc elle est toujours $\geq 0$.

1. C'est la probabilité d'obtenir les résultats observés si $H_0$ est vraie.
2. Si p-value < $\alpha$, on rejette $H_0$.
3. Si p-value > $\alpha$, on ne peut pas rejeter $H_0$.

💡 À retenir : Petite p-value = résultat statistiquement significatif.

1. Il nécessite que les variables soient indépendantes et identiquement distribuées.
2. Il nécessite aussi une taille d'échantillon suffisamment grande ($n \geq 30$).
3. Si les données sont très asymétriques, il faut un $n$ beaucoup plus grand.

💡 À retenir : Le TCL est puissant mais demande des conditions de validité.

1. C'est l'écart-type de la distribution d'échantillonnage d'une statistique.
2. Pour la moyenne, c'est $\sigma / \sqrt{n}$.
3. Elle mesure la précision de l'estimateur.

💡 À retenir : L'erreur standard diminue quand la taille de l'échantillon augmente.

1. C'est un compromis standard entre le risque d'erreur et la puissance du test.
2. Il permet d'avoir un intervalle de confiance à 95%.
3. C'est une convention académique et industrielle largement acceptée.

💡 À retenir : C'est le standard pour garantir une fiabilité acceptable dans les calculs.

1. Oui, pour modéliser le nombre d'événements rares par unité de temps.
2. Exemple : nombre de pannes d'une machine par mois.
3. Elle dépend d'un seul paramètre $\lambda$.

💡 À retenir : Poisson = événements rares et indépendants dans le temps.