Comptabilité et mathématiques financières · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

L'AMORTISSEMENT DES EMPRUNTS

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'amortissement d'un emprunt consiste à rembourser progressivement un capital emprunté ( $V_0$ ) par des versements périodiques appelés annuités ( $a$ ). Chaque annuité se compose de deux éléments :

L'intérêt ( $I_n$ ) : $I_n = CRD_{n-1} \times i$
L'amortissement ( $A_n$ ) : $A_n = a - I_n$ La relation fondamentale est : $a = A_n + I_n$ . Le capital restant dû ( $CRD_n$ ) diminue à chaque période : $CRD_n = CRD_{n-1} - A_n$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de l'annuité constante : $a = V_0 \times \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$
Calcul de l'amortissement : $A_n = A_1 \times (1+i)^{n-1}$
Construction du tableau : Toujours commencer par calculer $I_1$ sur $V_0$ , puis $A_1 = a - I_1$ , puis $CRD_1 = V_0 - A_1$ .

Exemples corrigés

Emprunt de 10 000 DH, taux 10%, sur 3 ans, annuité constante.

$a = 10 000 \times \frac{0,1(1,1)^3}{(1,1)^3 - 1} = 4 021,15$ DH.
Année 1 : $I_1 = 1000$ , $A_1 = 3021,15$ , $CRD_1 = 6978,85$ .

Erreurs fréquentes

Confondre l'amortissement ( $A$ ) et l'annuité ( $a$ ).
Oublier que le $CRD$ à la fin du tableau doit être égal à 0.
Utiliser le taux annuel pour des périodes semestrielles sans le diviser par 2.

L'essentiel du cours

L'amortissement d'un emprunt consiste à rembourser progressivement un capital emprunté ($V_0$) par des versements périodiques appelés annuités ($a$). Chaque annuité se compose de deux éléments :

L'intérêt ($I_n$) : $I_n = CRD_{n-1} \times i$
L'amortissement ($A_n$) : $A_n = a - I_n$ La relation fondamentale est : $a = A_n + I_n$. Le capital restant dû ($CRD_n$) diminue à chaque période : $CRD_n = CRD_{n-1} - A_n$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de l'annuité constante : $a = V_0 \times \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$
Calcul de l'amortissement : $A_n = A_1 \times (1+i)^{n-1}$
Construction du tableau : Toujours commencer par calculer $I_1$ sur $V_0$, puis $A_1 = a - I_1$, puis $CRD_1 = V_0 - A_1$.

Exemples corrigés

Emprunt de 10 000 DH, taux 10%, sur 3 ans, annuité constante.

$a = 10 000 \times \frac{0,1(1,1)^3}{(1,1)^3 - 1} = 4 021,15$ DH.
Année 1 : $I_1 = 1000$, $A_1 = 3021,15$, $CRD_1 = 6978,85$.

Erreurs fréquentes

Confondre l'amortissement ($A$) et l'annuité ($a$).
Oublier que le $CRD$ à la fin du tableau doit être égal à 0.
Utiliser le taux annuel pour des périodes semestrielles sans le diviser par 2.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 L'AMORTISSEMENT DES EMPRUNTS

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Dans un tableau d'amortissement à annuités constantes, que représente la somme des amortissements ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'intérêt augmente ou diminue avec le temps ?

L'intérêt diminue toujours au fil des années. Comme l'intérêt est calculé sur le capital restant dû ( $CRD$ ), et que ce dernier diminue à chaque remboursement, la base de calcul de l'intérêt devient de plus en plus petite.

💡 À retenir : Plus on rembourse le capital, moins on paie d'intérêts.

L'intérêt diminue toujours au fil des années. Comme l'intérêt est calculé sur le capital restant dû ($CRD$), et que ce dernier diminue à chaque remboursement, la base de calcul de l'intérêt devient de plus en plus petite.

💡 À retenir : Plus on rembourse le capital, moins on paie d'intérêts.

Kifach n7seb l'amortissement l'awal (A1) ila kant l'annuité constante ?

D'abord, calcule l'annuité ( $a$ ) avec la formule : $a = V_0 \times \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$ .
Calcule l'intérêt de la première année : $I_1 = V_0 \times i$ .
Déduis l'amortissement : $A_1 = a - I_1$ .

💡 À retenir : $A_1$ est la base pour calculer tous les autres amortissements.

D'abord, calcule l'annuité ($a$) avec la formule : $a = V_0 \times \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$.
Calcule l'intérêt de la première année : $I_1 = V_0 \times i$.
Déduis l'amortissement : $A_1 = a - I_1$.

💡 À retenir : $A_1$ est la base pour calculer tous les autres amortissements.

Est-ce que le montant total des intérêts est égal à V0 times i times n ?

Non, cette formule est fausse pour un emprunt remboursable par annuités constantes. Le montant total des intérêts est la somme de tous les $I_n$ du tableau, ou plus simplement : $(n \times a) - V_0$ .

💡 À retenir : Le total des intérêts est la différence entre le total versé et le capital emprunté.

Chno hiya l'annuité constante ?

C'est un mode de remboursement où tu paies le même montant à la banque chaque année. Au début, ce montant contient beaucoup d'intérêts et peu d'amortissement. À la fin, c'est l'inverse : beaucoup d'amortissement et peu d'intérêts.

💡 À retenir : L'annuité ne change pas, mais sa composition change.

Comment calculer le CRD après 3 ans sans faire tout le tableau ?

Tu peux utiliser la formule du CRD : $CRD_n = V_0(1+i)^n - a \frac{(1+i)^n - 1}{i}$ .

💡 À retenir : Cette formule permet de gagner du temps lors des examens.

Tu peux utiliser la formule du CRD : $CRD_n = V_0(1+i)^n - a \frac{(1+i)^n - 1}{i}$.

💡 À retenir : Cette formule permet de gagner du temps lors des examens.

Kifach n3ref wach l'exercice khaso annuité constante wla amortissement constant ?

L'énoncé doit le préciser explicitement. S'il dit "annuités constantes", utilise la formule de $a$ . S'il dit "amortissements constants", alors $A = V_0 / n$ (tous les amortissements sont égaux).

💡 À retenir : Lis bien l'énoncé, le mode de remboursement change tout le calcul.

L'énoncé doit le préciser explicitement. S'il dit "annuités constantes", utilise la formule de $a$. S'il dit "amortissements constants", alors $A = V_0 / n$ (tous les amortissements sont égaux).

💡 À retenir : Lis bien l'énoncé, le mode de remboursement change tout le calcul.

Est-ce que l'amortissement est une charge pour l'entreprise ?

Attention, ici on parle d'amortissement d'emprunt (remboursement de dette), pas d'amortissement d'immobilisation. L'amortissement d'emprunt n'est pas une charge, c'est une sortie de trésorerie qui diminue une dette au passif du bilan. Seuls les intérêts sont une charge (compte 631).

💡 À retenir : L'amortissement d'emprunt = remboursement de dette.

Pourquoi le dernier CRD n'est pas exactement 0 parfois ?

C'est souvent dû aux arrondis lors du calcul de l'annuité. En comptabilité, on ajuste généralement la dernière annuité pour que le dernier CRD soit exactement égal à zéro.

💡 À retenir : Le dernier CRD doit toujours être nul.

Est-ce que le taux d'intérêt peut changer pendant la durée du prêt ?

Dans les exercices du programme de 2ème Bac, le taux est toujours fixe. Si le taux changeait, on ne pourrait pas utiliser les formules standards d'annuités constantes.

💡 À retenir : Le taux est considéré comme constant dans nos exercices.

Si l'emprunt est remboursé par amortissements constants, comment calculer l'annuité ?

Calcule l'amortissement constant : $A = V_0 / n$ .
Calcule l'intérêt de l'année : $I_n = CRD_{n-1} \times i$ .
Calcule l'annuité : $a_n = A + I_n$ .

💡 À retenir : Ici, l'annuité diminue chaque année car l'intérêt diminue.

Calcule l'amortissement constant : $A = V_0 / n$.
Calcule l'intérêt de l'année : $I_n = CRD_{n-1} \times i$.
Calcule l'annuité : $a_n = A + I_n$.

💡 À retenir : Ici, l'annuité diminue chaque année car l'intérêt diminue.

Est-ce que je dois inclure les frais de dossier dans le calcul ?

(à vérifier par le professeur) En général, dans les exercices de mathématiques financières du bac, on ne prend en compte que le capital, le taux et la durée. Les frais de dossier sont des charges externes traitées en comptabilité générale, pas dans le tableau d'amortissement.

💡 À retenir : Concentre-toi sur $V_0$ , $i$ et $n$ .

💡 À retenir : Concentre-toi sur $V_0$, $i$ et $n$.

Est-ce que An est toujours supérieur à A{n-1} ?

Oui, dans le cas d'annuités constantes, chaque amortissement est égal au précédent multiplié par $(1+i)$ . Donc $A_n = A_{n-1} \times (1+i)$ .

💡 À retenir : Les amortissements augmentent en progression géométrique.

Oui, dans le cas d'annuités constantes, chaque amortissement est égal au précédent multiplié par $(1+i)$. Donc $A_n = A_{n-1} \times (1+i)$.

💡 À retenir : Les amortissements augmentent en progression géométrique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un emprunt de 200 000 DH est remboursé par 4 annuités constantes au taux de 8%.

Calculer le montant de l'annuité constante.
Dresser le tableau d'amortissement.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un emprunt de 100 000 DH est remboursé par 5 amortissements constants au taux de 5%.

Calculer l'amortissement constant.
Calculer l'annuité de la 1ère et de la 5ème année.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit un emprunt de 500 000 DH, taux 6%, remboursé par annuités constantes. On sait que le 2ème amortissement est de 106 000 DH.

Calculer le 1er amortissement.
Calculer le taux d'intérêt. (Vérification : le taux est donné, calculer $A_1$ ).

Exercice 3

Soit un emprunt de 500 000 DH, taux 6%, remboursé par annuités constantes. On sait que le 2ème amortissement est de 106 000 DH.

Calculer le 1er amortissement.
Calculer le taux d'intérêt. (Vérification : le taux est donné, calculer $A_1$).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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