Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — ENSA — cycle ingénieur

Analyse complexe

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombres complexes : $z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ .
Fonctions holomorphes : $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ est holomorphe si $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ .
Intégration : Si $f$ est holomorphe sur un domaine simplement connexe, $\oint_{\gamma} f(z) dz = 0$ .
Théorème des résidus : $\oint_{\gamma} f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)$ .

Méthodes à maîtriser

Vérifier l'holomorphie via Cauchy-Riemann.
Calculer les résidus en un pôle simple : $\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$ .
Paramétrer un contour (cercle, segment) pour le calcul d'intégrales.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(z) = e^z$ . Elle est holomorphe car $\frac{\partial e^x \cos y}{\partial x} = e^x \cos y = \frac{\partial e^x \sin y}{\partial y}$ .
Exemple 2 : Résidu de $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$ en $i$ : $\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur $2\pi i$ dans le théorème des résidus.
Confondre partie réelle et imaginaire lors de l'application de Cauchy-Riemann.
Ne pas vérifier si le pôle est à l'intérieur du contour $\gamma$ .

L'essentiel du cours

Nombres complexes : $z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$.
Fonctions holomorphes : $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ est holomorphe si $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$.
Intégration : Si $f$ est holomorphe sur un domaine simplement connexe, $\oint_{\gamma} f(z) dz = 0$.
Théorème des résidus : $\oint_{\gamma} f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)$.

Méthodes à maîtriser

Vérifier l'holomorphie via Cauchy-Riemann.
Calculer les résidus en un pôle simple : $\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$.
Paramétrer un contour (cercle, segment) pour le calcul d'intégrales.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(z) = e^z$. Elle est holomorphe car $\frac{\partial e^x \cos y}{\partial x} = e^x \cos y = \frac{\partial e^x \sin y}{\partial y}$.
Exemple 2 : Résidu de $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$ en $i$ : $\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur $2\pi i$ dans le théorème des résidus.
Confondre partie réelle et imaginaire lors de l'application de Cauchy-Riemann.
Ne pas vérifier si le pôle est à l'intérieur du contour $\gamma$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Analyse complexe

1/4

Quelle est la valeur de $i^i$ ?

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un pôle simple ?

C'est un point $z_0$ tel que $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$ existe et est non nul. C'est un zéro d'ordre 1 du dénominateur.

💡 À retenir : $(z-z_0)$ est le facteur qui annule le pôle.

C'est un point $z_0$ tel que $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$ existe et est non nul. C'est un zéro d'ordre 1 du dénominateur.

💡 À retenir : $(z-z_0)$ est le facteur qui annule le pôle.

Est-ce que le module d'une fonction holomorphe peut être constant ?

D'après le principe du maximum, si le module d'une fonction holomorphe sur un domaine connexe est constant, alors la fonction elle-même est constante.

💡 À retenir : Une fonction holomorphe non constante ne peut pas avoir un module constant.

Est-ce que la somme de deux fonctions holomorphes est holomorphe ?

Oui, la somme, le produit et le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions holomorphes sont holomorphes.

💡 À retenir : Les propriétés de dérivation se conservent.

Est-ce que toute fonction dérivable est holomorphe ?

Non, dans le plan complexe, la dérivabilité au sens réel ne suffit pas. Une fonction est holomorphe si elle est dérivable au sens complexe, ce qui impose les conditions de Cauchy-Riemann.

💡 À retenir : Holomorphe = dérivable au sens complexe sur un ouvert.

Kifach n7seb le résidu ila kan l'pôle d'ordre 2 ?

Pour un pôle d'ordre $n$ en $z_0$ , on utilise la formule : $\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} [(z-z_0)^n f(z)]$ . Pour $n=2$ : $\lim_{z \to z_0} \frac{d}{dz} [(z-z_0)^2 f(z)]$ .

💡 À retenir : Utiliser la dérivée pour les pôles d'ordre supérieur à 1.

Pour un pôle d'ordre $n$ en $z_0$, on utilise la formule : $\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} [(z-z_0)^n f(z)]$. Pour $n=2$ : $\lim_{z \to z_0} \frac{d}{dz} [(z-z_0)^2 f(z)]$.

💡 À retenir : Utiliser la dérivée pour les pôles d'ordre supérieur à 1.

Pourquoi on utilise les intégrales curvilignes dans le plan complexe ?

Elles permettent de calculer des intégrales réelles complexes (ex: intégrales impropres sur $\mathbb{R}$ ) en utilisant le théorème des résidus, ce qui est souvent plus simple que les primitives classiques.

💡 À retenir : Le théorème des résidus est un outil puissant de calcul intégral.

Elles permettent de calculer des intégrales réelles complexes (ex: intégrales impropres sur $\mathbb{R}$) en utilisant le théorème des résidus, ce qui est souvent plus simple que les primitives classiques.

💡 À retenir : Le théorème des résidus est un outil puissant de calcul intégral.

Chno hiya l'différence bin fonction holomorphe o fonction méromorphe ?

Une fonction est holomorphe si elle est dérivable partout sur son domaine. Une fonction est méromorphe si elle est holomorphe sauf en des points isolés qui sont des pôles.

💡 À retenir : Méromorphe = Holomorphe + Pôles.

Est-ce que le théorème de Cauchy s'applique si la fonction a un pôle sur le contour ?

Non, le théorème de Cauchy exige que la fonction soit holomorphe sur et à l'intérieur du contour. Si un pôle est sur le contour, l'intégrale n'est pas définie au sens classique (il faut utiliser la valeur principale de Cauchy).

💡 À retenir : Le contour ne doit jamais passer par un pôle.

Kifach n3ref wach wa7d la fonction holomorphe f ga3 les points ?

Il faut vérifier si les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites pour tout $(x, y)$ du domaine et si les dérivées partielles sont continues.

💡 À retenir : Cauchy-Riemann est la condition nécessaire et suffisante.

Il faut vérifier si les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites pour tout $(x, y)$ du domaine et si les dérivées partielles sont continues.

💡 À retenir : Cauchy-Riemann est la condition nécessaire et suffisante.

Le théorème des résidus marche-t-il pour les fonctions trigonométriques ?

Oui, en utilisant les formules d'Euler, on transforme les fonctions trigonométriques en fonctions rationnelles de $z = e^{i\theta}$ , ce qui permet d'appliquer le théorème des résidus.

💡 À retenir : $dz = iz d\theta$ pour le cercle unité.

Oui, en utilisant les formules d'Euler, on transforme les fonctions trigonométriques en fonctions rationnelles de $z = e^{i\theta}$, ce qui permet d'appliquer le théorème des résidus.

💡 À retenir : $dz = iz d\theta$ pour le cercle unité.

Peut-on intégrer une fonction non holomorphe ?

Oui, mais le théorème de Cauchy ne s'applique pas. Il faut alors paramétrer le chemin $\gamma(t)$ et calculer $\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt$ .

💡 À retenir : Sans holomorphie, retour à la définition de l'intégrale curviligne.

Oui, mais le théorème de Cauchy ne s'applique pas. Il faut alors paramétrer le chemin $\gamma(t)$ et calculer $\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt$.

💡 À retenir : Sans holomorphie, retour à la définition de l'intégrale curviligne.

Comment choisir le contour pour le théorème des résidus ?

On choisit un contour fermé (souvent un cercle ou un rectangle) qui entoure les pôles de la fonction situés dans la région d'intérêt.

💡 À retenir : Le choix du contour est stratégique pour simplifier le calcul.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale $I = \oint_{|z|=2} \frac{1}{z^2+z} dz$ où le cercle est parcouru dans le sens direct.

Exercice 1

Calculer l'intégrale $I = \oint_{|z|=2} \frac{1}{z^2+z} dz$ où le cercle est parcouru dans le sens direct.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ avec $u(x,y) = x^2 - y^2$ . Trouver $v(x,y)$ pour que $f$ soit holomorphe.

Exercice 2

Soit $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ avec $u(x,y) = x^2 - y^2$. Trouver $v(x,y)$ pour que $f$ soit holomorphe.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer $\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2+\cos\theta}$ en utilisant les nombres complexes.

Exercice 3

Calculer $\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2+\cos\theta}$ en utilisant les nombres complexes.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Analyse numérique : Résolution d'équations non linéaires Analyse numérique : Interpolation et approximation polynomiale Analyse numérique : Intégration numérique Analyse numérique : Résolution des systèmes d'équations linéaires Calcul différentiel : Fonctions de plusieurs variables Calcul intégral : Intégrales multiples et curvilignes Équations différentielles ordinaires Transformées de Fourier et de Laplace Probabilités et statistiques appliquées à l'ingénierie Recherche opérationnelle : Programmation linéaire Algèbre linéaire avancée et calcul matriciel